20xx年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷-閱讀頁
2025-05-01 12:19本頁面
【正文】 ===20cm．∴玻璃棒l沒入水中部分的長(zhǎng)度為20cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查玻璃棒l沒入水中部分的長(zhǎng)度的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題． 19．（16分）（2017?江蘇）對(duì)于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列{an}滿足：an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…an+k﹣1+an+k=2kan對(duì)任意正整數(shù)n（n＞k）總成立，則稱數(shù)列{an}是“P（k）數(shù)列”．（1）證明：等差數(shù)列{an}是“P（3）數(shù)列”；（2）若數(shù)列{an}既是“P（2）數(shù)列”，又是“P（3）數(shù)列”，證明：{an}是等差數(shù)列．【分析】（1）由題意可知根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1）═23an，根據(jù)“P（k）數(shù)列”的定義，可得數(shù)列{an}是“P（3）數(shù)列”；（2）由“P（k）數(shù)列”的定義，則an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an，變形整理即可求得2an=an﹣1+an+1，即可證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列．【解答】解：（1）證明：設(shè)等差數(shù)列{an}首項(xiàng)為a1，公差為d，則an=a1+（n﹣1）d，則an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3，=（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1），=2an+2an+2an，=23an，∴等差數(shù)列{an}是“P（3）數(shù)列”；（2）證明：由數(shù)列{an}是“P（2）數(shù)列”則an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an，①數(shù)列{an}是“P（3）數(shù)列”an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an，②由①可知：an﹣3+an﹣2+an+an+1=4an﹣1，③an﹣1+an+an+2+an+3=4an+1，④由②﹣（③+④）：﹣2an=6an﹣4an﹣1﹣4an+1，整理得：2an=an﹣1+an+1，∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查數(shù)列的新定義的性質(zhì)，考查數(shù)列的運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題． 20．（16分）（2017?江蘇）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有極值，且導(dǎo)函數(shù)f′（x）的極值點(diǎn)是f（x）的零點(diǎn)．（極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值）（1）求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（2）證明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于﹣，求a的取值范圍．【分析】（1）通過對(duì)f（x）=x3+ax2+bx+1求導(dǎo)可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，進(jìn)而再求導(dǎo)可知g′（x）=6x+2a，通過令g′（x）=0進(jìn)而可知f′（x）的極小值點(diǎn)為x=﹣，從而f（﹣）=0，整理可知b=+（a＞0），結(jié)合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有極值可知f′（x）=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，進(jìn)而可知a＞3．（2）通過（1）構(gòu)造函數(shù)h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），結(jié)合a＞3可知h（a）＞0，從而可得結(jié)論；（3）通過（1）可知f′（x）的極小值為f′（﹣）=b﹣，利用韋達(dá)定理及完全平方關(guān)系可知y=f（x）的兩個(gè)極值之和為﹣+2，進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因式分解即得結(jié)論．【解答】（1）解：因?yàn)閒（x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，令g′（x）=0，解得x=﹣．由于當(dāng)x＞﹣時(shí)g′（x）＞0，g（x）=f′（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＜﹣時(shí)g′（x）＜0，g（x）=f′（x）單調(diào)遞減；所以f′（x）的極小值點(diǎn)為x=﹣，由于導(dǎo)函數(shù)f′（x）的極值點(diǎn)是原函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，所以f（﹣）=0，即﹣+﹣+1=0，所以b=+（a＞0）．因?yàn)閒（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有極值，所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣+＞0，解得a＞3，所以b=+（a＞3）．（2）證明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；（3）解：由（1）可知f′（x）的極小值為f′（﹣）=b﹣，設(shè)x1，x2是y=f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，則x1+x2=，x1x2=，所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2，又因?yàn)閒（x），f′（x）這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于﹣，所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因?yàn)閍＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3時(shí)2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范圍是（3，6]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，考查運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化思想，注意解題方法的積累，屬于難題． ，附加題（2124選做題）【選修41：幾何證明選講】（本小題滿分0分）21．（2017?江蘇）如圖，AB為半圓O的直徑，直線PC切半圓O于點(diǎn)C，AP⊥PC，P為垂足．求證：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP?AB．【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圓的性質(zhì)可得∠ACB=90176。．∵AP⊥PC，∴∠APC=90176。﹣∠ACP，∠CAB=90176。．（1）求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【分析】在平面ABCD內(nèi)，過A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以Ax、AD、AA1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．結(jié)合已知求出A，B，C，D，A1，C1 的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出，的坐標(biāo)．（1）直接利用兩法向量所成角的余弦值可得異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；（2）求出平面BA1D與平面A1AD的一個(gè)法向量，再由兩法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，進(jìn)一步得到正弦值．【解答】解：在平面ABCD內(nèi)，過A作Ax⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax?平面ABCD，∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以Ax、AD、AA1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．∵AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120
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