【正文】 2222 xxxxxx edxexdxxeexedxdxex ?????? ???? ???????? Cexeex xxx ????? ??? 222 . 1解：令 tx sin? ，則41s i nc os1 24 22122 22 ??? ???? ?? dtttdxx x. 1解： 39。12 yffxz ????， )3()3(2 39。2239。2139。39。39。239。2239。1239。11 )32(6 fx y ffyxf ????? 1解：原方程可化為 xyxy 20 07139。 ??? yxy的通解為 Cxy? .可設(shè)原方程的通解為 xxCy )(? .將其代入方程得 xxCxCxxC 2020)()()(39。 ?xC ，從而 CxxC ?? 2020)( ，故原方程的通解為 xCxy )2020( ?? . 又 2020)1( ?y ，所以 1?C ，于是所求特解為 xxy )12020( ?? .（致遠(yuǎn)為學(xué) dinyuan .. 提醒：本題有多 種解法，各位不妨嘗試一下） 1解：由題意，所求平面的法向量可取為 )3,1,2(112111)1,1,2()1,1,1( ????????kjin . 故所求平面方程為 0)3(3)2()1(2 ?????? xyx ，即 0532 ???? zyx . 解：916c os38 20 3c os20 220222 ????? ?????????? ???????? ddddddx dyyxDD. 2解：（ 1） ? ??? 10 2 158)1( ?? dxxV； （ 2 ）由題意得 ? ? ???aa dyydyy01 2121 )1()1( . 由此得 2323 )1(1)1( aa ????? . 解得31)41(1??a . 2解： cbxaxxf ??? 23)( 239。39。 ??f 、 0)1(39。 ?f 、 2)1( ?f ，解得 1??a 、 3?b 、 9?c 2證明：積分域 D ：??? ?? ?? bxy bya，積分域又可表示成 D ：??? ?? ?? xya bxa dyedxexfdyexfdxexfdxexfdy xa yba xxa yxbaD yxby yxba ???????? ??? ??? 22222 )()()()( dxxfeedxeeexf ba axxba axx ?? ????? )()()()( 232 . 24 、證明：令11ln)( ???? xxxxF，顯然， )(xF 在 ? ???,0 上連續(xù) . 由于0)1( 1)( 2239。(1)=2, 則1 )1()(lim 21 ??? x fxfx= （ ） 6. 函數(shù) f(x)=xex 的 2020 階導(dǎo)數(shù)是 （ ） （ 2020x) （ x+2020) (x2020) 7. 曲線 y= 312 ??x x （ ） ，無垂直漸近線 ，有垂直漸近線 ， 也有垂直漸近線 ，也有垂進漸近線 y=ex 在 [0， 1]的區(qū)間滿足拉格朗日中值定理的條件，則滿足定理結(jié)論的 ξ 等于 （ ） +1 (e1) (e+1) 9. 已知 f(x)=lnx ，則其導(dǎo)函數(shù)是 （ ） ，曲線為凹的 B. 單調(diào)減少，曲線為凸的 ，曲線為凹的 ，曲線為凸的 10. 設(shè)??? ?? ty tx 2cossin，則dxdy= （ ） （ ） A.dxd ? f(x)dx=f(x) B. ? f39。0,12 xxxx 則 f[f(1)]= . 32lim 22 ?? ??? x axxx，則常數(shù) a= . f(x)=x(x1)(x2)在 x=1 處的切線方程是 . ????xx xx )2(lim . y=21 xx?的單調(diào)遞增區(qū)間為 . f(x)=x32 +x 在 [1， 1]的最大值為 . y= )0(1 1 2 ?? xx的拐點為 . ?2x (xex)′ dx= . f(x)為連續(xù)函數(shù)，則 ??? dxxxf20202020 2 )( . | |=1,| |=2,且 f(x)=2312 ?? xx展開成 x3 的冪級數(shù)。)1( 120 ?? ???? nx nnn 44.(1,3) 45. xey 21?? (C1cos23x+ C2sin23x) 三、計算題 46． 【解析】 0lim?x xx xeexx arcsin2? ?? ? =0lim?x21112xee xx???? ? = 0lim?x 11 22 ???? ?xee xx = 0lim?x21 xxee xx??? ? = 0lim?x xee xx?? ? =2 47． 【解析】 322222222 )1(ln)1(122ln111221a rc t a n1)1(a rc t a na rc t a n dxxxxxxxddxx x ? ?????? 21 2 )11(42a rc t a n21 dxxxx? 212 )]1l n(21[l n42a rc t a n21 xx ?????? ? 5102ln42a rc t a n21 ???? ? 50． 【解析】 ???xzf1′ + f2′ ycosx,= ???yzf1′ 2+ f2′ sinx 51． 【解析】積分區(qū)域 D如圖 ,D可表示為??? ??? ??? 2212 yxyy ，于是 ?? ? ??? ?? ?????????D yy dyyyyydxyxdydx dyyx 2 1 2 1 3422 20189)212423()()( 2 52 ． 【解析】 )3(2 1)3(1 1)1( 1)2( 1)1)(2( 1231)( 2 ???????????????? xxxxxxxxxf 1|3|,)3)(2 11()1( 10 ??????? ??? xx nnnn 53． 【解析】 方程變形為 y′ +x2y=x xxQxxpx x s in)(,2)(,s in ??， 通解為 )s i n(1))(( 22)()( cdxxx xxdxexQcey dxxPdxxP ?????? ??? )s inc os(12 cxxxx ???? 由 y(π )=?1,得 c=0，特解為 y=2 cossin x xxx? 54． 【解析】 由題意知，總利潤函數(shù)為： L(p1,p2)= p1q1+p2q2C(p1,p2)=+ 所以 Lp1′ =, Lp2′ =，令 Lp1′ = Lp2′ =0,得p1=80,p2=120 根據(jù)實際意義知，當(dāng)兩地的售價分別定為 p1=80,p2=120 時，獲得的總利潤最大 . 55． 【解析】 如圖，根據(jù)題意有 ? ???? 1 3316)()](1[2 x xdttfxfx 將上式兩邊對 x 求導(dǎo)，得 221)()(21)](1[21 xxfxfxxf ????? 于是 x≠ 0時 ,有 xxxfxxf 1)(1)( 2 ???? ，故 f(x)=x2+1+cx 又 x=0 時， f(0)=1,x=1 時， f(1)=0，于是 c=2，故所求f(x)=x22x+1=(x1)2. 五、 【證明】 令 11)(2 ??? xxxf，于是 )0(,012)(3 ?????? xxxf，故函數(shù)在（ 0， +∞）內(nèi)單調(diào)遞減，又 ???????? )(lim,01)1( 0 xff x，故曲線 y=f(x)與 x 軸僅有一個交點，從而，方程),0(112 ???? 在區(qū)間xx 內(nèi)有唯一實根 .