【正文】 1, 又 ∵ y=? (x0)的圖象經(jīng)過點(diǎn) A(3,1), ∴ k=xy=3. (2)① PM= : ∵ 當(dāng) n=1時(shí) ,點(diǎn) P的坐標(biāo)是 (1,1), ∴ 點(diǎn) M的坐標(biāo)為 (3,1),點(diǎn) N的坐標(biāo)為 (1,3), ∴ PM=PN=2. ②由題意知 ,M(n+2,n), ∴ PM=2, ∵ PN≥ PM, ∴ PN≥ 2, ∵ PN=? , kx3 nn ?∴ ? ≥ 2,∴ 0n≤ 1或 n≥ 3. ? 3 n?5.(2022湖北武漢 ,22,10分 )如圖 ,直線 y=2x+4與反比例函數(shù) y=? 的圖象相交于 A(3,a)和 B兩點(diǎn) . (1)求 k的值 。 (3)直接寫出不等式 ? x的解集 . ? kxkx6 5x ?解析 (1)∵ 點(diǎn) A(3,a)在直線 y=2x+4上 , ∴ a=2(3)+4=2. ∵ 點(diǎn) A(3,2)在 y=? 的圖象上 , ∴ k=6. (2)∵ 點(diǎn) M是直線 y=m與直線 AB的交點(diǎn) ,∴ M? . ∵ 點(diǎn) N是直線 y=m與反比例函數(shù) y=? 的圖象的交點(diǎn) , ∴ N? . ∴ MN=xNxM=? ? =4或 MN=xMxN=? ? =4. 解得 m=2或 m=6或 m=6177。 (2)求出 M、 N的坐標(biāo) ,根據(jù) MN=4和 m0求出 m的值 。 (2)若 b=y1+1,點(diǎn) P的坐標(biāo)為 (6,0),且 AB=BP,求 A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo) 。 (2)在平面內(nèi)有點(diǎn) D,使得以 A,B,C,D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形 ,試寫出符合條件的所有 D點(diǎn)的坐標(biāo) . ? kx解析 (1)∵ 反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象過點(diǎn) A(3,4), ∴ ? =4,∴ k=12,∴ 反比例函數(shù)的解析式為 y=? . 由題意易知點(diǎn) B的橫坐標(biāo)為 6, ∵ 點(diǎn) B在反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象上 , ∴ y=? =2,即點(diǎn) B的縱坐標(biāo)為 2. ∴ 點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (6,2). (2)如圖 ,以 A,B,C,D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形有 3種情況 ,分別是 ?ABCD1,?ACBD2和 ?ABD3C, 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)易得 D1(3,2),D2(3,6),由 (1)知線段 BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為 (6,1),該點(diǎn)是線段 AD3 的中點(diǎn) ,所以點(diǎn) D3的坐標(biāo)為 (9,2).故 D點(diǎn)的坐標(biāo)為 (3,2)或 (3,6)或 (9,2). ? kx3k 12xx1263.(2022湖北黃岡 ,23,12分 )月電科技有限公司用 160萬元作為新產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)用 ,成功研制出了 一種市場(chǎng)急需的電子產(chǎn)品 ,已于當(dāng)年投入生產(chǎn)并進(jìn)行銷售 .已知生產(chǎn)這種電子產(chǎn)品的成本為 4 元 /件 ,在銷售過程中發(fā)現(xiàn) :每年的年銷售量 y(萬件 )與銷售價(jià)格 x(元 /件 )的關(guān)系如圖所示 ,其中 AB 為反比例函數(shù)圖象的一部分 ,BC為一次函數(shù)圖象的一部分 .