【正文】 2 2 , 1 nnnn n ni in n i nn nn n n na x a x a x aa x a x aa x a x aa x a x a????? ? ? ???? ? ?????? ? ????? ? ???　 　LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL11 1111( 2 , , )1 iia a i naia?????????用 將 化 為 零 ；把 第 行 ， 加 到 第 行 。 a(1,:)=tempo。 %消去完成，現(xiàn)在開始回代 x(2) = (a(2,4) a(2,3)*x(3))/a(2,2)。 ] a=[A,eye(3)]。 a(3,:) = a(2,:)。 a A_inv = a(:,4:6) A*A_inv 結(jié)果為： A_inv = 也可用 rref命令來(lái)求 三、 Gauss 全主元消去法： 優(yōu)點(diǎn) 計(jì)算結(jié)果更可靠； 缺點(diǎn) 挑主元花時(shí)間更多， 次序有變動(dòng)，程序復(fù)雜。rref(C) %法 4：化為行最簡(jiǎn)形 定義 A LU? 叫 A 的三角（因子）分解，其中 是 L是上三角。2 6 9 18。 1， 6， 1， 3]。R=X(1:q， 1:q) ? 實(shí)現(xiàn) Cholesky分解后，線性方程組 Ax=b變成 R’Rx=b，所以 x=R\(R’\b)。 八、解三對(duì)角方程組 ——追趕法 給定方程組 按行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu) （三對(duì)角方程組） 其求解算法是 Gauss消去法的一種變形，稱為三對(duì)角法（追趕法）。3 3 43 39。 end x=d。 (i,2) 第 i個(gè)非 0元素所在的列。 . 定義 稱 1( ) m a x | ( ) |iinBB????? 為矩陣 B的譜半徑。%構(gòu)造嚴(yán)格上三角陣 B=D1*(L+U)。1 10 1。 err=。 n=1%n為迭代次數(shù) s=B*x0+f while norm(sx0)=err n=n+1 x0=s。13]。 elseif nargin4 error return end D=diag(diag(a))。 s39。0。 2 ]wa r n i n g : M a t r i x i s si n g u l a r t o worki n g p r e c i si o n . a n s= [ 1 , 1 ] \ [ 1 ]a n s 10( ) [ 1 , 1 。 病態(tài)矩陣的一個(gè)重要標(biāo)志是條件數(shù) 矩陣 A的條件數(shù)記為 Cond(A)，定義為： 1()Cond A A A ???條件數(shù)總滿足： ( ) 1C on d A ?注：當(dāng)矩陣是病態(tài)時(shí)，其條件數(shù)一定很大，但并不能直接說(shuō)明解的誤差。 cond(H) end 。所以具備下列特征的問(wèn)題可認(rèn)為是病態(tài)的： 11 d e t( ) * d e t( ) 12 ( ( ) ) 。 0 ]wa r n i n g : M a t r i x i s si n g u l a r t o worki n g p r e c i si o n . a n s= ()ABC???????????若 僅 求 解 第 一 個(gè) 方 程 ：[ 1 , 2 。 err=。1 10 1。%構(gòu)造嚴(yán)格下三角陣 U=triu(a,1)。0。 s39。 elseif nargin3 error return end D=diag(diag(a))。 b=[7。 s=B*x0+f。( 1 ) ( )11111( 0 ) ( 0 , 1 , 2 , ) ,| | | | m a x | | 1 | | | | m a x | | 1 kknnij ijj n i nijx Bx g kB b B bx??? ? ? ???? ? ?? ? ? ???對(duì) 迭 代 法 若或則 其 對(duì) 任 意 收 斂 。 (i,4) 第 i個(gè)非 0元素值的虛部，若矩陣的全部元素都是實(shí)數(shù)，則無(wú)須第四列。 解線性方程組的迭代法 一、稀疏矩陣存儲(chǔ)方式的產(chǎn)生與轉(zhuǎn)化 由 完全存儲(chǔ) 方式 轉(zhuǎn)為 稀疏存儲(chǔ) 方式命令： B=sparse(A) 將矩陣 A轉(zhuǎn)化為稀疏存儲(chǔ)方式的矩陣 B sparse(m,n) 生成一個(gè) m n的所有元素都是 0的稀疏 矩陣 sparse(u,v,S) u,v,S是 3個(gè)等長(zhǎng)的向量。39。39。 A=[3， 1， 4， 1。 [Q， R]=qr(A)。4 9 6 15。 U若 L 是 下三角， U是單位上三角，則稱 A=LU為 Crout分解 。 。 a %第二次選主元，交換第二行和第三行 a(2,:)=a(2,:)/a(2,2)。 a(2,:) = a(1,:)。 