【正文】 示的平面直角坐標系 ,BE⊥ AC,垂足為 y=? (x0)經(jīng)過點 D, 則 OBAC=? BEBE=3. 32 x 32 x34 32 12 1212 12思路分析 根據(jù)圖形的對稱性可得點 A、 C在雙曲線 y=? 上 ,點 B在雙曲線 y=? 上 ,由反比例 函數(shù) y=? 中 k的幾何意義得 S△ ABC=2|k|=3,即 S△ ABC=? BE2 OB=BEAC,又因為 OB=? AC,進而求得 OB (2)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式 . ? kx43解析 (1)∵ AH⊥ y軸于 H,∴∠ AHO=90176。P39。,點 Q39。? ,∴ B點坐標為 (? ,? ),A點坐標為 (? ,? ). ∵ PQ=6,∴ OP=3, 由雙曲線的對稱性 ,得 P的坐標為 ? . ∵ A點平移到 B點與 P點平移到 P39。的坐標為 ? , ? ,kyxyx? ??????k k k k k3 2 3 2,22???????k k3 2 3 22 , 222kk??? ? ?????∵ 點 P39。P39。,點 Q39。,求出點 P39。點的坐標的確定 ,關(guān)鍵是根據(jù)平移的性質(zhì)判斷 AB=PP39。的坐標 . 3.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,19,3分 )如圖 ,一次函數(shù) y=x1的圖象與反比例函數(shù) y=?的圖象在第一象限相交于點 A,與 x軸相交于點 B,點 C在 y軸上 .若 AC=BC,則點C的坐標為 . 2x答案 (0,2) 解析 過點 A向 y軸引垂線 ,垂足為 D. 由 ? 解得 ? 或 ? ∵ A在第一象限 ,∴ A(2,1). 1,2 ,yxy x????? ???2,1xy ??? ??1,2,xy ???? ???在 y=x1中 ,令 y=0,得 x=1.∴ B(1,0). 在 Rt△ OBC中 ,CB2=OC2+OB2,在 Rt△ CAD中 ,CA2=CD2+AD2, 設(shè) C(0,m),∵ CB=CA,∴ m2+12=(m1)2+22,解得 m=2. ∴ C(0,2). 4.(2022內(nèi)蒙古呼倫貝爾 ,25,10分 )某藥品研究所開發(fā)一種抗菌新藥 ,經(jīng)多年動物實驗 ,首次用于 臨床人體試驗 ,測得成人服藥后血液中藥物濃度 y(微克 /毫升 )與服藥時間 x(小時 )之間函數(shù)關(guān)系 如圖所示 (當 4≤ x≤ 10時 ,y與 x成反比例關(guān)系 ). (1)根據(jù)圖象求出 y與 x之間的函數(shù)關(guān)系式 。 當 4≤ x≤ 10時 ,設(shè) y與 x的函數(shù)關(guān)系式為 y=? (k2≠ 0).將點 (4,8)代入 y=? 中 ,可得 k2=32,所以 y=? . 綜上 ,y與 x之間的函數(shù)關(guān)系式為 y=? (2)將 y=4代入 y=2x中 ,得 x=2。,則 k= . 23x kx答案 6? 3解析 作 AD⊥ x軸交 x軸于點 D, ∵∠ AOC=60176。? x=2? . ∴ x2=2.∵ x0,∴ x=? .∴ A(? ,? ). ∴ OA=2? .∵ 四邊形 OABC是菱形 ,∴ AB=OA=2? . ∵ AB∥ x軸 ,∴ B(3? ,? ). ∵ 點 B在函數(shù) y=? (x0)的圖象上 , ∴ k=xy=3? ? =6? . 3323x3 32 2 62 22 6kx2 6 3評析 本題考查了反比例函數(shù)與菱形的綜合應用 ,需要借助反比例函數(shù)關(guān)系式求出菱形的邊 長 ,再利用菱形的性質(zhì)求出反比例函數(shù)圖象上的點的坐標 ,屬中檔題 . 5.(2022陜西 ,15,3分 )已知 P1(x1,y1),P2(x2,y2)是同一個反比例函數(shù)圖象上的兩點 .若 x2=x1+2,且 ? = ? +? ,則這個反比例函數(shù)的表達式為 . 21y11y 12答案 y=? 4x解析 已知 P1(x1,y1),P2(x2,y2)是同一個反比例函數(shù)圖象上的兩點 .設(shè)這個反比例函數(shù)為 y=? (k≠ 0),所以 x1=? ,x2=? .