【正文】 b,c,d,n) for i=2:n r=a(i)/b(i1)。 b(i)=b(i)r*c(i1)。 for i=n1:1:1 d(i)=(d(i)c(i)*d(i+1))/b(i)。 迭代法適用于解大型稀疏方程組 (萬階以上的方程組 ,系數(shù)矩陣中零元素占很大比例 ,而非零元按某種模式分布 ) 背景 : 電路分析、邊值問題的數(shù)值解和數(shù)學(xué)物理方程 問題 : (1)如何構(gòu)造迭代格式？ (2)迭代格式是否收斂？ (3)收斂速度如何？ (4)如何進(jìn)行誤差估計？ 167。 S是要建立的稀疏矩陣的非 0元素； u(i)、 v(i)分別是 S(i)的行標(biāo)和列標(biāo)； 該函數(shù)生成一個 max(u)行、 max(v)列并以 S為稀疏元素的稀疏矩陣 u=[1,1,4]。 s=[1,3,7]。調(diào)用格式為： B=spconvert(A) 其中 A為一個 m 3或 m 4的矩陣，每行表示一個非 0元素， m是非 0元素的個數(shù)， A每個元素的意義是： (i,1) 第 i個非 0元素所在的行。 (i,3) 第 i個非 0元素值的實部。 A=[1,1,4。 1,3,7]。 解向量 (1)叫簡單迭代法 ,B叫迭代矩陣。 xxx( 0 ):1 Bx? ?注 意 （ ） 時 不 能 說 “ 對 任 意 都 不 收 斂 ” 。 定理 定理 對于簡單迭代法，若迭代矩陣 ( 1 ) ( ) ( 0 ) 1 kkx B x g xB?? ????對 任 意 初 始 向 量 都 收 斂（ ）設(shè)有方程組 ( 其中 ) Ax = b， 即 0iia ?11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 2nnnnn n nn n na x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ???? ? ? ??????? ? ? ???LLLLLLLLLLLLLLLL(2) 作等價變形 1 1 1 12 2 1112 2 21 1 2 2221 1 2 21()1()1()00 0nnnnn n n n nnnx b x a x a xax b a x x a xax b a x a x xa?? ? ? ? ????? ? ? ? ???????? ? ? ? ????(3) Jacobi迭代法 22( 1 ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2 111( 1 ) ( ) ( ) ( )2 2 2 1 1 2 2( 1 ) ( ) ( ) ( )1 1 2 21( 0 ...... .... )1( 0 ...... .... )1( ...... .... 0 )k k k knnk k k knnk k k kn n n n nnnx b x a x a xax b a x x a xax b a x a x xa????? ? ? ? ????? ? ? ? ??????? ? ? ? ???L L L L L L L L L L L L L(k=0,1,2,…) (4) ( 1 ) ( )1nkki i i j j i ij j ix b a x a????????????法 1： 法 2： Ax = b A=D+(L+U) Dx = (L+U ) x + b = x = D1(L+U)x + D1 b L U = x = BJ x+ f = 迭代公式： x(k+1) = BJ x(k)+ f , (k=0,1,2…) BJ= D1（ L+U） , f =D1b D 編寫實現(xiàn) Jacobo迭代法的函數(shù) : function s=jacobi(a,b,x0,err) % jacobi迭代法求解線性方程組， a為系數(shù)矩陣， b為%ax=b右邊的 %矩陣 b,x0為迭代初值， err為迭代誤差 if nargin==3 err=。%構(gòu)造對角陣 D D1=inv(D)。%構(gòu)造嚴(yán)格下三角陣 U=triu(a,1)。%求出迭代矩陣 f=D1*b。 n=1。 s=B*x0+f。 end n 1 2 31 2 31 2 39710 815 13x x xx x xx x x? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ??A=[9 1 1。1 1 15]。8。 x0=[0。0]。 s=jacobi(A,b,x0,err) 結(jié)果： n 1 2 3 4 5 6 7 例 三、 GaussSeidel 迭代法 對于 Ax = b 22( 1 ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2 111( 1 ) ( ) ( ) ( )2 2 2 1 1 2 2( 1 ) ( ) ( ) ( )1 1 2 21( 0 ...... .... )1( 0 ...... .... )1( ...... .... 0 )k k k knnk k k knnk k k kn n n n nnnx b x a x a xax b a x x a xax b a x a x xa????? ? ? ? ????? ? ? ? ??????? ? ? ? ???L L L L L L L L L L L L LJacobi迭代公式為 (k=0,1,2,…) (4) ( 1 ) ( )1nkki i i j j i ij j ix b a x a????????????