傅里葉變換和拉普拉斯變換-閱讀頁
2025-07-11 16:22本頁面
【正文】 在內(nèi))即為收斂域，收斂軸以左的區(qū)域(包括收斂軸在內(nèi))則為非收斂域。五、拉普拉斯變換的基本性質(zhì) 由于拉普拉斯變換是傅里葉變換在復(fù)頻域(即s域)中的推廣，因而也具有與傅里葉變換的性質(zhì)相應(yīng)的一些性質(zhì)。關(guān)于拉普拉斯變換的基本性質(zhì)在表51中列出。 利用式(55)和拉普拉斯變換的性質(zhì)，可以求出和導(dǎo)出一些常用時間常數(shù)的拉普拉斯變換式，如表52中所列?！∑摺⒗绽狗醋儞Q 從已知的像函數(shù)求與之對應(yīng)的原函數(shù)，稱為拉普拉斯反變換?！?部分分式法 由于工程實際中系統(tǒng)響應(yīng)的像函數(shù)通常都是復(fù)變量s的兩個有理多項式之比，亦即是s的一個有理分式，即 故可將像函數(shù)展開成部分分式，再輔以查拉普拉斯變換表即可求得對應(yīng)的原函數(shù)。即當(dāng)時，應(yīng)先用除法將表示成一個s的多項式與一個余式 之和，即，這樣余式已為一真分式。所以，在下面的分析中，均按已是真分式的情況討論。由于時即有，故稱的根(i=1,2,…,n)為F(s)的極點。即可見，只要將待定常數(shù)求出，則的原函數(shù)即可通過查表52中序號6的公式而求得為 由于此式為恒等式，故可取代入之，并考慮到，故得：*2留數(shù)法 (Residue Method)根據(jù)式(57)知，拉普拉斯反變換式為 這是一個復(fù)變函數(shù)的線積分，其積分路徑是s平面內(nèi)平行于軸的的直線AB(亦即直線AB必須在收斂軸以右)，如圖54所示。這種方法稱為留數(shù)法，也稱圍線積分法。因此，從普遍性考慮，此閉合回線應(yīng)是由直線AB與直線AB左側(cè)半徑的圓所組成，如圖54所示。以下分兩種情況介紹留數(shù)的具體求法。 (524)將式(523)，式(524)分別與式(512)，式(519)相比較，可看出部分分式的系數(shù)與留數(shù)的差別，部分分式法與留數(shù)法的差別。與部分分式相比，留數(shù)法的優(yōu)點是：不僅能處理有理函數(shù)，也能處理無理函數(shù)；若有重階極點，此時用留數(shù)法求拉普拉斯反變換要略為簡便些(見例510)
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