【正文】 式中： M0表示眾數(shù)， L表示眾數(shù)組 (頻數(shù)最高的組 )的下限值， △ 1=眾數(shù)組次數(shù) f－ 眾數(shù)組下一組 (L之下 )次數(shù) f 1 ， △ 2=眾數(shù)組次數(shù) f－ 眾數(shù)組上一組 (L之上 )次數(shù) f +1， i =眾數(shù)組的組距。它是對(duì)眾數(shù)組下限加上眾數(shù)組組距的一個(gè)百分比得到，這個(gè)百分比來(lái)自于眾數(shù)組與上下兩組的次數(shù)差。 特點(diǎn)： 中位數(shù)將全部數(shù)據(jù)分成兩半，一半數(shù)據(jù)比中位數(shù)大，一半數(shù)據(jù)比中位數(shù)小。 Me 50% 50% 2. 不受極端值的影響 3. 主要用于順序數(shù)據(jù)，也可用數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于分類(lèi)數(shù)據(jù) 4. 各變量值與中位數(shù)的離差絕對(duì)值之和最小，即 e1m i nniixM????未分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的計(jì)算 第一步：確定位置： 將數(shù)據(jù)按順序排列后 21?? n中位數(shù)位置 第二步：計(jì)算數(shù)值： ： 中位數(shù)位置是整數(shù)，則該位置 (即正中位置 )上的數(shù)值就是中位數(shù)； ： 中位數(shù)位置是整數(shù) +，則緊鄰該位置 (即正中位置 )兩側(cè)的兩數(shù)值的平均數(shù)就是中位數(shù)。 式中： N為數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)， L為中位數(shù)所在組的下限， Sm－ 1為中位數(shù)所在組以前各組 (L之下 )的累積頻數(shù)， fm為中位數(shù)所在組的頻數(shù)， i為中位數(shù)所在組的組距。它是對(duì)中位數(shù)組下限加上中位數(shù)組組距的一個(gè)百分比得到，這個(gè)百分比來(lái)自于中位數(shù)組以下各組的累積次數(shù)與總次數(shù)的差，與中位數(shù)組次數(shù)的比值。 中位數(shù)是將數(shù)據(jù)區(qū)域 2等分的數(shù)值； 四分位數(shù)則是將數(shù)據(jù)區(qū)域 4等分的三個(gè)數(shù)值，其中中間的就是中位數(shù) Mo，前一個(gè)稱(chēng)為第 1四分位數(shù)或上位四分位數(shù)，記為 QL，后一個(gè)稱(chēng)為第 3四分位數(shù)或下位四分位數(shù)，記為 QU?？梢园雌涠x參照中位數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算四分位數(shù)。 四分位數(shù)的性質(zhì) (P32) 1. 排序后處于 25%和 75%位置 上的值 2. 不受極端值的影響 3. 主要用于順序數(shù)據(jù) ， 也可用于數(shù)值型數(shù)據(jù) ，但不能用于分類(lèi)數(shù)據(jù) QL QM QU 25% 25% 25% 25% 未分組順序數(shù)據(jù)四分位數(shù)的確定 將數(shù)據(jù)按順序排列后： LU14314nQnQ???????????位 置（ ）位 置Excel中 QUARTILE函數(shù) 計(jì)算四分位數(shù)位置的方法 ? 將數(shù)據(jù)按順序排列后 ? 由此可見(jiàn)，用 Excel計(jì)算四分位數(shù)的結(jié)果與用本書(shū)的計(jì)算公式計(jì)算結(jié)果有差異。 LU34314nQnQ???????????位 置位 置未分組順序數(shù)據(jù)的四分位數(shù) (9個(gè)數(shù)據(jù)的算例 ) ? 【 例 】 ： 9個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù) ? 原始數(shù)據(jù) : 1500 750 780 1080 850 960 2022 1250 1630 ? 排 序 : 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2022 ? 位 置 : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ? )19( 19 UL ?????? 位置位置 ? 15652 163015008152 850780 UL ?????? 未分組順序數(shù)據(jù)的四分位數(shù) (10個(gè)數(shù)據(jù)的算例 ) ? 【 例 】 ： 10個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù) ? 排序 : 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2022 ? 位置 : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ? )15001630()750780(UL??????????? 