【正文】 knx? m（ x）＝6x + 5x ，它相當(dāng)于 1100000。由于循環(huán)碼多項式 A(x)都可以被 g(x)整除，也就是： （ ） 因此，用 knx? m(x)除以 g(x)，就得到商 Q(x)和余式 r(x)，即 （ ） 這樣就得到了 r(x)。編碼輸出系統(tǒng)循環(huán) 碼多項式 A(x)為： （ ） 例如，對于（ 7， 3）循環(huán)碼，若選用 ，信息碼 110時： （ ） 上式相當(dāng)于 這時的編碼輸出為： 1100101。 當(dāng)信息位輸入時，開關(guān)位置接“ 2”，輸入的信息碼一方面送到除法器進(jìn)行運算，一方面直接輸出；當(dāng)信息位全部輸出后，開關(guān)位置接“ 1”，這時輸出端接到移位寄存器的輸出，這時除法的余項，也就是監(jiān)督位依次輸出。達(dá)到檢錯目的的譯碼十分簡單，可以由式（ 21），通過判斷接收到的碼組多項式 B(x)是否能被生成多項式g(x)整除作為依據(jù)。因此，可以根據(jù)余項是否為零來判斷碼組中有無錯碼。這種錯誤被稱為不可檢錯誤，不可檢錯誤中的錯碼數(shù)必將超過這種編碼的檢錯能力。為了能夠糾錯，要求每個可糾正的錯誤圖樣必須和校正子之間存在某種對應(yīng)關(guān)系。 糾錯碼譯碼器的復(fù)雜性主要取決于譯碼過程的第（ 2）步。錯誤圖樣識別器是一個具有（ nk）個輸入端的邏輯電路，原則上可以采用查表的方法， 根據(jù)校正子找到錯誤圖樣，利用循環(huán)碼的上述特性可以簡化識別電路。 圖中 k 級緩存器用于存儲系統(tǒng)循環(huán)碼的信息碼元，模 2加電路用于糾正錯誤。 圖 梅吉特譯碼器原理 4 差錯控制編碼系統(tǒng)的性能 （ 1） 系統(tǒng)帶寬和信噪比的關(guān)系：為了減少接收錯誤碼元數(shù)量，需要在發(fā)送信息碼元序列中加入監(jiān)督碼元。若仍須保持發(fā)送信息碼元速率不變，則傳輸速率必須增大，因而增大了系統(tǒng)帶寬，繼而引起系統(tǒng)中噪聲功率增大，信噪比下降。采用糾錯編碼后，誤碼率總是能夠得到很大改善的。在采用這種編碼時，約需要信噪比 dB，圖中 D點。與糾錯方法相比，采用檢錯方法，可以少增加監(jiān)督位，從而少增大帶寬。 實驗仿真結(jié)果及結(jié)論 Matlab 提供的 encode 和 decode 函數(shù)，可直接調(diào)用對信號序列進(jìn)行編碼和譯碼。以 (7,4)循環(huán)碼為例分析線性分組碼的性能， 其性能曲線如 下 圖 所示。因此，采用了循環(huán)碼編 碼差錯控制后，系統(tǒng)的碼誤碼率得到了明顯的改善，其誤碼率明顯下降。 表 （ 7,4）循環(huán)碼性能分析表 循環(huán)碼特別適合糾正單個隨機錯誤或有兩個錯誤的碼字，結(jié)合圖 與表 分析， (7， 4)循環(huán)碼的誤比特率隨著信噪比的減小呈線性下降趨勢，在信噪比為 0 的最壞條件下，誤碼率為 100%，此時系統(tǒng)失去通信能力。 卷積碼 卷積碼概述 分組碼是把 k 個比特的 信息序列編碼后形成 n 個比特的碼組，每個碼組的 nk 個校驗位只與本碼組的 k 個信息位有關(guān)，而與其他碼組無關(guān)。經(jīng)過卷積碼編碼后得到的 n個碼元，不再僅僅只與本碼組的 k 個信息位有關(guān)，而且還與前若干時刻輸入至編碼器的信息碼元有關(guān)。 (n,k,n)積碼表示把 k 個信息比特輸入到編碼器后，經(jīng)過編碼輸出 n 個比特， m =m表示移位寄存器個數(shù)， N 也是編碼約束長度。卷積碼編碼過程中有 N n 個碼元之間存在著相互關(guān)聯(lián)的關(guān)系。 