x 運(yùn)行得方程組的解為： a = 0 x = 也可直接用 x=A\b 說(shuō)明： (1)也可采用無(wú)回代的列主元消去法 (叫 GaussJordan消去法 )， 該法同時(shí)消去對(duì)角元上下的元素 ，且仍舊需要選主元 ， 但比有回代的列主元消去法的乘除運(yùn)算次數(shù)多 。 %將第一個(gè)對(duì)角元下面的數(shù)字消為 0 a(3,:) = a(3,:) a(1,:)*a(3,1)/a(1,1)。 LLLLL11 1 12 2 1 1 , 122 2 2 2 , 1 ,1 n n nn n nnn n n na x a x a x aa x a x aa x a???? ? ? ???? ? ????? ??　 　LLLLLLLLLLLLL(n) 回代求解公式 ,1,111[]( 1 , 2 , ..., 1nnnnnnk k n k j jjkkkaxax a a xak n n?????????? ????? ? ??（ ) 是回代過(guò)程 。b=[6,4,2]39。 end end return 如在 MATLAB命令窗口 ， 輸入命令 A=[2,2,1,1。)。原方程組有有無(wú)窮個(gè)解，其齊次方程組的基礎(chǔ) 解系為 y，特解為 x39。 \ ( ) * ^ ( 1 ) * 39。3 1 1。3,3,2,2]。%用方程組的右端向量置換 D的第 4列 DD=det(D)。 %定義系數(shù)矩陣 b=[4。1,1,3,1]。 4,14,15,1]。, n,norm1,norm2) end n= 5 norm1= norm2= n= 6 norm1= norm2= n= 7 norm1= norm2= n= 8 norm1= norm2= n= 9 norm1= norm2= n= 10 norm1= norm2= n= 11 norm1= norm2= Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = . n= 12 norm1=+001 norm2= Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = . n= 13 norm1=+001 norm2=+001 Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = . n= 14 norm1=+004 norm2=+002 說(shuō)明 1:對(duì)于 Hilbert求逆時(shí)，不建議用 inv,可用 invhilb直接產(chǎn)生逆矩陣 說(shuō)明 2： 符號(hào)工具箱中也對(duì)符號(hào)矩陣定義了 inv( )函數(shù) ,即使對(duì)更高階的奇異矩陣也可以精確的求解出逆矩陣 例： H=sym(hilb(30))。 b=[5,–2,6]39。23,5,7,14,16。 例 T=toeplitz([1:5],[1:7]) T = 1 2 3 4 5 6 7 2 1 2 3 4 5 6 3 2 1 2 3 4 5 4 3 2 1 2 3 4 5 4 3 2 1 2 3 (5) 帕斯卡矩陣 二次項(xiàng) (x+y)n展開后的系數(shù)隨 n的增大組成一個(gè)三角形表，稱為楊輝三角形。 vander(V) 生成以向量 V為基礎(chǔ)向量的范得蒙矩陣。命令如下： M=100+magic(5) (2) 范得蒙矩陣 范得蒙 (Vandermonde)矩陣最后一列全為 1，倒數(shù)第二列為一個(gè)指定的向量，其他各列是其后列與倒數(shù)第二列的點(diǎn)乘積。toeplitz(x)用向量 x生成一個(gè)對(duì)稱的托普利茲矩陣。 v1=norm(V,1) %求 V的 1范數(shù) v2=norm(V) %求 V的 2范數(shù) vinf=norm(V,inf) %求 V的 ∞范數(shù) nnii xxxxx ????? ???2111),(m a xm a x 211 ninixxxxx ??????常用的向量范數(shù) : 22221122|||| nnii xxxxx ????? ???范數(shù)意義下的單位向量 : X=[x1, x2]T 1 1 1 ||X||1 = 1 1 1 1 1 ||X||2 = 1 1 1 1 1 1 ||X||∞ = 1 ? ?? ?1111 / 2m a x m a x211m a xm a xnijjniTnijinjAaA A AAa??????????????(B) 表 示 矩 陣 B 的 最 大 特 征 值常用的矩陣范數(shù) : 例 求矩陣 A的三種范數(shù) 命令如下： A=[17,0,1,0,15。1,8,27]。 n=% norm1=%e norm2=%e\n39。 9,7,6,12。1,3,1,1。3,3,2,2]。%用方程組的右端向量置換 D的第 3列 D4=[D(:,1:3),b]。8,5,3,4。 例：設(shè)矩陣 3 4 23 1 12 0 5A???????????A=[3 4 2。\ xxAbx A bx???? ? ? ????? ? ? ??? ?