齊次線性方程組有非零解的條件-閱讀頁
2024-08-05 13:23本頁面
【正文】 陣的假設(shè)其系數(shù)矩陣的 秩秩 R（（ A）） = r ＞＞ 0， 為了方便起見，不妨設(shè)為了方便起見，不妨設(shè)一般的基礎(chǔ)解系的求一般的基礎(chǔ)解系的求 法法可取任意實(shí)數(shù)，稱為可取任意實(shí)數(shù)，稱為 自由未知量自由未知量 。 那么那么 ξ1， ξ2， …… ， ξnr 就是齊次線性方程組的就是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系 。如果如果 ξξ 1， ξξ 2， …… ， ξξ nr為齊次線性方程組為齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，則其任意線性組合的基礎(chǔ)解系，則其任意線性組合 x=k1ξξ 1+k2ξξ 2+…… +knrξξ nr 稱為齊次線性方程組的稱為齊次線性方程組的 通解通解 。求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系有以下步驟：求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系有以下步驟：(1)化為行最簡形，依此得到齊次線性方程組化為行最簡形，依此得到齊次線性方程組根據(jù)同解線性方程組寫出其基礎(chǔ)解系和通解。例例 求解齊次線性方程組求解齊次線性方程組解解 對系數(shù)矩陣作初等行變換：對系數(shù)矩陣作初等行變換：為自由未知量為自由未知量同同解解方方程程基礎(chǔ)基礎(chǔ)解系解系通解：通解：例例 設(shè)設(shè) A， B分別為分別為 mn 和和 ns 矩陣矩陣 ，且，且 AB＝＝ 0，則，則 R(A)＋＋ R(B) ≦n .用齊次方程組解得性質(zhì)證明下列結(jié)論用齊次方程組解得性質(zhì)證明下列結(jié)論 。結(jié)論成立。設(shè)設(shè) 設(shè)設(shè) 齊次線性方程組齊次線性方程組 AX=0的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系 證明證明 也也 是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系例非 齊 次 線 性 方 程 組u非齊次線性方程組解得結(jié)構(gòu)非齊次線性方程組解得結(jié)構(gòu)u典型例題典型例題非齊次線性方程組非齊次線性方程組若記則非齊次線性方程組可表示為則非齊次線性方程組可表示為 AX = b非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì) 1 設(shè) 都是非齊次線性方程組的解，則 是其對應(yīng)齊次線性方程組的解。非齊次線性方程組的通解（一般解） η 可表示為 其中 為任意實(shí)數(shù) , 是非齊次線性方程組的一個解 （稱為特解） , 是 對應(yīng)齊次線性方程組 Ax=0 的基礎(chǔ)解系。 并求其唯一解和通解。例例 3 問問 a， b為何值時，線性方程組為何值時，線性方程組解法一解法一解法二解法二解法一解法一 (一般解法一般解法 ):1）當(dāng) a≠1時， R(A)=R(B)=4，這時原方程組有 唯一解 為為 (i) 若若 b≠－－ 1， R(B)=3≠R(A)，這時方程組，這時方程組 無解無解 。無窮多個解。 與原方程組同解的方程組為：與原方程組同解的方程組為：則方程組的通解為：則方程組的通解為：例例 4 設(shè)設(shè) A為為 n階矩陣，階矩陣， 證明證明 R（（ A）） =R（（ A?A）。由于若由于若 AX=0，有，有 A?AX=0，這說明，這說明 凡是凡是 AX=0的解的解 必為必為 A?AX=0的解的解 。的同解。兩兩 齊次線性方程組同解齊次線性方程組同解 ，意味著它們的，意味著它們的 基礎(chǔ)解系包含的基礎(chǔ)解系包含的向量個數(shù)相等向量個數(shù)相等 ，亦即有：，亦即有： n－ R(A)=n－ R(A?A)所以所以 R(A)=R(A?A).例例 5 已知齊次線性方程組已知齊次線性方程組 的一個基礎(chǔ)解系為的一個基礎(chǔ)解系為試寫出線性方程組試寫出線性方程組的通解，并說明理由。解解 例例 6 設(shè)設(shè) 是非齊次線性方程組是非齊次線性方程組 Ax=b的一個解，的一個解， 是是 其對應(yīng)齊次線性方程組其對應(yīng)齊次線性方程組 Ax=0 的一個基礎(chǔ)解系，證明的一個基礎(chǔ)解系，證明 是非齊次線性方程組的是非齊次線性方程組的 nr+1 個線性無關(guān)的解向量，個線性無關(guān)的解向量，并且非齊次線性方程組的任意解向量并且非齊次線性方程組的任意解向量 ηη 可表為：可表為： 其中其中證證 顯然顯然 是非是非齊次線性方程組的齊次線性方程組的 n－－ r＋＋ 1個解向量，個解向量，先證其先證其 線性無關(guān)線性無關(guān) 。假定 那么有那么有則則 η*是是 的的 線性組合線性組合 ，因此，因此， η*是是 齊次線性齊次線性方程組的解向量方程組的解向量 ，這與假設(shè)，這與假設(shè) 矛盾矛盾若若所以所以 ，故故 又因?yàn)橛忠驗(yàn)槭瞧鋵?yīng)齊次線性方程組是其對應(yīng)齊次線性方程組 Ax=0的一個的一個 基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系因此因此 線性無關(guān)得證線性無關(guān)得證此例說明，非齊次線性方程組的任意解向量可用該方程組自身此例說明，非齊次線性方程組的任意解向量可用該方程組自身的的 n－－ r＋＋ 1個解向量的線性組合來表示，但其組合個解向量的線性組合來表示，但其組合 系數(shù)必等于系數(shù)必等于 1。表示方式
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