【正文】 (1)過點(diǎn) B、 D作 x軸的垂線 ,垂足分別為點(diǎn) M、 N. ∵ A(5,0)、 B(2,6), ∴ OM=BC=2,BM=OC=6,AM=3. ∵ DN∥ BM,∴ △ ADN∽ △ ABM. ∴ ? =? =? =? . ∴ DN=2,AN=1,∴ ON=4. ∴ 點(diǎn) D的坐標(biāo)為 (4,2).? (3分 ) 又 ∵ 雙曲線 y=? (x0)經(jīng)過點(diǎn) D,∴ 2=? ,即 k=8. ∴ 雙曲線的解析式為 y=? .? (5分 ) (2)∵ 點(diǎn) E在 BC上 ,∴ 點(diǎn) E的縱坐標(biāo)為 6. 又 ∵ 點(diǎn) E在雙曲線 y=? 上 , ∴ 點(diǎn) E的坐標(biāo)為 ? . DNBM ANAM ADAB 13kx 4k8x8x4 ,63??????∴ CE=? .? (7分 ) ∴ S四邊形 ODBE=S梯形 OABCS△ OCES△ AOD =? (BC+OA)OC? OCCE? OADN =? (2+5)6? 6? ? 52=12. ∴ 四邊形 ODBE的面積為 12.? (9分 ) 4312 12 1212 12 43 1223.(2022浙江寧波 ,22,10分 )如圖 ,點(diǎn) A,B分別在 x,y軸上 ,點(diǎn) D在第一象限內(nèi) ,DC⊥ x軸于點(diǎn) C,AO= CD=2,AB=DA=? ,反比例函數(shù) y=? (k0)的圖象過 CD的中點(diǎn) E. (1)求證 :△ AOB≌ △ DCA。 (3)△ BFG和△ DCA關(guān)于某點(diǎn)成中心對稱 ,其中點(diǎn) F在 y軸上 ,試判斷點(diǎn) G是否在反比例函數(shù)的圖 象上 ,并說明理由 . ? 5kx解析 (1)證明 :∵ 點(diǎn) A,B分別在 x軸 ,y軸上 ,DC⊥ x軸于點(diǎn) C, ∴∠ AOB=∠ DCA=90176。,DA=? ,CD=2, ∴ AC=? =? =1.? (5分 ) ∴ OC=OA+AC=2+1=3. ∵ E是 CD的中點(diǎn) ,∴ CE=DE=1, ∴ E(3,1).? (6分 ) ∵ 反比例函數(shù) y=? (k0)的圖象過點(diǎn) E,∴ k=3.? (7分 ) (3)點(diǎn) G在反比例函數(shù)的圖象上 .理由如下 : ∵ △ BFG和△ DCA關(guān)于某點(diǎn)成中心對稱 , ∴ BF=DC=2,FG=AC=1.? (8分 ) ∵ 點(diǎn) F在 y軸上 ,∴ OF=OB+BF=1+2=3, 5522DA CD? 22( 5) 2?kx∴ G(1,3).? (9分 ) 把 x=1代入 y=? 中 ,得 y=3, ∴ 點(diǎn) G在反比例函數(shù) y=? 的圖象上 .? (10分 ) 3x3x評析 本題是反比例函數(shù)的綜合題 .掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、中心對稱的性質(zhì) 和三角形全等的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵 . 1.(2022廣西南寧 ,12,3分 )已知點(diǎn) A在雙曲線 y=? 上 ,點(diǎn) B在直線 y=x4上 ,且 A,B兩點(diǎn)關(guān)于 y軸對稱 , 設(shè)點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (m,n),則 ? +? 的值是 ? ( ) 2xmn nm考點(diǎn)二 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用 答案 A 因為點(diǎn) A(m,n)在雙曲線 y=? 上 ,所以 mn=2。P39。,點(diǎn) Q39。? ,∴ B點(diǎn)坐標(biāo)為 (? ,? ),A點(diǎn)坐標(biāo)為 (? ,? ). ∵ PQ=6,∴ OP=3, 由雙曲線的對稱性 ,得 P的坐標(biāo)為 ? . ∵ A點(diǎn)平移到 B點(diǎn)與 P點(diǎn)平移到 P39。的坐標(biāo)為 ? , ,kyxyx? ??????k k k k k3 2 3 2,22???????k k3 2 3 22 , 222kk??? ? ?????∵ 點(diǎn) P39。P39。,點(diǎn) Q39。,求出點(diǎn) P39。點(diǎn)的坐標(biāo)的確定 ,關(guān)鍵是根據(jù)平移的性質(zhì)判斷 AB=PP39。的坐標(biāo) . 3.(2022山西 ,17,8分 )如圖 ,一次函數(shù) y1=k1x+b(k1≠ 0)的圖象分別與 x軸 ,y軸相交于點(diǎn) A,B,與反比 例函數(shù) y2=? (k2≠ 0)的圖象相交于點(diǎn) C(4,2),D(2,4). (1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式 。. (1)求 k的值及點(diǎn) B的坐標(biāo) 。. ∵∠ ABC=90176。 (2)利用同角的余角相等推出 ∠ C=∠ AOD,在 Rt△ AOD中利用正切的定義求解即可 . 2,2yxy x???? ???方法指導(dǎo) 在一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交求函數(shù)解析式的過程中 ,通常是把交 點(diǎn)坐標(biāo)代入其中一個函數(shù)解析式 ,求得字母的值 ,再利用待定系數(shù)法求另一個函數(shù)的解析式 . 5.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,23,8分 )已知反比例函數(shù) y=? 的圖象在二四象限 ,一次函數(shù)為 y=kx+b (b0).直線 x=1與 x軸交于點(diǎn) B,與直線 y=kx+b交于點(diǎn) A。 (2)在 (1)的條件下 ,設(shè)直線 y=kx+b與 x軸交于點(diǎn) E,與 y軸交于點(diǎn) F,當(dāng) ? =? 且△ OFE的面積等于 ? 時 ,求這個一次函數(shù)的解析式 ,并直接寫出不等式 ? kx+b的解集 . kxEDEA 34272 kx解析 (1)證明 :由反比例函數(shù)的圖象在二四象限可知 k0.(1分 ) ∴ 一次函數(shù) y=kx+b的函數(shù)值 y隨 x的增大而減小 , ∵ A、 D兩點(diǎn)都在第一象限 , ∴ 3k+b0,且 k+b0,? (2分 ) ∴ b3k.? (3分 ) (2)由題意得 ? =? ,∴ ? =? ,① ? (4分 ) ∵ E? ,F(0,b),? (5分 ) ∴ S△ OEF=? b=? ,② ? (6分 ) 解由①②聯(lián)立的方程組 ,得 k=? ,b=3, ∴ 這個一次函數(shù)的解析式為 y=? x+3.? (7分 ) 解集為 ? x0或 x? .? (8分 ) EDEA CDAB 3kb?? 34,0bk???????12 bk???????27213139 8 52? 9 8 52?6.(2022四川南充 ,21,8分 )如圖 ,直線 y=? x+2與雙曲線相交于點(diǎn) A(m,3),與 x軸交于點(diǎn) C. (1)求雙曲線解析式 。3=3,解得 n=2.? (6分 ) ∴ P(2,0)或 P(6,0).? (8分 ) 1212kx2k6x12127.(2022廣東 ,23,9分 )如圖 ,在直角坐標(biāo)系中 ,直線 y=kx+1(k≠ 0)與雙曲線 y=? (x0)相交于點(diǎn) P(1, m). (1)求 k的值 。 (3)若過 P、 Q二點(diǎn)的拋物線與 y軸的交點(diǎn)為 N? ,求該拋物線的函數(shù)解析式 ,并求出拋物線的 對稱軸方程 . ? 2x50,3??????解析 (1)把 P(1,m)代入 y=? , 得 m=? =2,? (1分 ) ∴ P(1,2). 把 P(1,2)代入 y=kx+1,得 2=k+1, ∴ k=1.? (2分 ) (2)(2,1).? (4分 ) (3)由 N? , 可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為 y=ax2+bx+? ,? (5分 ) 把 P(1,2)和 Q(2,1)代入上式可得 ? ? (6分 ) 解得 ? ? (7分 ) 2x2150,3??????5352,351 4 2 .3abab? ? ? ????? ? ? ???2 ,31.ab? ???????∴ 拋物線的解析式為 y=? x2+x+? .? (8分 ) 對稱軸方程為 x=? =? =? .? (9分 ) 23 532ba1 43?34評析 本題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖象及性質(zhì) ,考查待定系數(shù)法和函數(shù)方 程思想的運(yùn)用能力 . 8.(2022甘肅蘭州 ,26,10分 )如圖 ,A? ,B(1,2)是一次函數(shù) y1=ax+b與反比例函數(shù) y2=? 圖象的 兩個交點(diǎn) ,AC⊥ x軸于點(diǎn) C,BD⊥ y軸于點(diǎn) D. (1)根據(jù)圖象直接回答 :在第二象限內(nèi) ,當(dāng) x取何值時 ,y1y20? (2)求一次函數(shù)解析式及 m的值 。CM=? BD (2)點(diǎn) P是 x軸正半軸上的一個動點(diǎn) ,設(shè) OP=a(a≠ 2),過點(diǎn) P作垂直于 x軸的直線 ,分別交一次函 數(shù)、反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn) A、 B,過 OP的中點(diǎn) Q作 x軸的垂線 ,交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn) C,△ ABC39。的面積 。