【正文】 b=[1 2 2]39。 1 。 不可解問題 線性方程組并不總是數(shù)值可解的，考慮如下三 個方程組。8。 f=w*C*b。 s=seidel(A,b,x0,err) 結(jié)果： n 1 2 2 3 4 例 發(fā)現(xiàn)： seidel收斂速度比 jacobi快 — 松弛因子， =1 即 Seidel方法 (5) (6)是一種加權(quán)平均。1 1 15]。%構(gòu)造嚴格上三角陣 C=inv(D+L)。 x0=[0。 s=B*x0+f。%構(gòu)造對角陣 D D1=inv(D)。 1,3,7]。 s=[1,3,7]。 b(i)=b(i)r*c(i1)。1d c xxb???將其代入第二個方程 ，得： 2 1 2 2 2 3 2a x b x c x d? ? ?22 1 2 3122211ad d c xbxabcb???????21,arb??39。1， 6， 1， 3]。R=X 若 X為非對稱正定，則輸出一個出錯信息 ? [R， p]=chol(X)：這個命令格式將不輸出出錯信息。 A=[3， 1， 4， 1。 實際上，將選主元 Gauss消去法里的行交換同樣作用于單位矩陣，所得矩陣即為 P。1。 if i~=3, a(i,:)=a(i,:)a(i,3)*a(3,:)。 a(i,:)=a(i,:) a(i,1)*a(1,:)。 例 2：用 Gauss－ Jordan消去法求解上例中的矩陣 的逆矩陣。 a(2,:)=tempo。 0] %先定義增廣矩陣 x = [0,0,0]‘。下面研究 、 一 、 Gauss簡單消元法 （ m=n) 設(shè) 有 用線性代數(shù)中的克萊姆法則求解時，工作量非常大， 工作量小的方法是 Gauss消元法。3,3,2,2]。方程組有無窮個解，基礎(chǔ)解系為 x39。r39。* ( 39。nobalance39。 c=poly(A) 求矩陣 A的特征多項式的系數(shù) roots(c) 求多項式 c的根 八 、 求矩陣 A的共軛矩陣 conj(A) eig(A) 求矩陣 A的特征值 常用的調(diào)用格式有 ： ?E=eig(A) 求矩陣 A的全部特征值，構(gòu)成向量 E。 x3=det(D3)/DD。6]。0,0,1]。A=A, B 9,7,6,12。norm1=norm(H*inv(H)eye(size(H)))。11,18,25,2,19]。 pascal(6) ans = 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 21 1 4 10 20 35 56 1 5 15 35 70 126 1 6 21 56 126 252 例 求 (x+y)5的展開式。3。第三章 線性代數(shù)方程組及矩陣特征值 預(yù)備知識 直接法 迭代法 不可解問題 病態(tài)問題 167。5]) A = 1 1 1 1 8 4 2 1 27 9 3 1 125 25 5 1 (3) 希爾伯特矩陣（ Hilbert） Hilbert矩陣的每個元素 hij=1/(i+j1) hilb(n) 生成 n階希爾伯特矩陣 invhilb(n) 專求 n階的希爾伯特矩陣的逆矩陣 注意 1：高階 Hilbert矩陣一般為病態(tài)矩陣，所以直接求逆可能出現(xiàn)錯誤結(jié)論，故應(yīng)該采用 invhilb(n) 注意 2：由于 Hilbert矩陣本身接近奇異，所以建議處理該矩陣時建議盡量采用符號運算工具箱，若采用數(shù)值解時應(yīng)該驗證結(jié)果的正確性 (4) 托普利茲矩陣 (toeplitz) toeplitz矩陣除第一行第一列外，其他每個元素都與左上角的元素相同。 pascal(6)次對角線上的元素 1， 5， 10， 10， 5， 1即為展開式的系數(shù)。 a1=norm(A,1) %求 A的 1—范數(shù) a2=norm(A) %求 A的 2—范數(shù) ainf=norm(A,inf) %求 A的 ∞—范數(shù) 四、 矩陣的逆與偽逆 矩陣的逆（后面研究完 Gauss消去法后還將給出求逆的方法） 求方陣 A的逆可用 inv(A) 注意：該函數(shù)也適用于符號變量構(gòu)成的矩陣的求逆 例 用求逆矩陣的方法解線性方程組。 H1=invhilb(n)。4,14,15,1]。A pinv(A) 五、 求方陣 A的行列式 : det(A) 例 用克萊姆 (Cramer)方法求解線性方程組 (不建議使用） 程序如下： D=[2,2,1,1。 %定義常數(shù)項向量 D1=[b,D(:,2:4)]。 x4=det(D4)/DD。 ?[V,D]=eig(A) 求矩陣 A的全部特征值，構(gòu)成對角陣 D，并求 A的特征向量構(gòu)成 V的列向量。) 現(xiàn)求解線性方程組 Ax b?1 1 1 1 2 2 1 12 1 1 2 2 2 2 21 1 2 2 mnnnnm m m n na x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL情形 1： m=n（恰定方程組） 在 MATLAB中的求解命令有： 123 2 11 1 1[ 3 , 2 。)