N 的值越大，則自由距離越大，卷積碼的糾錯性能就會越好，但與此同時隨著 N 的增大，差錯率呈指數(shù)下降趨勢。 卷積碼編碼 卷積碼的編碼描述方法有 5 種 :沖激響應(yīng)描述法、生成矩陣描述法、多項式乘積描述法、狀態(tài)圖描述法和網(wǎng)格圖描述法 [1]。在編碼器復(fù)雜性相同的情況下，卷積碼的性能優(yōu)于分組碼。 分組碼的譯碼算法可以由其代數(shù)特性得到。 一、 卷積編碼 卷積碼的編碼器一般都比較簡單。它包括 NK級的輸入移位 器，一組 n個模 2和加法器和 n級的輸出移位寄存器 。由圖可知， n個輸出比特 不但與當(dāng)前的 k個輸入比特有關(guān)，而且與以前的(N1)k個輸入信息比特有關(guān)。 本文采用的是沖擊響應(yīng)描述法編碼思想。其中 間是 3 個移位寄存器和一個模 2 加法器?？梢钥闯觯好枯斎胍粋€比特，移位寄存器中就向右移動一個 位子?？梢娋矸e編碼不只與現(xiàn)在的輸入比特有關(guān)還與前面的 31 個比特有關(guān)。 在這里，其中 K=1 ， n=2 所以碼率 R=K/ n=1/2。這里，分別用 a,b,c 和 d 表示寄存器的 4種 狀態(tài) :00, 01, 10，和 11，作為樹狀圖中每條支路的節(jié)點。當(dāng)輸入位為1時，輸出碼元 c1c2 =11，寄存器則轉(zhuǎn)移到狀態(tài) b,對應(yīng)圖中的下支路 。 如下圖 狀 態(tài)A = 0 0B = 0 1C = 1 0D = 1 101信息起點a0 01 1a0 01 1ab0 01 1ab0 0acd1 00 1c1 10 00 11 01 11 0d0 1b1 00 1c1 10 0a0 01 1b1 00 1d1 00 1c1 10 01 0d0 1abcdabcdbabcd圖 2 3 （ 2 ， 1 ， 3 ） 樹 狀 圖 圖 （ 2,1,3）樹狀圖 三、 卷積碼的 網(wǎng)格圖 如下圖 （ 2， 1， 3）卷積編碼的網(wǎng)格圖 [6]。在延時算子多項式表示中，編碼器中 的 移位寄存器與模 2加法器 的連接關(guān)系以及輸入、輸出序列都表示為延時算子 D的多項式。用 D算子多項式表示移位寄存器各級與各模 2項連接關(guān)系時。以圖 (2,1,3)卷積碼 為例，左、右兩個模 2和與寄存器各級的連接關(guān)系可表達(dá)為 [6]： 22211)(1)(DDDGDDG????? 通常把表示移位寄存器與模 2和連接關(guān)系的多項式稱為生成多項式，因為由它們可以用多項式相乘計算出輸出序列。用延時算子多項式表示卷積碼編碼器的生成多項式最為方便。 卷積碼的譯碼 一、 卷積碼譯碼的概述 卷積碼的譯碼方式有三種 [2]:(1)1963年由梅西 ((Massey)提出的門限譯碼，這是一種 基于 碼代數(shù)結(jié)構(gòu)的代數(shù)譯碼，類似于分組碼中的大數(shù)邏輯譯碼 。(3) 1967年由維特比提出的 Viterbi算法。 其中， 代數(shù)譯碼，利用編碼本身的代數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行譯碼，不考慮信道本身的統(tǒng)計特性。另一類是概率譯碼，這種譯碼通常建立在最大似然準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上。常用的概率譯碼方法有維特比譯碼和序列譯碼。門限譯碼性能最差，但硬件簡單 。 二、 卷積碼的最大似然譯碼 卷積碼概率譯碼的基本思路是 [3]:以 接收碼流為基礎(chǔ)，逐個計算它與其他所有可能出現(xiàn)的、連續(xù)的網(wǎng)格圖路徑的距離，選出其中可能性最大的一條作為譯碼估值輸出。