第二章線性方程組-閱讀頁
2025-08-16 13:03本頁面
【正文】 x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??線性方程組的一般形式 12, , , nx x x n代 表 個(gè) 未 知 量 ；( 1 , 2 , . . . , 。 解 是 怎 樣 的 ？?是求解線性方程組的一種基本方法。 即得到能直接求出解或者能夠直接判斷其無解的通解方程組。 第三個(gè)方程兩邊同乘以（－ 1/11）得： x3＝－ 2； 將 x3＝－ 2代入第二個(gè)方程得： x2＝ 9； 再將 x2＝ 9， x3＝－ 2代入第一個(gè)方程得： x1＝－ 3。 我們稱著三種變換為線性方程組的初等變換。 即，方程組（ 1）經(jīng)初等變換化為一個(gè)新方程組，那么新方程組也可以經(jīng)過初等變換還原為原方程組（ 1）。 nnnnnnnbaaabaaabaaa????????21222221111211對線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對這張表的研究 . 線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)按原位置可排為 ???????????????????mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa???????????????22112222212111212111矩陣 由 個(gè)數(shù) 排成的 行 列的數(shù)表 nm?m n ? ?njmia ij ,2,1。 記做： i jijrr?ikikrj k iijr kr?若把定義中的行換成列，就得到矩陣的三種 初等列變換！相應(yīng)的記為： ijcc? ikc ijc kc?初等列變換和初等列變換通稱為 矩陣的初等變換 如果矩陣 A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣 B， 記做 。 2 1 3 91 1 1 43 5 2 3 2?????????1 1 1 42 1 3 93 5 2 3 2?????????12rr?1 1 1 40 1 5 10 2 1 2 0???????????212rr?313rr?1 1 1 40 1 5 10 0 1 1 2 2???????????312rr?1 0 0 30 1 0 90 0 1 2??????? ???3 2 31 ,511 r r r??2 1 2 3,r r r r? ? ?例 3 例二中用消元法解線性方程的過程相當(dāng)于對其增廣矩陣施行初等行變換 以最后一個(gè)矩陣為增廣矩陣的方程組為 xxx?????１23 =3 = 9 = 2因此方程組有唯一解，這個(gè)結(jié)果和消元法一致！ 定義 3 滿足下列兩個(gè)條件的矩陣稱為梯矩陣。 首非零元為 1，且首非零元所在列的其它元都為零的梯矩陣，稱為最簡梯矩陣，簡稱 最簡形 。證明 Step1 若 A的元全為 0, A已經(jīng)是一個(gè)階梯矩陣。 繼續(xù)對行階梯矩陣做行變換： 每個(gè)非零行同除以該行的首非零元，就可以將該行 的首非零元化為 1。 推論 m n A? 矩 陣 經(jīng) 過 初 等 行 變 換 化 成 的最 簡 梯 矩 陣 是 唯 一 的 。 1412312rr3rrr r?????????????????4124021240412402611A24231rrrr1r?? B??????????1 1 6 20 4 1 2 40 0 0 60 0 0 024231rrrr1r?? B??????????????000060004124026116r4r32???????????? ?00001000131026116r4r32???????????? ?0000100013102611213132rrrrr???2rC??????? ???????1 0 3 00 1 3 00 0 0 10 0 0 0B是所求的梯矩陣， C是最簡形 1 、線性方程組的初等變換：三種變換。 若 稱則則 為 降 秩矩 陣 .. , 數(shù)是唯一確定的梯形矩陣中非零行的行梯形，行階把它變?yōu)樾须A變換總可經(jīng)過有限次初等行任何矩陣 nmA ?矩陣的秩 例 1 .132321321的秩求矩陣???????????A解 中，在 A，階子式只有一個(gè)的又 AA 3?.032 21 ?，且 0?A.2)( ?? AR例 2 .00000340005213023012的秩求矩陣???????????????????B解 行，其非零行有是一個(gè)行階梯形矩陣， 3B?.4 階子式全為零的所有B?,0400230312???而.3)( ?? BR行階梯形矩陣的秩 = 非零行的行數(shù) 例 3 ，求該矩陣的秩．已知??????????????510231202231A,0220 31 ???102120231???502320231?解 計(jì)算 A的 3階子式， ,0? ,0?510312223??512310221???,0? ,0??.0?? ? .2?? AR做初等變換，對矩陣??????????????510231202231A另解 1 3 2 2 1 3 2 20 2 1 3 0 2 1 3 ,2 0 1 5 0 0 0 0???? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?顯然，非零行的行數(shù)為 2， ? ? .2?? AR 此方法簡單！ . , 梯形等行變換把他變?yōu)樾须A總可經(jīng)過有限次初因?yàn)閷τ谌魏尉仃?nmA ?問題 ：經(jīng)過 初等變換，兩個(gè)矩陣的秩是否相同？ 三、求矩陣秩的初等變換法 定理 2 初等變換不改變矩
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