矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與計算畢業(yè)論文-閱讀頁
2025-07-12 22:17本頁面
【正文】 個特征值的重復(fù)次數(shù)是因此微分方程的通解是:.同樣，由初始條件可得一個關(guān)于未知量的階線性方程組，其系數(shù)矩陣是通過解此方程組可求得，即可求出．例1計算矩陣指數(shù)函數(shù)，其中解：特征方程為： 所以矩陣的特征值為．所以因此，是的元素。證明： 設(shè)階方陣的特征多項式是。由定理 可知證畢．例1有矩陣指數(shù)函數(shù)，對其求解，在這里解：特征方程為： ，所以矩陣A的特征值為．所以的通解為：當(dāng)時。同時,所以最后算出 Jordon塊求解法在這一節(jié)中闡述的計算比之前的計算方法計算較為麻煩,原理和過程同樣不一樣，這個計算方法用到了矩陣函數(shù)的Jordon 表示式的知識，此方法利用的Jordon 表示式的計算間接的求得．已知和變量的多項式，則稱是的矩陣多項式．和同為階方陣若為階Jordon塊矩陣則關(guān)于階矩陣的矩陣多項式由(1)式可引入多項式的各階導(dǎo)數(shù)，然后能夠表達(dá)為若為Jordon 標(biāo)準(zhǔn)型，,則.這里假設(shè)A是一個階方陣，表示此方陣Jordon標(biāo)準(zhǔn)形，那么會有一個滿秩的矩陣P，使得，因此為矩陣多項式的Jordon 表示式。第一種和第二種方法的計算都用到了微分方程方面的相關(guān)知識，這兩種方法中都運用了到一個 階的線性微分方程，通過對這個方程的求解來計算, 第三種方法從運用了Jordon標(biāo)準(zhǔn)型的知識，主要依據(jù)矩陣函數(shù)的Jordon表示式的變化求解。實際上，由于以上3種方法均需要求計算矩陣的特征值，當(dāng)矩陣的階數(shù)變高，或者出現(xiàn)復(fù)數(shù)運算時，計算矩陣的特征值將會變得困難。使用矩陣指數(shù)函數(shù)展開法會避免矩陣特征值的計算, Laplace變換法則運用了Laplace變換，也不用計算矩陣的特征值。例題，設(shè)，計算直接計算,是二階的單位矩陣。定義在復(fù)平面上的復(fù)變數(shù)的函數(shù)，一般叫它函數(shù)的Laplace變換，在這里在有意義，同時符合不等式（對于復(fù)值的，表示其模），這里， 為某兩個正常。這里，對進(jìn)行Laplace變換由此，如果我們想要求，則可以對進(jìn)行Laplace反變換，即就可以的出結(jié)果了。此方法利用Laplace反變換，完全避免了特征值的計算以及矩陣的變換，充分發(fā)揮了Laplace 反變換的便捷，但是本方法也有一定的缺陷，即Laplace反變換本身計算并不簡單。毋庸置疑，在這三種方法里，最后一種方法的計算量比前二者要多一些，方法三運用到了Jordon表示式的知識，主要根據(jù)矩陣函數(shù)的Jordon表示式的變化求解，此方法經(jīng)過計算的Jordon表示式計算，但是變化Jordon標(biāo)準(zhǔn)形階段有點復(fù)雜，而且整理之后變換矩陣也需要計算，這里所需計算相當(dāng)大，并且如果矩陣的階數(shù)較大，這里所需的計算也會變復(fù)雜．雖然如此，但是此方法也有優(yōu)點，它的計算步驟清楚明了，容易理解，除了計算，在使用時也很方便．第一種和第二種方法的計算都用到了微分方程方面的相關(guān)知識，這兩種方法中都運用了到一個n階的線性微分方程，通過對這個方程的求解來計算, 與方法三比起來，降低了矩陣指數(shù)函數(shù)的計算量，計算的過程也相對簡單，不過對于一般人來說，理解并熟練的運用還有一定的難度．但是實際上，由于以上3種方法均需要求矩陣的特征值，如果遇到高階矩陣或者特征值為復(fù)數(shù)，這三種方法的計算復(fù)雜度都會變高。Laplace反變換法利用Laplace反變換，完全避免了特征值的計算以及矩陣的變換，充分發(fā)揮了Laplace反變換的便捷，計算過程簡介明了，可以說，在計算方法的選擇上，此方法可以作為首選，但這個方法法也有自己的缺點，即Laplace反變換本身計算并不簡單。用上面所用的方法我們可求出：，其中。矩陣指數(shù)函數(shù)是一種特殊的矩陣函數(shù)，同時他也是解決線性微分方程組重要部分。