【正文】 息位 監(jiān)督位 A6a5a4 a3a2a1a0 a6a5a4 A3a2a1a0 1 000 0000 5 100 1011 2 001 0111 6 101 1100 3 010 1110 7 110 0101 4 011 1001 8 111 0010 41 g(x) = x4 + x2 + x + 1 即 “ 1 0 1 1 1” 將此 g(x)代入上矩陣，得到 或 上式不符合 G = [Ik Q]形式，所以它不是典型生成矩陣。 此循環(huán)碼組的多項(xiàng)式表示式 T(x)： 上式表明，所有碼多項(xiàng)式 T(x)都能夠被 g(x)整除，而且任意一個(gè)次數(shù)不大于 (k – 1)的多項(xiàng)式乘 g(x)都是碼多項(xiàng)式。由 可知， xk T ?(x)在模 (xn + 1)運(yùn)算下也是一個(gè)碼組，所以有 上式左端分子和分母都是 n次多項(xiàng)式，故相除的商式 Q(x) = 1。 例： (x7 + 1)可以分解為 為了求出 (7, 3)循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式 g(x)，需要從上式中找到一個(gè) (n – k) = 4次的因子。 選用的生成多項(xiàng)式不同，產(chǎn)生出的循環(huán)碼碼組也不同。這一運(yùn)算實(shí)際上是在信息碼后附加上 (n – k)個(gè)“ 0”。當(dāng) n – k = 7 – 3 =4時(shí)， xnk m(x) = x4 (x2 +x) = x6 +x5，它表示碼組 1100000。它和下式等效： ? 編出的碼組 T(x)為： T(x) = xnk m(x) +r(x) 在上例中， T(x) = 1100000 + 101 = 1100101 )()()()()(xgxrxQxgxmx kn ???11)1(1)()(24222456??????????????xxxxxxxxxxxxgxmx kn10111101111101111 1 0 0 0 0 0 ??45 循環(huán)碼的解碼方法 ? 在檢錯(cuò)時(shí)：當(dāng)接收碼組沒(méi)有錯(cuò)碼時(shí)，接收碼組 R(x)必定能被g(x)整除，即下式 中余項(xiàng) r(x)應(yīng)為零；否則，有誤碼。這時(shí)，錯(cuò)碼就不能檢出了。 ? 按照余式 r(x)，用查表的方法或計(jì)算方法得出錯(cuò)誤圖樣E(x)。 )(/)()()(/)( xgxrxQxgxR ??)(/)()()(/)( xgxrxQxgxR ??46 截短循環(huán)碼 ? 截短目的： 在設(shè)計(jì)時(shí)，通常信息位數(shù) k、碼長(zhǎng) n和糾錯(cuò)能力都是預(yù)先給定的。故采用截短碼長(zhǎng)截短，得出滿足要求的編碼。然后從中刪去這 i 位全“ 0”的信息位，最終得到一個(gè) (n – i， k – i)的線性碼。 ? 截短循環(huán)碼與截短前的循環(huán)碼至少具有相同的糾錯(cuò)能力，并且截短循環(huán)碼的編解碼方法仍和截短前的方法一樣。 這時(shí)可以由 (15, 11)循環(huán)碼的 11種碼組中選出前兩信息位均為“ 0”的碼組，構(gòu)成一個(gè)新的碼組集合。于是發(fā)送碼組成為 (13, 9)截短循環(huán)碼。 ? BCH碼分為兩類：本原 BCH碼和非本原 BCH碼。 ? BCH碼的工程設(shè)計(jì)：可以用查表法找到所需的生成多項(xiàng)式。 n k t g(x) n k t g(x) 17 21 23 33 41 9 12 12 22 21 2 2 3 2 4 727 1663 5343 5145 6647133 47 65 65 73 24 53 40 46 5 2 4 4 43073357 10761 354300067 1717773537 48 ? 常用 BCH碼： ?戈萊 (Golay)碼： (23, 12)非本原 BCH碼，它能糾正 3個(gè)隨機(jī)錯(cuò)碼，并且容易解碼 。在應(yīng)用中，為了得到偶數(shù)長(zhǎng)度的碼，并增大檢錯(cuò)能力，可以在 BCH碼生成多項(xiàng)式中乘上一個(gè)因式 (x + 1)，從而得到擴(kuò)展 BCH碼 (n + 1, k)。 ?擴(kuò)展戈萊碼 (24, 12)：其最小碼距為 8，碼率為 1/2，能夠糾正 3個(gè)錯(cuò)碼和檢測(cè) 4個(gè)錯(cuò)碼。 ? RS碼的參數(shù)：碼長(zhǎng) n = q – 1，監(jiān)督位數(shù)目 r = 2t，其中 t是能夠糾正的錯(cuò)碼數(shù)目；其生成多項(xiàng)式為 g(x) = (x + ?)(x +?2) … ( x +?2t) 式中， ?為伽羅華域 GF(2m)中的本原元。 51 卷積碼 ? 卷積碼的特點(diǎn)： ?監(jiān)督碼元不僅和當(dāng)前的 k比特信息段有關(guān)，而且還同前面 m = (N – 1)個(gè)信息段有關(guān)。 ?將卷積碼記作 (n, k, m)，其碼率為 k/n。 58 ?解碼第 1步 ?由網(wǎng)格圖可見(jiàn)，沿路徑每一級(jí)有 4種狀態(tài) a, b, c和 d。故 4種狀態(tài)共有 8條到達(dá)路徑。