又因為 x2=x1+2,所以 ? =? +2,等式兩邊同時除以 k得 ? =? +? .因為 ? =? +? ,所以 ? =? ,所以 k= y=? . kx1ky2ky2ky1ky21y11y 2k21y11y12 2k 12 4x6.(2022湖南郴州 ,19,6分 )如圖 ,已知點 A(1,2)是正比例函數(shù) y1=kx(k≠ 0)與反比例函數(shù) y2=? (m≠ 0)圖象的一個交點 . (1)求正比例函數(shù)及反比例函數(shù)的表達式 。 (2)直線 AB的表達式 . ? 43mx解析 (1)∵ 正比例函數(shù) y=? x的圖象經(jīng)過點 A,點 A的縱坐標為 4,∴ 點 A的坐標是 (3,4). ∵ 反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點 A,∴ m=12. ∴ 反比例函數(shù)的解析式為 y=? . (2)∵ AC=AB,∴ 點 A在線段 BC的中垂線上 . ∵ BC∥ x軸 ,點 C在 y軸上 ,點 A的坐標是 (3,4), ∴ 點 B的橫坐標為 6. ∵ 點 B在反比例函數(shù)的圖象上 , ∴ 點 B的坐標是 (6,2). 設(shè)直線 AB的表達式為 y=kx+b(k≠ 0),∴ ? ∴ ? ∴ 直線 AB的表達式為 y=? x+6. 4312x4 3 ,2 6 ,kbkb????? 2 ,? ????? ??231.(2022福建龍巖 ,9,4分 )已知點 P(a,b)是反比例函數(shù) y=? 圖象上異于點 (1,1)的一個動點 ,則 ? +? =? ( ) C.? D.? 1x11 a? 11 b?32 12考點二 反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì) 答案 B 把點 P的坐標代入函數(shù)解析式得 ab=1,因為 a≠ 1,b≠ 1,所以 ? +? =? =? =? =1,故選 B. 11 a? 11 b? 11(1 )(1 )baab? ? ???21 aba b ab??? ? ? 22 ab??2.(2022黑龍江哈爾濱 ,5,3分 )在反比例函數(shù) y=? 的圖象的每一條曲線上 ,y都隨 x的增大而減 小 ,則 k的取值范圍是 ? ( ) 1 0 ≥ 1 1 1k x?答案 A ∵ 在反比例函數(shù) y=? 的圖象的每一條曲線上 ,y都隨 x的增大而減小 ,∴ k10,∴ k A. 1k x?3.(2022湖北武漢 ,22,10分 )已知點 A(a,m)在雙曲線 y=? 上且 m0,過點 A作 x軸的垂線 ,垂足為 B. (1)如圖 1,當 a=2時 ,P(t,0)是 x軸上的動點 ,將點 B繞點 P順時針旋轉(zhuǎn) 90176。 ② 若雙曲線 y=? 經(jīng)過點 C,求 t的值 。② 由題意可知點 C的坐標為 (t,t+2), 把點 C的坐標代入 y=? 即可得解 . (2)由題意可得 a=? 和 d=? .由 OA=OD可得 ? +m2=? +n2,最后可知 mn=8或 m+n=0. 8x8m 8n 28m?????? 28n???????方法歸納 解答反比例函數(shù)與幾何圖形相結(jié)合問題的最常用的方法是由點的坐標求相關(guān)線 段的長度 ,用相關(guān)線段的長度表示點的坐標 . 4.(2022四川成都 ,19,10分 )如圖 ,一次函數(shù) y=kx+5(k為常數(shù) ,且 k≠ 0)的圖象與反比例函數(shù) y=? 的 圖象交于 A(2,b),B兩點 . (1)求一次函數(shù)的表達式 。 (2)當 BE=? AC時 ,求 CE的長 . ? kx12解析 (1)∵ 反比例函數(shù) y=? 的圖象經(jīng)過點 A(1,2), ∴ k=2. ∵ AC∥ y軸 ,AC=1,點 C位于點 A的下方 , ∴ 點 C的坐標為 (1,1).∵ CD∥ x軸 ,點 D在函數(shù)圖象上 , ∴ 點 D的坐標為 (2,1).∴ S△ OCD=? 11=? . (2)∵ BE=? AC,∴ BE=? . ∵ BE⊥ CD,∴ 點 B的縱坐標為 ? . ∴ 點 B的橫坐標為 ? . ∴ CE=? 1=? . kx12 1212 12324343 136.(2022湖北黃岡 ,22,9分 )如圖 ,已知雙曲線 y=? 