( 1 ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2 111( 1 ) ( 1 ) ( ) ( )2 2 2 1 1 2 222( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( )1 1 2 21 01 0 1 0k k k knnk k k knnk k k kn n n n nnnx b x a x a xax b a x x a xax b a x a x xa???? ? ????? ? ? ? ???????? ? ? ? ??????? ? ? ? ??????????與 （ 4） 對應(yīng)的迭代公式為： —— GaussSeidel迭代法 1( 1 ) ( 1 ) ( )11ink k ki i i j j i j j i ij j ix b a x a x a???? ? ???? ? ???????(5) 法 1： 法 2： Ax = b A=D+L+U (D+L) x = U x + b = 迭代公式： x(k+1) = BGS x(k)+ f , (k=0,1,2…) 11( ) ( )x D L U x D L b??? ? ? ? ? ?( 1 ) 1 ( ) 1( ) ( )kkx D L U x D L b? ? ?? ? ? ? ? ?11( ) , ( )GSB D L U f D L b??? ? ? ? ? ? ?L U D 編寫實現(xiàn) Seidel迭代法的函數(shù) : function s=seidel(a,b,x0,err) % seidel迭代法求解線性方程組， a為系數(shù)矩陣， b為%ax=b右邊的 %矩陣 b,x0為迭代初值， err為迭代誤差 if nargin==3 err=。%構(gòu)造對角陣 D L=tril(a,1)。%構(gòu)造嚴(yán)格上三角陣 C=inv(D+L)。 f=C*b。 s=B*x0+f。 end n 1 2 31 2 31 2 39710 815 13x x xx x xx x x? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ??A=[9 1 1。1 1 15]。8。 x0=[0。0]。 s=seidel(A,b,x0,err) 結(jié)果： n 1 2 2 3 4 例 發(fā)現(xiàn)： seidel收斂速度比 jacobi快 — 松弛因子， =1 即 Seidel方法 (5) (6)是一種加權(quán)平均。 02???Ax b? (0)x01???02???(0)x(0)x( 1 ) ( 1 ) 1 ( 1 ) ( )( 1 ) ( )k k k kx x D b L x U x??? ? ? ?? ? ? ? ?法 2： SOR法的矩陣迭代格式： ( 1 ) ( )kkx B x f??? ? ?11( ) [ ( 1 ) ] , ( )B D L D U f D L b? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?1( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )111( 1 )ink k k ki i i i j j i j jj j iiix x b a x a xa?????? ? ???? ? ? ? ? ???????編寫實現(xiàn) SOR迭代法的函數(shù) : function s=SOR(a,b,x0,w,err) % seidel迭代法求解線性方程組， a為系數(shù)矩陣， b為%ax=b右邊的 %矩陣 b,x0為迭代初值， w為松弛因子，%err為迭代誤差 if nargin==4 err=。%構(gòu)造對角陣 D L=tril(a,1)。%構(gòu)造嚴(yán)格上三角陣 C=inv(D+w*L)。 f=w*C*b。 s=B*x0+f。 end n 1 2 31 2 31 2 39710 815 13x x xx x xx x x? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ??A=[9 1 1。1 1 15]。8。 x0=[0。0]。 w=。 不可解問題 線性方程組并不總是數(shù)值可解的，考慮如下三 個方程組。 2 , 2 ] \ [ 1 。 1 , 1 ] \ [ 1 。 1 , 1 。 1 。 病態(tài)問題 有許多線性方程組理論上是可解的，但實際計算中由于受到舍入誤差的干擾而無法得到精確解，此類問題稱為 病態(tài)問題 。 MATLAB中計算條件數(shù)的命令是： cond(A) 對于病態(tài)矩陣，逆矩陣和行列式的計算都會變得不精確。( 3 ) * ( )4 ( * ( ) ) 1 * ( )AAinv inv A AA inv Ac o n d A inv A A inv A?（ ） 的 計 算 值 與 有 較 大 偏 離 ；（ ） 的 計 算 值 明 顯 不 等 于的 計 算 值 與 單 位 矩 陣 有 較 大 偏 離 ；（ ） 與 的 偏 離 可 作 為與 單 位 陣 的 偏 差 的 精 確 度 量 。 b=[1 2 2]39。 A\bA\b1 for k=3:8 H=hilb