x A bx inv A bx A bx b Ax b inv A?????解線性方程組的一般函數(shù)文件如下： function [x,y]=line_solution(A,b) [m,n]=size(A)。)。)。b=[4,6,12,6]39。 167。 % 先將解設(shè)為零向量，后面重新賦值 tempo = a(2,:)。a %第二次選主元 a(3,:) = a(3,:) a(2,:)*a(3,2)/a(2,2)。 clear A = [ 。 end。 end。0]。 在 MATLAB中， LU分解的命令是 lu，有兩種格式： ? [l,u,p]=lu(A) 其中 A是待分解矩陣； l,u,p分別代表 L(主對角線元素為 1的下三角矩陣）、 U（ 上三角矩陣）和由單位陣變換出的置換矩陣 P 滿足： PA=LU，即 A=P1LU ? [l,u]=lu(A) 其中 l= P1L，所以 A=lU=P1LU 用此格式求出來的 l 并不一定是真正的下三角矩陣， 需要換行后才能是真正的下三角矩陣 ? 實現(xiàn) LU分解后， 若采用 [l,u]=lu(A) ，則 Ax=b的解為 x=u\ (l \ b) 若采用 [l， u， p]=lu(A)，則 Ax=b的解為 x=u( l \( p*b)) 例 利用 LU分解法求解方程組 12342 4 2 6 94 9 6 1 5 2 32 6 9 1 8 2 26 1 5 1 8 4 0 4 7xxxx??? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???A=[2 4 2 6。1， 3， 0， 2。當(dāng) X為對稱正定的，則 p=0， R與上述格式得到的結(jié)果相同；否則 p為一個正整數(shù)。 b=[12， 6， 4， 0]39。2 2 32 39。 end d(n)=d(n)/b(n)。 sparse(u,v,s) 結(jié)果 ： ans = (1,1) 1 (4,1) 7 (1,2) 3 [U,V,S]=find(A) 返回矩陣 A中非 0元素的下標和元素，這里產(chǎn)生的 U、 V、 S可作 sparse(u,v,s)的參數(shù) full(A) 返回稀疏存儲矩陣 A對應(yīng)的 完全存儲方式 矩陣 相關(guān)操作的函數(shù)： 產(chǎn)生一個稀疏矩陣 把要建立的稀疏矩陣的非 0元素及其所在行和列的位置表示出來后由 MATLAB自己產(chǎn)生其稀疏存儲方式，這需要使用 spconvert函數(shù)。 spconvert(A) 結(jié)果： ans = (1,1) 4 (1,2) 1 (1,3) 7 單位稀疏矩陣的產(chǎn)生 eye 產(chǎn)生一個完全存儲方式的單位矩陣 speye(m,n) 產(chǎn)生 一個 m n的 稀疏存儲單位 矩陣 speye(2,3) ans = (1,1) 1 (2,2) 1 二、簡單迭代法 . 考慮 Ax=b Ax b x Bx g? ? ? ? (矩陣 B不唯一 ) 對應(yīng)寫出 ( 1 ) ( )( 0 ) ( 0 , 1 , 2 , ) ( 1 )kkx B x g kx?? ? ? ????? 取 定 初 始 向 量產(chǎn)生向量序列 ( 1 ) ( 2 ) ( ) ( 1 ), , , , ,kkx x x x ?若收斂 ,記 ( 1 )l im kk xx??? ?則于 (1)兩端取極限有： ,x Bx g??上式說明： 是解向量 ，從而當(dāng) k充分大時 ( 1 )kx ? ?注意 : 迭代陣 B不唯一， B的選取 影響收斂性。%求對角陣 D的逆矩陣 L=tril(a,1)。 s39。0。 B=C*U。 b=[7。 1( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )111( 1 )ink k k ki i i i j j i j jj j iiix x b a x a xa?????? ? ???? ? ? ? ? ?????????四 、 超松弛迭代法 (SOR法 ) ( 1 , 2 , , ) (6)in?法 1 SOR方法的收斂性如下（不加證明）： (1)SOR方法對任意 都收斂的必要條件是： (2)若系數(shù)矩陣 A對稱正定 ， 則 時 SOR方法 求解 對任意 收斂； (3)若系數(shù)矩陣 A按行 （ 或按列 ） 嚴格對角占優(yōu) ， 則 時 SOR方法對任意 收斂 。 n=1 %n為迭代次數(shù)s=B*x0+f while norm(sx0)=err n=n+1 x0=s。13]。 121212121212121()2 2 21()022( ) 120xxAxxxxBxxxxC x xxx? ? ???? ? ???