與兩直線 y=? x,y=kx? 分別相交 于 A,B,C,D四點 . (1)當點 C的坐標為 (1,1)時 ,A,B,D三點坐標分別是 A( , ),B( , ),D( , )。 (3)當 k為何值時 ,?ADBC是矩形 ? ? 1x 1410, 4kk????????且解析 (1)? 。(1,1). (2)證法一 :∵ 反比例函數(shù) y=? 的圖象關(guān)于原點對稱 ,過原點的直線 y=? x也關(guān)于原點對稱 , ∴ OA=OB. 同理 ,OC=OD. ∴ 四邊形 ADBC是平行四邊形 . 證法二 :∵ y=? x與 y=? 交于 A,B兩點 , ∴ A? ,B? .∴ 由勾股定理知 ,OA2=(2)2+? =? ,OB2=22+? =? , ∴ OA2=OB2,∴ OA=OB. ∵ y=kx與 y=? 交于 C,D兩點 , ∴ C? ,D? . ∴ OC2=? +k,OD2=? +k. 12,2???????12, 2???????1x 1414 1x12,2???????12, 2??????? 212??????174212???????1741x,k kk???????,k kk???????1k 1k∴ OC2=OD2,∴ OC=OD. ∴ 四邊形 ADBC是平行四邊形 . (3)當 k=4時 ,?ADBC為矩形 . 理由 :當 OA=OC時 ,AB=2OA=2OC=CD. ∴ ?ADBC為矩形 . 此時由 OA2=OC2得 ? +k=? ,∴ k2? k+1=0, ∴ k1=4,k2=? . 又 ∵ k≠ ? ,∴ k=4. ∴ 當 k=4時 ,?ADBC為矩形 . 1k 174 17414147.(2022江蘇連云港 ,24,10分 )如圖 ,已知一次函數(shù) y=2x+2的圖象與 y軸交于點 B,與反比例函數(shù) y= ? 的圖象的一個交點為 A(1,m).過點 B作 AB的垂線 BD,與反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象交于點 D (n,2). (1)求 k1和 k2的值 。若不存在 ,請說明理由 . ? 1kx 2kx解析 (1)因為點 A(1,m)在直線 y=2x+2上 ,所以 m=4,即 A(1,4). 將 A點坐標代入 y=? ,得 k1=4.? (2分 ) 過點 A、 D分別作 y軸的垂線 ,垂足分別為點 M、 N. ? 由題可得 B(0,2),又 D(n,2), 則 BN=4,BM=2,AM=1. 又因為 AB⊥ BD,所以易得△ ABM∽ △ BDN. 則 ? =? ,即 ? =? ,DN=8,所以 D(8,2). 將 D點坐標代入 y=? ,得 k2=16.? (6分 ) 1kxAMBN BMDN 142DN2kx(2)存在符合條件的點 : 由 y=2x+2,得 C(1,0). 因為 OB=ON=2,DN=8,所以 OE=4. 易知 AE=5,CE=5,AC=2? ,BD=4? , 若△ BDF∽ △ ACE,則 ? =? ,即 ? =? . 所以 BF=10,所以 F(0,8).? (10分 ) 5 5BDAC BFAE 45255BF8.(2022江西 ,20,8分 )如圖 ,射線 y=k1x(x≥ 0)與雙曲線 y=? (x0)相交于點 P(2,4).已知點 A(4,0), B(0,3),連接 AB,將 Rt△ AOB沿 OP方向平移 ,使點 O移動到點 P,得到△ A39。.過點 A39。C∥ y軸交 雙曲線于點 C. (1)求 k1與 k2的值 。 (3)直接寫出線段 AB掃過的面積 . ? 2kx解析 (1)∵ 點 P(2,4)在射線 y=k1x(x≥ 0)與雙曲線 y=? (x0)上 ,∴ 4=2k1,4=? ,解得 k1=2,k2=8.? (2分 ) (2)∵ 點 O(0,0)經(jīng)過平移得到對應點 P(2,4), ∴ Rt△ AOB先向右平移 2個單位 ,再向上平移 4個單位可得 Rt△ A39。. ∴ A(4,0)經(jīng)平移得 A39。C∥ y軸 ,交雙曲線于點 C, ∴ 點 C的橫坐標為 6, 當 x=6時 ,y=? =? ,∴ C? .? (5分 ) 設(shè)直線 PC的表達式為 y=kx+b,k≠ 0, 則有 ? 解得 ? ∴ 直線 PC的表達式為 y=? x+? .? (6分 ) (3)22.? (8分 ) 2kx 22k86 43 46,3??????