設(shè)公司銷售這種電子產(chǎn)品的年利潤 為 z(萬元 ).(注 :若上一年盈利 ,則盈利不計(jì)入下一年的年利潤 。 (2)求出第一年這種電子產(chǎn)品的年利潤 z(萬元 )與 x(元 /件 )之間的函數(shù)關(guān)系式 ,并求出第一年年 利潤的最大值 。x+b(k39。y160=(x4) 2 0,2 8 39。 1, ???? ??160 ( 4 8 ) ,2 8 (8 2 8 ) .xxxx? ?????? ? ? ?160x640x8當(dāng) 8x≤ 28時(shí) , z=(x4)(x+28)160=x2+32x272=(x16)216. ∴ 當(dāng) x=16時(shí) ,z取最大值 ,zmax=16.? (7分 ) ∵ 1680, ∴ 當(dāng)每件的銷售價(jià)格定為 16元時(shí) ,第一年的年利潤最大 ,最大值為 16萬元 .? (8分 ) (3)∵ 第一年的年利潤為 16萬元 , ∴ 16萬元應(yīng)作為第二年的成本 . 又 ∵ x8, ∴ 第二年的年利潤為 z=(x4),∠ AOB=30176。 (2)連接 CD,求四邊形 CDBO的面積 . ? 3kx解析 (1)過點(diǎn) C作 CM⊥ OB于 M, ∵ 點(diǎn) C為 OA的中點(diǎn) ,∠ ABO=90176。, ∴ CM=OM=? ? =1, 333 33∴ C點(diǎn)的坐標(biāo)為 (? ,1), 把 C(? ,1)代入 y=? 中 ,得 k=? , ∴ 反比例函數(shù)的關(guān)系式為 y=? (x0).? (4分 ) (2)由 (1)知 ,CM是△ ABO的中位線 ,CM=1,∴ AB=2, ∵ 點(diǎn) D在 AB上 ,∴ 點(diǎn) D的橫坐標(biāo)為 2? , 把 x=2? 代入 y=? ,得 y=? ,∴ AD=? ,? (6分 ) S四邊形 CDBO=S△ ABOS△ CAD=? OB( OBOM) =? 2? 2? ? ? =? .? (8分 ) 33kx 33x33 3x12 3212 121 31232 3534評(píng)析 本題考查用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式 ,解決本題的關(guān)鍵是求出 C點(diǎn)坐標(biāo) ,用相 似或三角函數(shù)、平行線分線段成比例定理和三角形中位線的性質(zhì)等都可求 . 考點(diǎn)一 反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì) C組 教師專用題組 1.(2022黑龍江哈爾濱 ,4,3分 )點(diǎn) (2,4)在反比例函數(shù) y=? 的圖象上 ,則下列各點(diǎn)在此函數(shù)圖象上 的是 ? ( ) A.(2,4) B.(1,8) C.(2,4) D.(4,2) kx答案 D 把 (2,4)代入反比例函數(shù)解析式得 k=8,逐個(gè)驗(yàn)證各選項(xiàng)知選 D. 2.(2022遼寧沈陽 ,4,2分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,點(diǎn) P是反比例函數(shù) y=? (x0)圖象上的一點(diǎn) , 分別過點(diǎn) P作 PA⊥ x軸于點(diǎn) A,PB⊥ y軸于點(diǎn) OAPB的面積為 3,則 k的值為 ? ( ) ? C.? ? kx32 32答案 A 設(shè)點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為 xP,縱坐標(biāo)為 yP,由題意得 OA=xP,OB= ,四邊形 OAPB 為矩形 ,∵ 四邊形 OAPB的面積為 3,∴ OAyP=3,又 ∵ 點(diǎn) P在反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象 上 ,∴ xP當(dāng) x0時(shí) ,y=2⊕ x=? ,圖象是反比例函數(shù) y=? 在第二象限內(nèi)的一支 . 故選 D. 2x 2x2x 2x9.