例如，由出發(fā)點(diǎn)狀態(tài) a經(jīng)過(guò) 3級(jí)路徑后到達(dá)狀態(tài) a的兩條路徑中上面一條為“ 000 000 000”。 110 110 110 110 011 011 011 010 010 010 101 101 101 001 001 001 001 a b c d a b c d 000 000 000 000 000 111 111 111 111 111 100 100 100 59 ?將這 8個(gè)比較結(jié)果列表如下： ?比較到達(dá)每個(gè)狀態(tài)的兩條路徑的漢明距離，將距離小的一條路徑保留，稱為幸存路徑。 序號(hào) 路徑 對(duì)應(yīng)序列 漢明距離 幸存否？ 1 aaaa 000 000 000 5 否 2 abca 111 001 011 3 是 3 aaab 000 000 111 6 否 4 abcb 111 001 100 4 是 5 aabc 000 111 001 7 否 6 abdc 111 110 010 1 是 7 aabd 000 111 110 6 否 8 abdd 111 110 101 4 是 60 ?解碼第 2步：繼續(xù)考察接收序列中的后繼 3個(gè)比特“ 110” ?計(jì)算 4條幸存路徑上增加 1級(jí)后的 8條可能路徑的漢明距離。 ?表中總距離最小為 2，其路徑是 abdc+b，相應(yīng)序列為111 110 010 100。 序號(hào) 路徑 原幸存路徑的距離 新增 路徑段 新增距離 總距離 幸存否？ 1 abca+a 3 aa 2 5 否 2 abdc+a 1 ca 2 3 是 3 abca+b 3 ab 1 4 否 4 abdc+b 1 cb 1 2 是 5 abcb+c 4 bc 3 7 否 6 abdd+c 4 dc 1 5 是 7 abcb+d 4 bd 0 4 是 8 abdd+d 4 dd 2 6 否 61 ?按照上表中的幸存路徑畫出的網(wǎng)格圖示于下圖中。 a b c d 011 010 010 101 001 a b c d 111 100 100 110 110 62 ?在編碼時(shí)，信息位后面加了 3個(gè)“ 0”。這樣得到的幸存路徑網(wǎng)格圖示于下圖中。 110 011 010 010 101 101 001 001 a b c d a b c d 000 111 100 100 000 011 011 001 101 63 ?若已知這 3個(gè)碼元是（為結(jié)尾而補(bǔ)充的）“ 0”，則在解碼時(shí)就預(yù)先知道在接收這 3個(gè)“ 0”碼元后，路徑必然應(yīng)該回到狀態(tài) a。所以，這時(shí)上圖可以簡(jiǎn)化成： 110 011 010 010 101 101 001 001 a b c d a b c d 000 111 100 100 000 011 011 001 110 011 010 010 101 101 001 001 a b c d a b c d 000 111 100 100 000 011 011 001 101 64 ?在上例中卷積碼的約束長(zhǎng)度為 N = 3，需要存儲(chǔ)和計(jì)算 8條路徑的參量。故維特比算法適合約束長(zhǎng)度較?。?N ? 10）的編碼。 ?鏈接碼：鏈接碼是復(fù)合編碼的一種，它包括一個(gè)內(nèi)（部）碼和一個(gè)外（部）碼，如下圖所示： ?內(nèi)碼是二進(jìn)制分組碼或卷積碼，而典型的外碼則是多進(jìn)制的 RS碼。它在兩個(gè)并聯(lián)或串聯(lián)的編碼器之間增加一個(gè)交織器，使之具有很大的碼組長(zhǎng)度和在低信噪比條件下得到接近理想的性能。 ?輸入信息位是 bi， 輸出是 bic1ic2i， ?故碼率等于 1/3。 ?交織目的：將集中出現(xiàn)的突發(fā)錯(cuò)碼分散，變成隨機(jī)錯(cuò)碼 ?交織原理： ?交織器由容量為 (n1)m比特的存儲(chǔ)器構(gòu)成。 a11 a12 ? ? ? a1m a21 a22 ? ? ? a2m ? ? ? ? ? ? an1 an2 ? ? ? anm 68 ?卷積交織器舉例 x x x 1 2 3 4 x x x 1 2 3 4 x x x 1 x x x 1 x x x x x x (a) 第 1~4比特輸入時(shí)的狀態(tài) x x 2 5 6 7 8 3 4 x 5 6 7 8 x x 2 5 x 2 x 5 1 x x x x x (b) 第 5~8比特輸入時(shí)的狀態(tài) x 3 6 9 3 6 2 9 5 1 x x x x 9 10 11 12 10 11 12 7 8 4 x 3 6 9 (c) 第 9~12比特輸入時(shí)的狀態(tài) 10 13 7 6 9 5 4 3 2 1 14 15 16 11 12 8 13 14 15 16 4 7 10 13 4 7 10 13 (d) 第 13~16比特輸入時(shí)的狀態(tài) 交織器 解交織器 69 ?卷積交織法優(yōu)點(diǎn)： ?延遲時(shí)間短和需要的存儲(chǔ)容量小。 ? Turbo碼的性能： 由此曲線可以看到， 交織器容量大時(shí)誤碼率 低，這是因?yàn)榻豢椃秶? 大可以使交織器輸入碼 元得到更好的隨機(jī)化