畢業(yè)論文終稿_矩陣分解的初等方法-閱讀頁
2024-09-08 19:16本頁面
【正文】 則稱之為的滿秩分解。 （2）矩陣的滿秩分解不是惟一的；因?yàn)?) 設(shè) (r＞0)，則A的滿秩分解總是存在的。取的列構(gòu)成矩陣，又取H的前r行構(gòu)成 ，則即為的一個(gè)滿秩分解。（2）,得出 . （3）求出 和 （4）取出的前 r 列為 ，取出的前 r 行為,即得到的滿秩分解方法二：（1）已知矩陣 (r＞0)，； （2）找出的Hermite標(biāo)準(zhǔn)型的行的首個(gè)元素為1的 r 列所對應(yīng)的 r列為 ； （3）取出的前r行構(gòu)成矩陣； （4）得出 矩陣的滿秩分解 .下面就剛剛提出的矩陣的滿秩分解的兩種方法，分別應(yīng)用于以下例題；已知矩陣，求 矩陣的滿秩分解 解：方法一： 由此可以得出的Hermite 標(biāo)準(zhǔn)型和所用的變換矩陣為 ；；= ；得到變換矩陣 .計(jì)算求的 , .取出 的前兩列，再取出 的前兩行分別構(gòu)成 和 ，所以的滿秩分解式為 。所以 矩陣的滿秩分解為4 矩陣的譜分解 設(shè)是正規(guī)矩陣，那么存在，滿足，若令，則有=其中，是矩陣的特征值 所對應(yīng)的特征向量，為 n 階矩陣。 設(shè)的 r 個(gè)互異的特征值為 ，特征值的重?cái)?shù)為，所對應(yīng)的個(gè)相互正交的特征向量記作 ，則 的譜分解的組合形式為 ： = = ，其中 。冪等矩陣的性質(zhì)：（1） 與 仍是冪等矩陣 （2）的特征值為 0 或者 1 ，可以對角化 （3） （4） (5) 設(shè)，由k個(gè)互異的特征值，則 為正規(guī)矩陣 存在k個(gè)冪等矩陣滿足 （1） ， ， （2） （3） （4） 稱（4）為正規(guī)矩陣的譜分解，稱為正交投影算子，且分解形式唯一。定理 設(shè) ，則存在 m 階酉矩陣與 n 階酉矩陣 ，使得；其中 此時(shí) 為 的奇異值分解。這表明是酉矩陣，令 ，所以 ，又因?yàn)槠渲? ,顯然 是正定 Hermite 是唯一的，所以 U 也是確定的，因此矩陣的極分解是惟一的.定理 設(shè)，則存在與半正定 Hermite 矩陣 ,滿足 并且 , .證明：據(jù) 的奇異值分解可知，存在酉矩陣 使得其中是的 r =令 , 則有 ；其中是半正定 Hermite 矩陣，U 是酉矩陣。解：對矩陣作如下的初等變換 所以的初等因子為 。證明：，其中i為虛數(shù)單位。①當(dāng)?shù)乃刑卣髦刀疾皇牵ɑ颍?，則的特征值不存在（或）。并且有幾個(gè)（或）存在相應(yīng)的就有幾個(gè)（或）存在。例3：設(shè)為階矩陣，且，證明：秩+秩解 ：由于，則因此 為的化零多項(xiàng)式從而有 所以的最小多項(xiàng)式的根只能為1或1又的特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式有相同的根，因此的特征值為1或1假設(shè)的特征值中有個(gè)1（或1），則的另外的個(gè)特征值必為1（或1）。例4：設(shè)是秩為的級矩陣。證明： 因?yàn)槭侵葹榈募壘仃?，由性質(zhì)2,得 存在可逆矩陣、使得現(xiàn)令、則有得證。解：由于， 則其中，則有所以 例6：設(shè)為級矩陣, 求證: (1) 存在正整數(shù)使得秩() 秩()。證明 :存在酉矩陣，使得 ，其中，且為矩陣的特征值。 通過上述的討論，對矩陣的分解有了一定的
黨政相關(guān)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1