(2022浙江溫州 ,10,4分 )如圖 ,矩形 ABCD的頂點(diǎn) A在第一象限 ,AB∥ x軸 ,AD∥ y軸 ,且對(duì)角線的 交點(diǎn)與原點(diǎn) O重合 .在邊 AB從小于 AD到大于 AD的變化過程中 ,若矩形 ABCD的周長始終保持不 變 ,則經(jīng)過動(dòng)點(diǎn) A的反比例函數(shù) y=? (k≠ 0)中 k的值的變化情況是 ? ( ) kx答案 C 在矩形 ABCD中 ,設(shè) AB=2a,AD=2b. ∵ 矩形 ABCD的周長始終保持不變 , ∴ 2(2a+2b)=4(a+b)為定值 , ∴ a+b為定值 ,設(shè) a+b=t,則 b=ta. ∵ 矩形 ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)與原點(diǎn) O重合 , ∴ k=? AB,反 比例函數(shù) y=? 在第一象限的圖象經(jīng)過點(diǎn) B,若 OA2AB2=12,則 k的值為 . ? kx答案 6 解析 設(shè) OC=AC=a,AD=BD=b,則點(diǎn) B(a+b,ab),因?yàn)辄c(diǎn) B在反比例函數(shù) y=? 的圖象上 ,所以 (a+b)(ab)=k,即 a2b2=k,又因?yàn)?OA2AB2=2a22b2=12,所以 a2b2=k=6. kx評(píng)析 解決此題的關(guān)鍵是通過等腰直角三角形的直角邊長表示出點(diǎn) B的坐標(biāo) ,從而利用點(diǎn) B在 反比例函數(shù)圖象上列出等式 ,進(jìn)而求得 k值 . 20.(2022湖北武漢 ,20,8分 )已知反比例函數(shù) y=? . (1)若該反比例函數(shù)的圖象與直線 y=kx+4(k≠ 0)只有一個(gè)公共點(diǎn) ,求 k的值 。 (2)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn) .記圖象 G在點(diǎn) A,B之間的部分與線段 OA,OC,BC圍成的 區(qū)域 (不含邊界 )為 W. ①當(dāng) b=1時(shí) ,直接寫出區(qū)域 W內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù) 。 若 b0,當(dāng)直線過點(diǎn) (4,0)時(shí) ,b=1, 當(dāng)直線過點(diǎn) (5,0)時(shí) ,b=? , ∴ ? ≤ b1. 綜上 ,? ≤ b1或 ? b≤ ? . 7411474 4545454 74114思路分析 本題的第 (2)問需要結(jié)合題意畫圖理解 ,尋找圖象中的臨界點(diǎn) . 解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是在尋找區(qū)域內(nèi)除了 x軸上整點(diǎn)的臨界整點(diǎn)時(shí) ,要注意區(qū)域是不包 含邊界的 . 5.(2022山西 ,17,8分 )如圖 ,一次函數(shù) y1=k1x+b(k1≠ 0)的圖象分別與 x軸 ,y軸相交于點(diǎn) A,B,與反比 例函數(shù) y2=? (k2≠ 0)的圖象相交于點(diǎn) C(4,2),D(2,4). (1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式 。 (2)連接 MC,求四邊形 MBOC的面積 . ? kx 2解析 (1)∵ BM⊥ x軸 ,垂足為 M,∴∠ BMO=90176。BM+? OMPB39。作 A39。 (2)求直線 PC的表達(dá)式 。PB39。(6,4).? (4分 ) ∵ A39。,AA39。PB39。A39。P+S?OAA39。,AA39。B,延長 A39。A39。DS△ OABS△ AA39。 (2)已知點(diǎn) C(0,5),試在該一次函數(shù)圖象上確定一點(diǎn) M,使得 MB= M的坐標(biāo) . ? axax解析 (1)將 A(4,3)代入 y=? ,得 3=? ,則 a=12.? (2分 ) OA=? =5. 