【正文】 rarR???????? s i n4s i n4 20220rmraIA ?? )( ar ??式中 ， m=Iπa2， 是圓形回路磁矩的模值 。)39。 這里僅僅給出作用力及力矩的公式 。 磁化強度 M的單位是 A/m(安培 /米 )。)39。139。)39。39。39。39。39。 圖 3 – 15 例 3 7用圖 第三章 恒定電流的電場和磁場 解 ：取圓柱坐標系的 z軸和磁介質(zhì)柱的中軸線重合 ， 磁介質(zhì)的下底面位于 z=0處 ， 上底面位于 z=L處 。 磁化電流 Jm和外加的電流 J都產(chǎn)生磁場 ， 這時應將真空中的安培環(huán)路定律修正為下面的形式： dSJJIIdlB S mC m ?????? ?? )()( 00 ??dlMIdlB CC ???? ?? 00 ??? ???????????CIdlMB0?第三章 恒定電流的電場和磁場 令 MBH ??0?其中 H稱為磁場強度，單位是 A/m(安培 /米 )。 非線性磁介質(zhì)的磁化率與磁場強度有關(guān) ， 非均勻介質(zhì)的磁化率是空間位置的函數(shù) ， 各向異性介質(zhì)的 M和 H的方向不在同一方向上 。 這兩類介質(zhì)的 χm約為 105量級 。 鐵磁材料的 B和 H的關(guān)系是非線性的 ， 并且 B不是 H的單值函數(shù) ， 會出現(xiàn)磁滯現(xiàn)象 ， 其磁化率 χm的變化范圍很大 ， 可以達到 106量級 。 設內(nèi) 、 外導體分別流過反向的電流 I， 兩導體之間介質(zhì)的磁導率為 μ， 求各區(qū)域的 H、 B、 M。 因同軸線為無限長 ， 則其磁場沿軸線無變化 ， 該磁場只有 φ分量 ， 且其大小只是 r的函數(shù) 。dl=∫S J 當 r≤a時， 電流 I在導體內(nèi)均勻分布，且流向 +z方向。????則 021222202222???????MbcrcIeBbcrcreH????)()()(crbcrbcrb??????當 rc時，這一區(qū)域的 B、 H、 M為零。 將積分形式的磁通連續(xù)性原理 (即 ∮ S B =b n, 得 bJHHnb S ????? )()( 12使用矢量恒等式 ACBCBA ????? )()(bJbHHn S ????? )]([ 12SJHHn ??? )( 12第三章 恒定電流的電場和磁場 如果無面電流 (JS=0)， 這一邊界條件變成為 0)( 12 ??? HHn用下標 t表示切向分量，上式可以寫成標量形式： tt HH 12 ? 假設磁場 B2與法向 n的夾角為 θ2, B1與 n的夾角為 θ1(如圖 317 所示 )， 則式 (3 70)和式 (3 66)可寫成 ????11221122c o sc o ss i ns i nBBHH??第三章 恒定電流的電場和磁場 上式兩式相除 ， 并注意 B2=μ2H2, B1=μ1H1, 得 ????2121t a nt a n?這表明 ， 磁力線在分界面上通常要改變方向 。μ1, 因而 θ2 171。 B1。 時 ，θ2=176。 由此可見 ， 鐵磁材料內(nèi)部的磁感應強度遠大于外部的磁感應強度 ， 同時外部的磁力線幾乎與鐵磁材料表面垂直 。 此時 ， 磁場強度可以表示為一個標量函數(shù)的負梯度 ， 即 ? mH ??? 稱為磁場的標量位函數(shù) (簡稱為標量磁位或磁標位 )， 單位A (安培 )。 在均勻介質(zhì)中 ， 由式 (3 60)和 (3 61)可得 ?m第三章 恒定電流的電場和磁場 0)( ????????? HHB ??將式 (3 72)代入到上式中，可得磁標位滿足拉普拉斯方程，即 02 ?? m? 所以用微分方程求磁標位時 ， 也同靜電位一樣 ， 是求拉普拉斯方程的解 。 永磁體的磁導率遠大于空氣的磁導率 ， 因而永磁體表面是一個等位 (磁標位 )面 ， 這時可以用靜電比擬法來計算永磁體的磁場 。