實際上，雖然在齊次線性微分方程組方面引出了，但是這里并不能直接把基解矩陣和劃等號，還需要相關(guān)性質(zhì)的證明，之后本文又從簡單的介紹了矩陣函數(shù)的性質(zhì)，從另一方面再次引出，并在矩陣函數(shù)的基礎(chǔ)上對矩陣函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究，一共提出了7條性質(zhì)，并對其逐一進(jìn)行證明，實際上，一般的文獻(xiàn)中只提到了只有6條基本性質(zhì)，第七點為矩陣指數(shù)函數(shù)的衍生性質(zhì)，本文通過研究，最終給出了證明。之后，本文又提到了兩種特殊方法，矩陣指數(shù)函數(shù)展開法簡單粗暴，如果A是正交矩陣，用矩陣指數(shù)函數(shù)展開法可以簡化計算，這種方法避免了對矩陣特征值的計算，遇到高階矩陣或者特征值為復(fù)數(shù)計算量也不會變高，缺點是只能用于正交矩陣。文章的末尾，本文回到了微分方程組，使用例題來對指數(shù)函數(shù)在微分方程中的應(yīng)用進(jìn)行了介紹，分別解決了齊次與非齊次兩個問題。33參考文獻(xiàn)[1]F. AluffiPentini, V. Parisi, A novel algorithm for the numerical integration of systems of ordinary differential equations arising in chemical problems, [J]Math. Chem. 33 (2003) 1–15.[2] Lancas ter P, T ism enest aky M . Th e T heory of Mat rices w ith Applicat ions [M] . T he second Edit ion Academic Press , 1985.[3]Wermuth E M E．Two remark on matrix exponentinls[M]．Linenr algebra App1．1989，17： 127~132.[4]C. Moler and C. Van Loan, Nineteen dubious ways to pute the exponential of a matrix[M],SIAM Review, 20(1978), 801836.[5]史榮昌，[M]，北京理工大學(xué)出版社，2010.[6]王高雄，周之銘，朱思銘，等．常微分方程：第２版[M].北京：高等教育出版社，１９８３.[7] 變換在矩陣指數(shù)函數(shù)中的應(yīng)用[J].荊楚理工學(xué)院學(xué)報，2011,26 (7):4345.[8]張偉紅，檀結(jié)慶，的Thiele 型矩陣有理逼近[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué) 版),2006, 29(10): 147149.[9]張俊祖, 姜根明, 馮復(fù)科. 矩陣指數(shù)函數(shù)的一種計算[J].長安大學(xué)學(xué)報, 2006, 26(1): 108110。站在人生的又一個轉(zhuǎn)折點上，心中難免思緒萬千，有興奮，有不舍，有迷茫有期待，此時一種感恩之情油然而生。感謝生我養(yǎng)我，含辛茹苦的父母。沒有你們就不會有我的今天。感謝天津科技大學(xué)在我四年的大學(xué)生活當(dāng)中對我的教育與培養(yǎng)，感謝天津科技大學(xué)理學(xué)院的所有老師，沒有你們的辛勤勞動，就沒有我們今日的滿載而歸，感謝大學(xué)四年曾經(jīng)幫助過我的所有同學(xué)。喬嵐老師是一名優(yōu)秀的、經(jīng)驗豐富的教師，她對我嚴(yán)格要求，引導(dǎo)我不斷開闊思路，為我答疑解惑，鼓勵我大膽創(chuàng)新，在論文工作中，我總是遇到了許許多多這樣那樣的問題，喬嵐老師總能耐心的對我講解、答疑， 值此論文完成之際，謹(jǐn)向喬嵐老師致以最崇高的謝意!最后，衷心地感謝在百忙之中評閱論文和參加答辯的各位老師！
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