由于 OA=OB且 B在 y軸負(fù)半軸上 ,所以 B(0,5), 將 A(4,3)、 B(0,5)代入 y=kx+b,得 ? 解得 ? 故所求函數(shù)表達(dá)式分別為 y=2x5和 y=? .? (6分 ) (2)因?yàn)?MB=MC,所以點(diǎn) M在線段 BC的中垂線上 ,即 x軸上 .又因?yàn)辄c(diǎn) M在一次函數(shù)的圖象上 ,所 以 M為一次函數(shù)圖象與 x軸的交點(diǎn) .令 2x5=0,解得 x=? . 所以 ,點(diǎn) M的坐標(biāo)為 ? .? (10分 ) ? ax4a 2243?3 4 ,5,kbb??????? 2, ??? ???12x525 ,02??????9.(2022重慶 ,22,10分 )在平面直角坐標(biāo)系中 ,一次函數(shù) y=ax+b(a≠ 0)的圖象與反比例函數(shù) y=? (k ≠ 0)的圖象交于第二、第四象限內(nèi)的 A、 B兩點(diǎn) ,與 y軸交于 C點(diǎn) .過點(diǎn) A作 AH⊥ y軸 ,垂足為 H,OH =3,tan∠ AOH=? ,點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (m,2). (1)求△ AHO的周長 。. ∵ tan∠ AOH=? =? ,OH=3,∴ AH=4.? (2分 ) 在 Rt△ AHO中 ,OA=? =? =5.? (4分 ) ∴ △ AHO的周長為 3+4+5=12.? (5分 ) (2)由 (1)知 ,點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (4,3), ∵ 點(diǎn) A在反比例函數(shù) y=? (k≠ 0)的圖象上 , ∴ 3=? .∴ k=12. ∴ 反比例函數(shù)的解析式為 y=? .? (7分 ) ∵ 點(diǎn) B(m,2)在反比例函數(shù) y=? 的圖象上 , ∴ ? =2.∴ m=6. ∴ 點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (6,2).? (8分 ) ∵ 點(diǎn) A(4,3),B(6,2)在一次函數(shù) y=ax+b(a≠ 0)的圖象上 , 4 22AH OH?2243?kx4k? 12xx12∴ ? 解這個(gè)方程組 ,得 ? ∴ 一次函數(shù)的解析式為 y=? x+1.? (10分 ) 4 3,6 2 .abab? ? ??? ? ? ??1 ,21.ab? ???????1210.(2022廣東 ,23,9分 )如圖 ,已知 A? ,B(1,2)是一次函數(shù) y=kx+b(k≠ 0)與反比例函數(shù) y=? (m ≠ 0,x0)圖象的兩個(gè)交點(diǎn) ,AC⊥ x軸于點(diǎn) C,BD⊥ y軸于點(diǎn) D. (1)根據(jù)圖象直接回答 :在第二象限內(nèi) ,當(dāng) x取何值時(shí) ,一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值 ? (2)求一次函數(shù)的解析式及 m的值 。 (2)求點(diǎn) E的坐標(biāo) . mx解析 (1)由已知得 B(1,2),D(1,0),? (1分 ) ∵ 2=? ,∴ m=2, ∴ 反比例函數(shù)的解析式為 y=? .? (2分 ) 設(shè)直線 BD的解析式為 y=kx+b(k≠ 0), 則 ? ∴ ? ∴ 直線 BD的解析式為 y=x1.? (3分 ) (2)直線 BD交 y=? 的圖象于點(diǎn) E, 令 ? =x1,解得 x1=1,x2=2.? (6分 ) 當(dāng) x2=2時(shí) ,y=1,∴ 點(diǎn) E的坐標(biāo)為 (2,1).? (7分 ) 1m 2x0,kbkb? ? ??? ? ? ?? 1,1,kb ???? ???2x2?12.(2022湖南郴州 ,19,6分 )如圖 ,已知點(diǎn) A(1,2)是正比例函數(shù) y1=kx(k≠ 0)與反比例函數(shù) y2=? (m≠ 0)圖象的一個(gè)交點(diǎn) . (1)求正比例函數(shù)及反比例函數(shù)的表達(dá)式