卷積碼的最大似然譯碼與分組碼的最大似然譯碼在原理上是一樣的，但實現(xiàn)方法上略有不同。 基于網(wǎng)格圖搜索的譯碼是實現(xiàn)最大似然 判決的重要方法和途徑。如果在某一點上發(fā)現(xiàn)某條路徑已不可能獲得最大對數(shù)似然函數(shù)，就放棄這條路徑，然后在剩下 的“幸存”路徑中重新選擇路徑。由于這種方法較早地丟棄了那些不可能的路徑，從而減輕了譯碼的工作量， Viterbi譯碼正是基于這種想法。 由網(wǎng)格圖的前 K1條連續(xù)支路構(gòu)成的路徑互不相交，即最初 2k_1條路徑各不相同，當(dāng)接收到第 K條支路時，每條路徑都有 2條支路延伸到第 K級上，而第 K級上的每兩條支路又都匯聚在一個節(jié)點上。 選出的路徑同它們的對數(shù)似然函數(shù) 的 累加值 將 一起被存儲起來。由此可見，上述譯碼過程中的基本操作是，“加 比 選” ，即每級求出對數(shù)似然函數(shù)的累加值，然后兩兩比較后 作出選擇。 卷積碼的 編碼器從全零狀態(tài)出發(fā) ，最后又 回到全零狀態(tài)時所輸出的碼序列，稱為結(jié)尾卷積碼。在結(jié)束信息到來時，由于每一狀態(tài)中只有與已知發(fā)送信息相符的那條支路被延伸，因而在每級比較后，幸存路徑減少一半。也就是說，在己知接收到的序列的情況下，這條譯碼路徑和發(fā)送序列是最相似的。它接收一段，計算一段，選擇一段最 可能的 碼段 (分支 )，從而達(dá)到整個碼序列是一個有最大似然函數(shù)的序列。 因此，實際應(yīng)用中采用截短 Viterbi 算法，即不需要接收到所有序列才進(jìn)行判決， 當(dāng)譯碼器接 收并處理完 了 固 定的 T （ T L） 個碼段后，在接收 第（ T+1）個碼段 的 時 候 ，它將比較前 T 級的路徑量度 ，然后從中選取最小者，由此得到與最小量度對應(yīng)的幸存路徑，將此路徑對應(yīng)的 T 個碼段判決輸出。 三 、卷積碼的 Viterbi 譯碼方法 卷積碼的譯碼算法可分為代數(shù)譯碼和概率譯碼兩大類，代數(shù)譯碼方法就是利用卷積碼的生成矩陣和監(jiān)督矩陣進(jìn)行譯碼。 代 數(shù)譯碼的譯碼算法即是利用監(jiān)督矩陣得出其伴隨式，并且利用求出的伴隨式 的分量構(gòu)成 M 個正交監(jiān)督矩陣以構(gòu)成正交碼（或可正交碼），最后利用大數(shù)邏輯判決方式進(jìn)行譯碼，這種方法能糾正 M /2 個錯誤。目前應(yīng)用得最廣泛的是 Viterbi 譯碼算法，所以本節(jié)主要討論 Viterbi 譯碼算法。 表 下一時刻狀態(tài)轉(zhuǎn)換表 當(dāng)前狀態(tài) 輸入 =0 輸入 =1 00 00 10 01 00 10 10 01 11 11 01 11 表 輸出狀態(tài)表 當(dāng)前狀態(tài) 輸入 =0 輸入 =1 00 00 11 01 11 00 10 10 01 11 01 10 采用的 Viterbi 譯碼方法流程圖如圖 所示。 圖 譯碼流程圖 第一步：建立網(wǎng)格圖。 第二步：尋找最優(yōu)路徑。網(wǎng)格圖建立以后，它并不是利用網(wǎng)格圖一次比較所有可能的路徑，而是從起始時刻 t=0 的狀態(tài)開始，每接收一段便計算、比較一段，當(dāng)前狀態(tài)向下一時刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移時，選擇達(dá)到該狀態(tài)的具有最短路徑度量的分支，并將該路徑分支作為幸存路徑（亦即最優(yōu)路徑），同時刪除其他非幸存路徑且能 達(dá)到該狀態(tài)的分支，這樣就使得整個碼字序列是具有最大似然函數(shù)的序列。 