【正文】 均數(shù)數(shù)列的平均 簡單均值 (P32) 對于未分組數(shù)據(jù) ： x1 ， x2 ， … ， xn 總體均值 樣本均值 說明：兩公式結構相同，只是數(shù)據(jù)來源不同而已。 總體均值 1 1 2 2 1121niin n inniixfx f x f x fxf f ff??? ? ???? ? ???樣本均值 1 1 2 2 1121niin n inniixfx f x f x ff f ff? ??? ? ???? ? ???求次數(shù)加權均值的例題 (P22) (單變量值分組 ) P22表 某班學生按年齡分組統(tǒng)計表如下 求該班學生的平均年齡。()fxxf? ? ? 2 ） 已 計 算 比 重 ： 比 重 加 權 算 術 平 均影響均值大小的因素 (P34) 從公式的構成可見： ? x的大小有關。 計算該投資者在這四年內(nèi)的平均收益率 %0 78 1% 01% 25% 02% 044??????G算術平均： ? ? %%%%% ??????G 幾何平均： √ 幾何均值的計算 (據(jù)水平資料計算 ) [P35 例 ]我國 1998—2022年各年的生產(chǎn)總值分別為 、 、 、 、。主要有： 一、極差 二、內(nèi)距 三、方差和標準差 四、離散系數(shù) 極差 (P39) 1. 一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差，也稱全距 2. 離散程度的最簡單測度值 3. 易受極端值影響 4. 未考慮數(shù)據(jù)的分布 5. 計算公式為 R = max(xi) min(xi) 7 8 9 10 7 8 9 10 內(nèi)距 (P40) 1. 也稱四分位差 2. 上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差 內(nèi) 距 = Q3 – Q1 3. 反映了中間 50%數(shù)據(jù)的離散程度 4. 不受極端值的影響 5. 可用于衡量中位數(shù)的代表性 方差和標準差 (P40) ? 1. 是離散程度的測度值之一 ? 2. 是最常用的測度值 ? 3. 反映了數(shù)據(jù)的分布 ? ? ，稱為總體方差或總體標準差，記為 σ2或 σ ； 若根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算的，稱為樣本方差或樣本標準差，記為 s 2或 s。 ? ，須應用均值的計算方法。 樣本方差和樣本標準差的計算 ?未分組數(shù)據(jù)： 組距分組數(shù)據(jù)： 未分組數(shù)據(jù)： 組距分組數(shù)據(jù)： 樣本方差的計算公式 樣本標準差的計算公式 注意： 樣本方差用自由度 n1去除 ! 1)(122?????nxxsnii1)(122?????nfxMskiii1)(12?????nxxsnii1)(12?????nfxMskiii樣本方差的 自由度 (P41) 1. 一組數(shù)據(jù)中可以自由取值的數(shù)據(jù)的個數(shù)稱自由度 。 又如 x1=6，x2=7， 那么 x3則必然取 2， 而不能取其他值 。)2對全部單位 N的平均，而樣本方差s2是樣本標志值 x的離差平方總和 ∑(x )2對自由度 n1的平均。 301301311010 730kkkkkxfxf??? ? ???3022 1301()3 1 4 7 .51 0 8 .5 3291kkkkkx x fsf???? ? ????2 1 0 8 . 5 3 1 0 . 4 2ss? ? ?Excel計算均值和方差的列表 按周加工零件數(shù)分組 (件 ) 組中值 次數(shù) 組總和 方差 x f xf ()2f 80～ 90 85 3 255 90～ 100 95 7 665 100～ 110 105 13 1365 110～ 120 115 5 575 120～ 130 125 2 250 合計 — 30 3110 ? 解法三：直接對原始數(shù)據(jù)，利用 Excel函數(shù) VAR計算方差，利用 Excel函數(shù) STDEV計算標準差。 ? 近似 計算： 。 ? 計算標準差： 在數(shù)列外選定一單元格，點擊菜單欄中“ ∑”符號右邊的小三角“▼”，選擇“其它函數(shù)” → 選擇類別“統(tǒng)計” → 選擇函數(shù)“ STDEV” →“ 確定”，在出現(xiàn)的函數(shù)參數(shù)窗口中的 Number1右邊的空欄中輸入： A1:A30 (或鼠標選定數(shù)列 ) ， → “確定”，即在選定單元格中出現(xiàn)標準差的計算結果： 。 x標準差計算例題 ? 對 P22表 。 樣本方差與總體方差的關系 ? s2與總體方差 σ 2都是各標志值與均值離差平方值的平均數(shù)。 3. 例 如 ， 樣本有 3個數(shù)值 ， 當 ?x = 5 確定后 ， x1， x2和 x3僅 有兩個數(shù)據(jù)可以自由取值 ， 另一個則不能自由取值 。 方差和標準差的關系 ? 方差是標準差的平方，標準差是方差的算術根； ? 方差的公式較簡單，便于計算。 4 6 8 10 12 ?x = 總體方差和總體標準差的計算(P41) 未分組數(shù)據(jù)： 組距分組數(shù)據(jù)： 未分組數(shù)據(jù)： 組距分組數(shù)據(jù)： 總體方差的計算公式 總體標準差的計算公式 NxNii???? 122)( ??NfMKiii???? 122)( ??NxNii???? 12)( ??NfMKiii???? 12)( ??總體方差和總體標準差的特征 ? 值的平均數(shù)。 解：應該先求出各年的發(fā)展速度，再對各年的發(fā)展速度求幾何平均： 切尾均值 (P36)(不作要求 ) 1. 定義：去掉大小兩端的若干數(shù)值后計算中間數(shù)據(jù)的均值 2. 在電視大獎賽 、 體育比賽及需要人們進行綜合評價的比賽項目中已得到廣泛應用 3. 計算公式為 ( 1 ) ( 2 ) ( )2n n n nx x xxnn? ? ?? ?? ? ?? ? ????10 2???n 表示觀察值的個數(shù)； α表示切尾系數(shù)， 切尾均值 (例題分析 ) ? 