齊次線性方程組有非零解的條件-文庫吧資料
2024-07-30 13:23本頁面
【正文】 當(dāng)齊次線性方程組有無窮多個解時，如何描述它的所有的解呢當(dāng)齊次線性方程組有無窮多個解時，如何描述它的所有的解呢？下面我們對解的情況進(jìn)行討論。 若若都是齊次線性方程組（都是齊次線性方程組（ 1）解，則）解，則也是齊次線性方程組（也是齊次線性方程組（ 1）的解）的解齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組（齊次線性方程組（ 1），）， 當(dāng)它的系數(shù)矩陣的秩當(dāng)它的系數(shù)矩陣的秩 r=n時，只有零解；時，只有零解； 當(dāng)它的系數(shù)矩陣的秩當(dāng)它的系數(shù)矩陣的秩 r＜＜ n時，有無窮多個解。齊次線性方程組有非零解的條件q 討論齊次線性方程組討論齊次線性方程組v 若記則則 齊次線性方程組可表示為齊次線性方程組可表示為 AX =0 (2)其中矩陣其中矩陣 A稱為齊次線性方程組的系數(shù)矩陣。矩陣秩的一些矩陣秩的一些 結(jié)論結(jié)論 （（ 2）） 設(shè)設(shè) A， B分別為分別為 mr 矩陣和矩陣和 rn 矩陣，則矩陣，則（（ 1）） 設(shè)設(shè) A， B為為 mn 矩陣矩陣 ，則，則如果如果 A 或或 B可可逆是逆是什么什么結(jié)果結(jié)果（（ 4）） 設(shè)設(shè) A， B分別為分別為 mn 和和 ns 矩陣矩陣 ，且，且 AB＝＝ 0，則則 R(A)＋＋ R(B) ≦n .（（ 3）） *定理定理 (Sylvester) 設(shè)設(shè) A， B分別分別 為為 mn 及及 ns 矩陣，矩陣，則則 R (AB) ≧ R (A) ＋＋ R (B)－－ n .(3) 的證明 設(shè) R(A)=r, R(B)=s ,所以存在可逆矩陣 P， Q 使得而，而， R(C1)= R(ABQ) = R(AB) ，所以，所以 R(AB)+ (ns) ≧ R(C) = R(A),即，即， R (AB) ≧ R (A) ＋＋ R (B)－－ n .(4) 可以由可以由 (3)得到，還可以由齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)的得到，還可以由齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)的 （后續(xù)）（后續(xù)）因為因為 而而 C1 含有含有 C 的的 S個列向量，個列向量，所以所以 R(C1)+(ns)≧ R(C)= R(A),例 設(shè) A為 mn 矩陣， B為 nm 矩陣， nm, 證明：(AB)X=0有非零解。例例 3 若若 ， 則則 向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系1. 矩陣矩陣 A的的 行秩行秩 = A的的 列秩列秩 = R(A) 證證2. 矩陣矩陣 A 經(jīng)有限次初等行變換為矩陣經(jīng)有限次初等行變換為矩陣 B， A 的任意的任意 k列與列與 B的的 相應(yīng)相應(yīng) 的的 k列列 具有相同的相關(guān)性具有相同的相關(guān)性即，矩陣的行變換不改變列的線性相關(guān)關(guān)系即，矩陣的行變換不改變列的線性相關(guān)關(guān)系補(bǔ)充補(bǔ)充3. 矩陣矩陣 A 經(jīng)有限次初等經(jīng)有限次初等 列變換列變換 為矩陣為矩陣 B， A 的任意的任意 k行與行與 B的相應(yīng)的的相應(yīng)的 k行行 具有相同的相關(guān)性具有相同的相關(guān)性即，矩陣的列變換不改變行的線性相關(guān)關(guān)系即，矩陣的列變換不改變行的線性相關(guān)關(guān)系補(bǔ)充補(bǔ)充例例 求向量組的秩，一個極大線性無關(guān)組，并將其它求向量組的秩，一個極大線性無關(guān)組，并將其它向量用所求的極大線性無關(guān)組線性表示向量用所求的極大線性無關(guān)組線性表示解：解： 解：解： 注意：初等變換求向量組的秩及極大線性無關(guān)組的方法。向量組的極大線性無關(guān)組的定義：向量組的極大線性無關(guān)組的定義：(1) 線性無關(guān)線性無關(guān)(2)每個向量都可以由每個向量都可以由 線性表出線性表出則稱 為極大線性無關(guān)為極大線性無關(guān) 組對向量組對向量組 若存在部分向量的向量組若存在部分向量的向量組 滿足滿足 : 向量組的秩注 : (1)向量組的極大無關(guān)組不是唯一的 .(2)單個零向量構(gòu)成的向量組無極大線性無關(guān)組 .(3)不全是零向量的向量組一定有極大線性無關(guān)組 .(4) 向量組本身與其極大無關(guān)組等價 . (5) 同一向量組的兩個極大無關(guān)組間是等價的，所含向量的個數(shù)一樣 .(4) 向量組中的任一個非零向量都可擴(kuò)充為一個極大線性無關(guān)組 . 向量組的秩定義向量組的秩定義規(guī)定規(guī)定 ,由零向量組成的向量組的秩為由零向量組成的向量組的秩為 0性質(zhì)性質(zhì)向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)稱為向量向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)稱為向量組的組的 秩秩 . 記記1. 向量組向量組 線性無關(guān)線性無關(guān) ?2. 向量組向量組 線性相關(guān)線性相關(guān) ?3. 若向量組若向量組 可由向量組可由向量組 線性表示，線性表示，則4. 等價等價 向量組必有相同的秩向量組必有相同的秩5. 若若 則向量組中任意則向量組中任意 r 個個 線性無關(guān)線性無關(guān)向量都是它的一個極大線性無關(guān)組向量都是它的
化學(xué)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1