如果回路由細導線繞成 N匝 ， 則總磁通量是各匝的磁通之和 。 對于密繞線圈 ， 可以近似認為各匝的磁通相等 ， 從而有 Ψ=NΦ。自感的大小決定于回路的尺寸、形狀以及介質(zhì)的磁導率。 同樣 ， 我們可以用載流回路 C2的磁場在回路 C1上產(chǎn)生的磁鏈 Ψ21與電流 I2的比來定義互感 M21， 即 互感的大小也取決于回路的尺寸、形狀以及介質(zhì)的磁導率和回路的匝數(shù)。 設兩個回路都只有一匝 。 圖 321 平行雙導線 第三章 恒定電流的電場和磁場 解： 設導線中電流為 I， 由無限長導線的磁場公式 ， 可得兩導線之間軸線所在的平面上的磁感應強度為 )(2200xdIxIB??? ????磁場的方向與導線回路平面垂直。 假定回路的形狀 、 相對位置不變 ， 同時忽略焦耳熱損耗 。 在這一過程中 ， 電源作的功轉(zhuǎn)變成磁場能量 。 為計算這個能量 ， 先假定回路 2 的電流為零 ， 求出回路 1中的電流 i1從零增加到 I1時 ， 電源作的功 W1；其次 ， 回路 1 中的電流 I1不變 ， 求出回路 2 中的電流從零增加到 I2時 ， 電源作的功 W2。 第三章 恒定電流的電場和磁場 當保持回路 2 的電流 i2=0時 ， 回路 1中的電流 i1在 dt時間內(nèi)有一個增量 di1, 周圍空間的磁場將發(fā)生改變 ， 回路 1和 2 的磁通分別有增量 dΨ11和 dΨ12， 相應地在兩個回路中要產(chǎn)生感應電勢 E1=dΨ11/dt和 E2=dΨ12/dt。 因而 ，為使回路 1 中的電流得到增量 di1, 必須在回路 1 中外加電壓 U1=E1；為使回路 2 電流為零 ， 也必須在回路 2 加上電壓 U2=E2。 若在 dt時間內(nèi) ， 電流 i2有增量 di2， 這時回路 1中感應電勢為 E1=dΨ21/dt， 回路 2 中的感應電勢為 E2=dΨ22/dt。 在 dt時間內(nèi) ， 電源作功為 dW2=M21I1di2+L2i2di2 第三章 恒定電流的電場和磁場 積分得回路 1 電流保持不變時， 電源作功總量為 2222210 22212122 21)(2 ILIMdiiLIMdWW I? ? ?????電源對整個電流回路系統(tǒng)所作的總功為 2222121211212 2121 ILILMILWWW ?????221122212121112221121221112121)(21)(21)(21)(21IIIIIILIMIIMILWm????????????????第三章 恒定電流的電場和磁場 推廣到 N個電流回路系統(tǒng)， 其磁能為 ???Niiim IW121 ?式中： jjiNjNjjiiIMZ?? ???1 1??? ????Ni CiimidlAIW121代入后得： 對于分布電流，用 Iidli=JdV代入上式，得 ? ?? Vm A d VJW 21第三章 恒定電流的電場和磁場 類似于靜電場的能量可以用電場矢量 D和 E表示 ， 磁場能量也可用磁場矢量 B和 H表示 ， 并由此得出磁通密度的概念 。 于是得到 ? ?? Vm B d VHW 21磁場能量密度為 HBw m ?? 21第三章 恒定電流的電場和磁場 例 3 10 求無限長圓柱導體單位長度的內(nèi)自感 。 磁場力作的功必來自磁場能量的減少 。Δr， 所以 ?rWFWrFmrm?????????寫成矢量形式，有 ?mWF ???第三章 恒定電流的電場和磁場 2. 當各個回路的電流不變時 ， 各回路的磁鏈要發(fā)生變化 ， 在各回路中會產(chǎn)生感應電勢 ， 電源要作功 。 設 bz, lz，求上面一片導體板面電流所受的力 。 由安培回路定律可以求出兩導體板之間磁場為 B=exμ0JS0， 導體外磁場為零 。 磁場能為 l b zJB H VW Sm 2 000 2121 ?? ??假定上導體板位移時，電流不變， lbJezWeF Szmz 2 0021 ?????這個力為斥