【 例 】 某次比賽共有 11名評委 ， 對某位歌手的給分分別是： 經(jīng)整理得到順序統(tǒng)計量值為 1 2 3 4 5 6, , , , , ,9 .2 2 , 9 .2 5 , 9 .2 0 , 9 .3 0 , 9 .6 5 , 9 .3 0 ,x x x x x x7 8 9 10 11, , , , 9 .2 7 , 9 .2 0 , 9 .2 8 , 9 .2 5 , 9 .2 4x x x x x( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ), , , , , ,9 .2 0 , 9 .2 0 , 9 .2 2 , 9 .2 4 , 9 .2 5 , 9 .2 5 ,x x x x x x( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) ( 1 0 ) ( 1 1 ), , , , 9 .2 7 , 9 .2 8 , 9 .3 0 , 9 .3 0 , 9 .6 5x x x x x去掉一個最高分和一個最低分，取 α=1/11，得： ? ? ? ? ? ?11 1 / 11 1 11 1 / 11 2 11 11 1 / 111 / 11( 2 ) ( 3 ) ( 10 )11 2 11 1 / 11 11 2 9x x xxx x x? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ?? ? ???? ? ??? 眾數(shù)、中位數(shù)和均值的關系(P37) 左偏分布 均值 中位數(shù) 眾數(shù) 對稱分布 均值 = 中位數(shù) = 眾數(shù) 右偏分布 眾數(shù) 中位數(shù) 均值 眾數(shù) 是出現(xiàn)最多的數(shù)值，處于分布曲線最高點的橫標處； 中位數(shù) 是居于順序數(shù)據(jù)中間位置的代表數(shù)值，處于分布曲線定義區(qū)間的中點位置 (中心 )； 均值 是一組數(shù)據(jù)的中心點，處于分布曲線下圖形面積的垂直平分線的橫標處 (重心 )。如果某一組的權數(shù)較大，說明該組的數(shù)據(jù)較多，那么該組數(shù)據(jù)的大小對均值的影響就越大；反之，影響越小。 按周加工零件數(shù)分組 (件 ) 次數(shù) 80～ 90 3 90～ 100 7 100～ 110 13 110～ 120 5 120～ 130 2 合計 30 求次數(shù)加權均值的例題 (解 ) (組距分組 ) 解 ：整理表格，計算組中值，將組中值作為平均對象 x，計算加權均值公式元素 xf，并計算 f與 xf的合計數(shù)，得： 于是得平均周加工零件數(shù)： 按周加工零件數(shù)分組 (件 ) 組中值 次數(shù) xf x f 80～ 90 85 3 255 90～ 100 95 7 665 100～ 110 105 13 1365 110～ 120 115 5 575 120～ 130 125 2 250 合計 30 3110 3110 1 0 3 . 6 7 ( )30xfxf? ? ??? 件比重加權均值 ? 設分組數(shù)據(jù)為： x1 ， x2 ， … ， xn ? 相應的頻率為： ， ， … ， 2ff?1f f?nff?總體均值 1212nknkffffx x x xf f f f? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?樣本均值 1212nknkffffx x x x xf f f f? ? ? ? ? ?? ? ? ?比重加權均值公式是次數(shù)加權均值公式的變形 求比重加權均值的例題 (P22) (單變量分組 ) P22表 某班學生按年齡分組統(tǒng)計表為 求該班學生平均年齡。 ? 解：平均加工零件數(shù)為。 組距分組數(shù)據(jù)的第 1四分位數(shù)計算舉例 見課本 P28表 表中，第 1四分位數(shù)位置 100/4=25，位于2400～ 2799組內(nèi)，故第 1四分位數(shù)組下限LL=2400，次數(shù) fLm=，組距 iL =400，第 1四分位數(shù)組以下各組累積次數(shù)SLm﹣ 1=，得第 1四分位數(shù)： 組距分組數(shù)據(jù)的第 3四分位數(shù)計算舉例 見課本 P28表 表中，第 3四分位數(shù)位置 3 100/4=75，位于5600～ 6399組內(nèi)，故第 3四分位數(shù)組下限LU=5600，次數(shù) fUm=，組距 iU =400，第 3四分位數(shù)組以下各組累積次數(shù)SUm﹣ 1=，得第 3四分位數(shù)： 均值 (P32) 算術平均數(shù)的基本定義及基本公式： 均值又稱算術平均數(shù)。 PPT中介紹的是非定義計算法。 組距分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)計算舉例 ? 表中，中位數(shù)位置 30/2=15，位于 100～ 110組內(nèi)，故中位數(shù)組下限 L=100，次數(shù) fm=13，組距 i =10，中位數(shù)組以下各組累積次數(shù) Sm﹣ 1=3+7=10，代入計算公式得： 分位數(shù) (P32)(不作要求 ) 分位數(shù)與中位數(shù)性質相似，有四分位數(shù)、十分位數(shù)和百分位數(shù)。 未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)計算方法 (奇數(shù)個數(shù)據(jù)的例題 ) ? 【 例 】 9個家庭的人均月收入數(shù)據(jù) ? 原始數(shù)據(jù) : 1500 750 780 1080 850 960 2022 1250 1630 ? 排 序 : 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2022 ? ? 位 置 : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 中位數(shù) ? 1080 ? 52 192 1 ????? n位置未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)計算方法 (偶數(shù)個數(shù)據(jù)的例題 ) ? 【 例 】 ： 10