九年級數(shù)學(xué)下冊第三章圓37切線長定理課件新版北師大版-閱讀頁
2025-07-01 14:51本頁面
【正文】 BC ＝ 3 ＋ 3 ＋ 7 ＋ 7 ＝ 20 ， 即 △ABC 的周長是 20. 7 切線長定理 14 ． 如圖 K － 27 － 13 ， AB 為 ⊙O 的直徑 ，∠ DAB ＝ ∠A B C ＝ 90 176。 ∴ 四邊形 AB F D 是矩形 ， AD 與 BC 是 ⊙O 的切線 ， ∴ DF ＝ AB ＝ 2 5 ， BF ＝ AD ＝ 2. ∵ DE 與 ⊙O 相切 ， ∴ DE ＝ AD ＝ 2 ， CE ＝ BC. 設(shè) BC ＝ x ， 則 CF ＝ BC － BF ＝ x － 2 ， DC ＝ DE ＋ CE ＝ 2 ＋ x. 在 Rt △ DCF 中 ， DC2＝ CF2＋ DF2， 即 (2 ＋ x)2＝ (x － 2)2＋ ( 2 5 )2， 解得 x ＝52， 即 BC ＝52. 7 切線長定理 ( 2 ) ∵∠D AB ＋ ∠ABC ＝ 18 0 176。DC ？ 若存在，求出點 F，并予以證明；若不存在， 請說明理由． 圖 K－ 27－ 14 7 切線長定理 [ 解析 ] (1) 連接 BD ， 已知 ED ， EB 都是 ⊙O 的切線 ， 由切線長定理可證得 OE 垂直平分 BD ， 而 BD ⊥AC ( 圓周角定理 ) ， 則 OE∥ AC . 由于 O 是 AB 的中點 ， 可證得 OE是 △AB C 的中位線 ， 即 E 是 BC 的中點 ， 那么在 Rt △ BDC 中 ， DE 就是斜邊 BC 的中線 ， 由此可證得所求的結(jié)論． (2) 由 (1) 知： BC ＝ 2B E ＝ 2DE ，則所求的比例關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為 (BC2)2＝ DF DC ， 那么只需作出與 △DE C 相似的 △DF E即可 ， 這兩個三角形的公共角為 ∠CD E ， 只需作出 ∠DE F ＝ ∠C 即可． 7 切線長定理 ① 當(dāng) ∠ DEC＞ ∠ C，即 180176。 ＜ ∠ C＜ 60176。 － 2∠C ＝ ∠ C，∠ C＝ 60176。 － 2∠C ＜ ∠ C， 60176。 時， ∠ DEF的 EF邊與線段 DC的延長線相交，與線段 CD沒有交點，所以在這種情況下不存在符合條件的點 F. 7 切線長定理 解： (1)證明：連接 BD. ∵ED ， EB是 ⊙ O的切線，由切線長定理，得 ED＝ EB， ∠ DEO＝ ∠ BEO， ∴ OE垂直平分 BD. 又 ∵ AB是 ⊙ O的直徑， ∴ AD⊥BD ， ∴ AD∥OE ，即 OE∥AC. 又 O為 AB的中點， ∴ OE為△ ABC的中位線， ∴ EB＝ EC， ∴ EB＝ EC＝ ED. (2)存在．在△ DEC中， ∵ ED＝ EC， ∴∠ C＝ ∠ CDE， ∴∠ DEC＝ 180176。 － 2∠C ＞ ∠ C， 即 0176。 時，在線段 DC上存在滿足條件的點 F. 在 ∠ DEC內(nèi)，以 ED為一邊，作 ∠ DEF，使 ∠ DEF＝ ∠ C， 且 EF交 DC于點 F，則點 F即為所求． 7 切線長定理 證明：在 △D C E 和 △D EF 中 ，∠ CDE ＝ ∠EDF ，∠ C ＝ ∠DEF ，∴△ DEF ∽△ DCE ，∴DEDC＝DFDE， ∴ D E2＝ D FDC ，∴ BC2＝ 4DF 此時 ， 點 C 即為滿足條件的點 F ， 于是 ， DF ＝ DC ＝ DE ， 仍有 BC2＝ 4D E2＝ 4 D F － 2 ∠C ＜ ∠C ， 60 176。 時 ， 所作的 ∠D EF ＞ ∠DEC ， 此時點 F 在 DC 的延長線上 ， 故線段 DC 上不存在滿足條件的點 F.
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