組距分組數(shù)據(jù)四分位數(shù)的確定 式中： N為數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)， LK為相應(yīng)四分位數(shù)所在組的下限， SKm－ 1為相應(yīng)四分位數(shù)所在組以前各組 (LK之下 )的累積頻數(shù)， fKm為相應(yīng)四分位數(shù)所在組的頻數(shù)， iK為相應(yīng)四分位數(shù)所在組的組距。是數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的主要測(cè)度值。 NxNxxxniiN??????? 121 ??nxnxxxxniin??????? 121 ?求簡(jiǎn)單均值的例題 (P22) ? 例：某車(chē)間工人加工零件數(shù)量 (見(jiàn)課本 P22表 ) 經(jīng)統(tǒng)計(jì)得 30名工人周加工零件總數(shù)為 3105件，求平均加工零件數(shù)。 )( 03303 105件??? ?nxx次數(shù)加權(quán)均值 (P33) 設(shè)分組數(shù)據(jù)為 ： x1 ， x2 ， … ， xk ， … 相應(yīng)的頻數(shù)為： f1 ， f2 ， … ， fk ， … 說(shuō)明：兩公式結(jié)構(gòu)相同，只是數(shù)據(jù)來(lái)源不同而已。 按年齡分組 (歲 ) 人數(shù) 17 6 18 14 19 18 20 9 21 3 合計(jì) 50 求次數(shù)加權(quán)均值的例題 (解 ) (單變量值分組 ) 解：整理表格并計(jì)算加權(quán)均值公式元素 xf，并計(jì)算 f與 xf的合計(jì)數(shù)，得： 代入公式計(jì)算得 按年齡分組(歲 ) 人數(shù) xf x f 17 6 102 18 14 252 19 18 342 20 9 180 21 3 63 合計(jì) 50 939 939 1 8 . 7 8 ( )50? ? ???xfxf 歲求次數(shù)加權(quán)均值的例題 (P23) (組距分組 ) P23表 某車(chē)間工人周加工零件的頻數(shù)分布表如下： 求該車(chē)間工人的平均周加工零件數(shù) 。 按年齡分組 (歲 ) 百分比 (%) 17 12 18 28 19 36 20 18 21 6 合計(jì) 100 求比重加權(quán)均值的例題 (解 ) (單變量分組 ) 解：整理表格，計(jì)算比重加權(quán)均值的公式元素 x(f/∑f)，并求其合計(jì)數(shù)，得： 于是得平均年齡 : 按年齡分組 (歲) 百分比 (%) x(f/∑f) x f/∑f 17 12 18 28 19 36 20 18 21 6 合計(jì) 100 8 ( )fxx f??? ? 歲均值計(jì)算方法總結(jié) . ( )xxn? ?一 數(shù) 據(jù) 未 分 組 ： 簡(jiǎn) 單 算 術(shù) 平 均.()???xfxf二 數(shù) 據(jù) 已 分 組 ： 1. 單 變 量 值 分 組 ： 1 ） 已 計(jì) 算 次 數(shù) ： 次 數(shù) 加 權(quán) 算 術(shù) 平 均 2. 組 距 分 組 ： 計(jì) 算 組 中 值 ， 轉(zhuǎn) 化 為 單 變 量 值 分 組 形 式 作近 似 計(jì) 算 。 ? 變量值 x大小的影響，而且受各組權(quán)數(shù)即變量值出現(xiàn)的頻數(shù) f或頻率 f/∑f大小的影響。 均值的 數(shù)學(xué)性質(zhì) (P34) ? 1. 各變量值與均值的離差之和等于零 1( ) 0niixx???? 2. 各變量值與均值的離差平方和最小 21( ) m inniixx???? 幾何均值 (P35) (將于第九章出現(xiàn)應(yīng)用 ) 1. 定義： n 個(gè)變量值乘積的 n 次方根 2. 適用于對(duì) 比率數(shù)據(jù) 的平均 3. 主要用于計(jì)算平均增長(zhǎng)率 4. 基本計(jì)算公式： 5. 可看作是均值的一種變形 nniinnm xxxxG ???????121 ?nxxxxnGniinm??????? 121lg)lglg( l g1lg ?幾何均值的計(jì)算 (據(jù)比率資料計(jì)算 ) 【 例 】 一位投資者購(gòu)持有一種股票 ， 在 2022年 、 2022年 、 2022年和 2022年收益率分別為 %、 %、%、 %。 (單位：億元 )， 計(jì)算這幾年間國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的平均發(fā)展速度 。 眾數(shù)、中位數(shù)、均值的 特點(diǎn)和應(yīng)用比較 1. 眾數(shù) (位置平均 ——分布曲線(xiàn)頂點(diǎn)的橫標(biāo) ) – 一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，是數(shù)據(jù)中的原數(shù)據(jù)，不受極端值影響 – 具有不惟一性 – 當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，可用眾數(shù)來(lái)描述其集中趨勢(shì) 2. 中位數(shù) (位置平均 ——分布圖形的垂直平分線(xiàn)的橫標(biāo) ) – 順序排列數(shù)據(jù)的最中間位置的數(shù)值，不一定是數(shù)據(jù)中的原數(shù)據(jù)，不受極端值影響 – 具有惟一性 – 當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí)，可用中位數(shù)來(lái)描述其集中趨勢(shì) 3. 