第三步： Viterbi 算法判斷最優(yōu)路徑的詳細(xì)步驟如下： (1)、從 j=m 時刻開始，求出進(jìn)入每一個狀態(tài)分支的路徑的漢明距離，也就是部分路徑 v 度量，并將進(jìn)入每個狀態(tài)的路徑（即幸存路徑）以及最小漢明距離存儲起來。對每個狀態(tài)，共有個這樣的度量值 ，從中選出并存儲最優(yōu)路徑（即漢明距離最小的路徑）并保存最小漢明距離。 Viterbi 譯碼算法的本質(zhì)其實就是尋找從開始時刻到結(jié)束時刻這個時間內(nèi)的最大似然路徑的過程，然后根據(jù)最大似然路徑，再從結(jié)束時刻回溯到開始時刻，回溯過程中每個時刻經(jīng)過的狀態(tài)對應(yīng)的編碼輸出即是 Viterbi 譯碼的輸出序列。 改變卷積碼的參數(shù)仿真以及結(jié)論 一、 不同回溯長度對卷積碼性能的影響 下面將以（ 2， 1， 7）卷積碼來建立模塊仿真。從上到下的三條曲線分別是 Traceback depth 為 20， 35， 45。當(dāng)回溯長度逐漸增加 ,系統(tǒng)的誤比特率隨之逐漸降低 ,但是當(dāng)回溯程度 τ 增加到 τ ≥ 5 N 時 （ N 為編碼 的約束長度 ) ,誤比特率數(shù)值趨于穩(wěn)定 ,因此 ,在確定回溯長度時既要考慮到隨著τ 的增加誤比特率隨之降低的趨勢 ,也要考慮到譯碼延遲會變大 ,在選取回溯長度時 ,通常取 τ = 5 N。上面的一條曲線是碼率為 1/2，下面的是碼率為 1/3。從圖 49中的誤比特率曲線可以看出 ,當(dāng)碼率一定時 ,隨著信道噪聲的逐漸減小 ,系統(tǒng)的誤比特率也逐漸減小 ,當(dāng)改變系統(tǒng)碼率時 ,隨著卷積碼碼率的逐漸提高 ,系統(tǒng)的誤比特率也呈現(xiàn)出增大的趨勢 ,也就是說碼率越低 ,系統(tǒng)的誤比特率就越小 ,誤碼性能就越好 。 上面的曲線是（ 2， 1， 3）卷積碼的誤碼性能曲線。 從圖 44 中的誤比特率曲線可以清楚地看到 ,隨著約束長度的逐漸增加 ,系統(tǒng)的誤比特率明顯降低 ,所以說當(dāng)碼率一定時 ， 增加約束長度可以降低系統(tǒng)的誤比特率 ,但是隨著約束長度的增加 ， 譯碼設(shè)備的復(fù)雜性也會隨之增加 ,所以對于碼率為 1/ 2 的卷積碼 ， 我們在選取約束長度時一般為 3～ 9 。所以我們要根據(jù)具體情況來選擇合適的參數(shù) Turbo 碼 Turbo 碼概述 Turbo 碼的實質(zhì)就是并行級聯(lián)卷積碼 (Parallel Concatenated Convolutional Codes)，其編碼器主要由兩個結(jié)構(gòu)完全相同的分量碼編碼器（系統(tǒng)卷積碼）、一個交織器、一個刪余器以及一個復(fù)用調(diào)制器構(gòu)成，如圖 所示。 Turbo 碼的編碼原理 一、 Turbo 碼的編碼器的組成 Turbo碼由 2個循環(huán)系統(tǒng)卷積碼并行級聯(lián)而成：譯碼采用迭代的串行譯碼交織器是 Turbo 碼所特有的，它可以使得信息序列隨機化，增加各碼字間的重量，從而提高碼的保護(hù)能力 。分量碼一般選擇為遞歸系統(tǒng)卷積 (RSC，Recursive Systematic Convolutional)碼，當(dāng)然也可以是分組碼 (BC, Block Code)、非遞歸卷積 (NRC， NonRecursive Convolutional)碼以及非系統(tǒng)卷積(NSC， NonSystematic Convolutional)碼，但從后面的分析將看到，分量碼的最佳選 擇是 遞歸系統(tǒng)卷積碼。 圖 Turbo碼的編碼器結(jié)