的面積相等 . ? kx解析 (1)將 (3,m)代入 y=x+1,得 m=2,? (1分 ) 將 (3,2)代入 y=? (k≠ 0),得 k=6, 則反比例函數(shù)表達(dá)式為 y=? .? (2分 ) (2)① 連接 CC39。.當(dāng) a=4時 ,A(4,5),B(4,), 則 AB=.? (3分 ) ∵ Q為 OP的中點(diǎn) ,∴ Q(2,0), kx6x∴ C(2,3),則 D(4,3),即 CD= S△ ABC=,則 S△ ABC39。 (2)以 AB為邊作菱形 ABCD,使點(diǎn) C在 x軸正半軸上 ,點(diǎn) D在第一象限 ,求點(diǎn) D的坐標(biāo) 。12. (2)直線 y=? x3與 x軸相交于點(diǎn) B, 令 ? x3=0,得 x=2, ∴ B點(diǎn)坐標(biāo)為 (2,0). 過點(diǎn) A作 AE⊥ x軸 ,垂足為 E,過點(diǎn) D作 DF⊥ x軸 ,垂足為 F. ? 3232kx3232∵ A(4,3),B(2,0), ∴ OE=4,AE=3,OB=2, ∴ BE=OEOB=42=2. 在 Rt△ ABE中 , AB=? =? =? . ∵ 四邊形 ABCD是菱形 , ∴ AB=DC=BC=? ,AB∥ CD, ∴∠ ABE=∠ DCF. 又 ∵ AE⊥ x軸 ,DF⊥ x軸 , ∴∠ AEB=∠ DFC=90176。 (2)若將直線 AB向下平移 m(m0)個單位長度后與反比例函數(shù)的圖象有且只有一個公共點(diǎn) ,求 m 的值 . ? 8x解析 (1)∵ 點(diǎn) A(2,b)在反比例函數(shù) y=? 的圖象上 , ∴ b=? =4,即點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (2,4).? (2分 ) 將點(diǎn) A的坐標(biāo)代入 y=kx+5, 得 2k+5=4,解得 k=? . ∴ 一次函數(shù)的表達(dá)式是 y=? x+5.? (4分 ) (2)直線 AB向下平移 m個單位長度后的表達(dá)式為 y=? x+5m.? (5分 ) 聯(lián)立 ? 消去 y,整理得 x2+2(5m)x+16=0.? (7分 ) ∵ 平移后的直線與反比例函數(shù)的圖象有且只有一個公共點(diǎn) , ∴ Δ=4(5m)264=0. 解得 m=1或 m=9.? (10分 ) 8x82?1212128 ,1 5.2y xy x m? ?????? ? ? ???考點(diǎn)三 反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 (2022山東青島 ,22,10分 )某玩具廠生產(chǎn)一種玩具 ,本著控制固定成本 ,降價促銷的原則 ,使生產(chǎn) 的玩具能夠全部售出 .據(jù)市場調(diào)查 ,若按每個玩具 280元銷售時 ,每月可銷售 300個 .若銷售單價 每降低 1元 ,每月可多售出 2個 .據(jù)統(tǒng)計 ,每個玩具的固定成本 Q(元 )與月產(chǎn)銷量 y(個 )滿足如下關(guān)系 : 月產(chǎn)銷量 y(個 ) … 160 200 240 300 … 每個玩具的固定 成本 Q(元 ) … 60 48 40 32 … (1)寫出月產(chǎn)銷量 y(個 )與銷售單價 x(元 )之間的函數(shù)關(guān)系式 。 (3)若每個玩具的固定成本為 30元 ,則它占銷售單價的幾分之幾 ? (4)若該廠這種玩具的月產(chǎn)銷量不超過 400個 ,則每個玩具的固定成本至少為多少元 ?銷售單價 最低為多少元 ? 解析 (1)y=300+2(280x)=2x+860. 答 :函數(shù)關(guān)系式為 y=2x+860.? (2分 ) (2)根據(jù)題意猜想函數(shù)關(guān)系式為 Q=? (k≠ 0), 把 y=200,Q=48代入函數(shù)關(guān)系式 ,得 ? =48, ∴ k=9 600,∴ Q=? . 經(jīng)驗證 :(160,60),(240,40),(300,32)均在函數(shù)圖象上 , ∴ 函數(shù)關(guān)系式為 Q=? .? (5分 ) (3)∵ Q=? ,y=2x+860, ∴ Q=? . 當(dāng) Q=30時 ,? =30, 解得 x=270, 經(jīng)檢驗 ,x=270是原方程的根 . ky200k9 6 0 0y9 6 0 0y9 6 0 0y9 6002 860x??9 6002 860x??∴ ? =? =? . 答 :每個玩具的固定成本占銷售單價的 ? .? (7分 ) (4)當(dāng) y=400時 ,Q=? =24. ∵ k=9 6000, ∴ Q隨 y的增大而減小 . ∴ 當(dāng) y≤ 400時 ,Q≥ 24. 又 ∵ y≤ 400,即 2x+860≤ 400, ∴ x≥ 230. 答 :每個玩具的固定成本至少為 24元 ,銷售單價最低為 230元 .(10分 ) Qx 3027019199 6 0 0400A組 2022— 2022年模擬 對于 B,因為 20,所以函數(shù)圖象在第一、三象限 ,故 B 正確