均值 (數(shù)值平均 ——分布圖形重量的均衡點(diǎn) ) – 其大小與一組數(shù)據(jù)里的每個(gè)數(shù)據(jù)均有關(guān)系 ,其中任何數(shù)據(jù)的變動(dòng)都會(huì)相應(yīng)引起平均數(shù)的變動(dòng) ，易受極端值影響，數(shù)學(xué)性質(zhì)優(yōu)良，是一組數(shù)據(jù)的的重心 – 具有惟一性 – 數(shù)據(jù)對(duì)稱(chēng)分布或接近對(duì)稱(chēng)分布時(shí)應(yīng)用 眾數(shù)、中位數(shù)、均值的 數(shù)值位置比較 1. 對(duì)稱(chēng)分布：三點(diǎn)重合 眾數(shù) =中位數(shù) =均值 2. 右偏分布：均值偏右 眾數(shù) ＜ 中位數(shù) ＜ 均值 3. 左偏分布：均值偏左 均值 ＜ 中位數(shù) ＜ 眾數(shù) 分布離散程度的測(cè)度 (P39) 離散程度反映數(shù)據(jù)的分布離散和差異的程度。 ? 。 ? ，關(guān)鍵是獲得各標(biāo)志值與均值離差的平方值，然后求各平方值的均值。 ? 。但其單位是標(biāo)志值單位的平方，不便于對(duì)離散程度進(jìn)行量的描述和分析； ? 標(biāo)準(zhǔn)差的單位與標(biāo)志值單位相同，便于對(duì)離散程度進(jìn)行量的描述和分析。 2. 當(dāng) 樣本數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為 n 時(shí) ， 若樣本均值 ?x 確定后 ,只有 n1個(gè)數(shù)據(jù)可以自由取值 ， 其中必有一個(gè)數(shù)據(jù)不能自由取值 。 即 x1=2， x2=4時(shí) ， 必 x3=9。 4. 樣 本方差用自由度去除 ， 其原因可從多方面解釋 ，從實(shí)際應(yīng)用角度看 ， 在抽樣估計(jì)中 ， 當(dāng)用樣本方差 s2去估計(jì)總體方差 σ2時(shí) ， 它是 σ2的無(wú)偏估計(jì)量 。 ? σ 2是總體標(biāo)志值 x的離差平方總和 ∑(x181。 ? 3. 無(wú)法得到總體方差 σ 2時(shí)，在大樣本的情況下，可以用樣本方差 s2近似代替總體方差σ 2 。 表 某車(chē)間 30名工人周加工零件數(shù) 工人編號(hào) 周加工零件數(shù) 工人編號(hào) 周加工零件數(shù) 工人編號(hào) 周加工零件數(shù) 1 106 11 99 21 85 2 84 12 94 22 106 3 110 13 119 23 101 4 91 14 88 24 105 5 109 15 118 25 96 6 91 16 97 26 105 7 111 17 103 27 107 8 107 18 106 28 128 9 121 19 95 29 111 10 105 20 106 30 101 ? 解法一：對(duì)原始數(shù)據(jù)手工計(jì)算方差和標(biāo)準(zhǔn)差， ? 先計(jì)算平均數(shù)： 既可以完全手工計(jì)算，也可以利用 Excel電子表格列表計(jì)算數(shù)據(jù)總和 ∑x，并代入簡(jiǎn)單均值公式得： ? 再計(jì)算方差： 既可以完全手工計(jì)算，也可以利用 Excel列表計(jì)算數(shù)據(jù)離差平方的總和 ∑(x )2，并代入樣本方差公式得： ? 于是得標(biāo)準(zhǔn)差為 301 3105 10 30kkxxn?? ? ??3022 1()31 67 .5 10 21 30 1kkxxsn??? ? ????2 1 0 9 . 2 2 1 0 . 4 5ss? ? ?x? 解法二：對(duì)分組數(shù)據(jù)手工計(jì)算方差和標(biāo)準(zhǔn)差近似值，即對(duì)表 ，再利用 Excel列表計(jì)算得： ? 再利用 Excel列表計(jì)算方差得： ? 于是得標(biāo)準(zhǔn)差為 ? 也可以應(yīng)用 Excel函數(shù)計(jì)算平均數(shù)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差。 ? 計(jì)算方差： 在數(shù)列外選定一單元格，點(diǎn)擊菜單欄中“ ∑”符號(hào)右邊的小三角“▼”，選擇“其它函數(shù)” → 選擇類(lèi)別“統(tǒng)計(jì)” → 選擇函數(shù)“ VAR” →“ 確定”，在出現(xiàn)的函數(shù)參數(shù)窗口中的 Number1右邊的空欄中輸入： A1:A30(或鼠標(biāo)選定數(shù)列 )， → “確定”，即在選定單元格中出現(xiàn)方差的計(jì)算結(jié)果： 。 標(biāo)準(zhǔn)差的 Excel計(jì)算 ? ： 將數(shù)據(jù)列于 Excel表中同列，選擇數(shù)據(jù)下方鄰接的單元格后，點(diǎn)擊菜單欄中的 ∑右邊的小▼，選擇“其它函數(shù)” → 類(lèi)別中選擇“統(tǒng)計(jì)” → 函數(shù)中，求樣本方差選“ STDEV”，求總體方差選“ AVEDEV”→ 選定全列數(shù)據(jù)→ 確定