【正文】 0?? ?02 π vl????cr解得臨界速度 0 5 m 9 . 9 r a d /s 7 . 8 8 m /s 2 8 . 4 k m /h22 π r a dlv ???? ? ? ?cr167。 1?其中第二根 較大，稱為 第二固有頻率 。 對應(yīng)于頻率 的振幅為 1? 11 BA，對應(yīng)于頻率 的振幅為 2? 22 BA，1212111 1??? ????? ddbcBA2222222 1??? ????? ddbcBAcddbdb ???? 22 2,1 )2(2 ??0)(0)( 22 ??????? BddAcBAb ?? ，其中 和 為比例常數(shù) 1? 2?對應(yīng)于第一固有頻率 的振動稱為第一主振動 1?它的運動規(guī)律為 )s i n ()s i n ( 1111)1(2111)1(1 ????? ???? tAxtAx ，對應(yīng)于第二固有頻率 的振動稱為第二主振動 2?它的運動規(guī)律為 )s i n ()s i n ( 2222)2(2222)2(1 ????? ???? tAxtAx ，cddbdb ???? 22 2,1 )2(2 ??1212111 1??? ????? ddbcBA2222222 1??? ????? ddbcBA各個主振動中兩個物塊的振幅比 0])2(2[10])2(2[1222222221111??????????????????cddbdbccbABcddbdbccbAB????圖 b表示在第一主振動中振動形狀 稱為 第一主振型 圖 c表示在第二主振動中振動形狀 稱為 第二主振型 圖 c中的點 C是始終不振動的節(jié)點 主振型和固有頻率一樣都只與系統(tǒng)本身的參數(shù)有關(guān) 而與振動的初始條件無關(guān)因此主振型也叫 固有振型 . 自由振動微分方程的全解為 第一主振動與第二主振動的疊加 即 )s i n()s i n()s i n()s i n(2222111122221111??????????????????tAtAxtAtAx其中包含 4個待定常數(shù) 2121 ?? ， AA它們應(yīng)由運動的 4個初始條件 確定 20222022 xxxx ?? ，例 4－ 14 求：系統(tǒng)的固有頻率和主振型。 已知：如圖表示一具有兩個集中質(zhì)量 的簡支梁 21 mm，在質(zhì)量 處梁的影響系數(shù)分別為 21 mm， 2211 ?? ，和 ， 2112 ?? ，解： 這是兩個自由度的振動系統(tǒng) 慣性力分別為 ， 11xm?? 22xm??根據(jù)達朗貝爾原理和材料力學(xué)中的變形疊加原理 由兩個慣性力在 和 處產(chǎn)生的撓度分別為 1m 2m)()()()(222211212221211111xmxmxxmxmx????????????????????整理得系統(tǒng)的運動微分方程 ?????????00222221121122121111xxmxmxxmxm???????????? （ a） 令 222111222121111212 11memdmmcmmb?????? ???? ， （ b） 則方程（ a）可改寫為 00 221121 ?????? exxxcdxxbx ???????? ，（ c） 設(shè)上述方程解的形式為 )s i n ()s i n ( 21 ???? ???? tBxtAx ，（ d） 將式（ d）代入方程（ c）得 0)(0)( 2222 ??????? BeAcBbAd ???? ，（ e） 頻率方程為 02222?????????ecbd將行列式展開，得 0)()1( 24 ????? ededbc ??解此代數(shù)方程， 得到關(guān)于頻率 的兩個根 2?)1(2)1(4)()( 222,1 cbdecbeded?????? ?? （ f） 整理得 )1(24)()( 222,1 cbb c d eeded????? ?? （ g） 可以證明 的兩個根都是正實根 2?和 為系統(tǒng)的兩個固有頻率 1? 2?振幅比為 12121212111 1????? ?????cedbBA （ h） 22222222222 1????? ?????cedbBA （ i） 同樣可證明 和 01 ?? 02 ??這樣可以畫出第一主振型和第二主振型如圖 b， c所示 設(shè) mmm ?? 21431lll ??212 ?l則根據(jù)材料力學(xué)公式可計算出 EIlEIl7 6 877 6 893211232211????????其中 EI為梁截面的抗彎剛度 再將上述表達式代入式（ g）中 得 3231 mlEImlEI ?? ?? ，再由式（ h）和（ i）解得振幅比為 11222111 ????? ABAB ?? ，梁對于其中點具有對稱和反對稱的兩個主振型 將上式代入公式（ b）得 397 6 897mlEIdebc ???? ，例 4－ 15 已知：均質(zhì)細(xì)桿質(zhì)量為 m， 長為 l， 由兩個剛度系數(shù)皆 為 k的彈簧對稱支承。 解： 2211 kxFkxF ?? ，此時細(xì)桿的質(zhì)心坐標(biāo)為 )(21 21 xxx C ?? （ a） 細(xì)桿繞質(zhì)心 C 的微小轉(zhuǎn)角 )(1 21 xxd ??? （ b） 列出細(xì)桿的平面運動微分方程 ddkdFdFJxxkFFcxmC ?? 222)(212121??????????????????將式（ a）和式（ b）代入上兩式 注意 122mlJ C ? 則可整理為 00 21212121 ???????? cxcxxxbxbxxx ???????? ，（ c） 其中 2262mlkdcmkb ?? ，只求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型時 可取振動的初始角 θ =0 而設(shè)式（ c）的解為 tBxtAx ?? s i ns i n 21 ?? ， （ d） 將上式代入式（ c） 消去 得 t?sin0))((0))(( 22 ?????? BAcBAb ?? ，（ e） 22222162mlkdcmkb ???? ?? ， （ f） 當(dāng) 時 b?21? 為使式（ e）中兩個方程都滿足 11 BA ?這是對應(yīng)于直桿上下平動的固有振型 當(dāng) 時 c?22? 為使式（ e）中兩個方程都滿足 22 BA ??這是對應(yīng)于質(zhì)心不動而繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的固有振型 如果直接取質(zhì)心位移 和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)角 Cx ?為系統(tǒng)的兩個獨立坐標(biāo) 則直桿的平面運動微分方程為 ??? 2222kdddkJkxcxm CC ?????? ???? ，（ g） 上式是對 和 互相獨立的兩個微分方程 Cx ?系統(tǒng)的兩個固有振型 隨同質(zhì)心的平移位移 繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的角位移 Cx?Cx ?和 稱為此系統(tǒng)的兩個 主坐標(biāo) 例 4－ 16 求：小車和重物的運動。當(dāng)小車連同重物 B 以勻速度 碰上緩沖器后。 4－ 9 兩個自由度系統(tǒng)的受迫振動 1m－－ 相對平衡位置的位移 1x 1m－－ 相對平衡位置的位移 2x 2m建立兩個質(zhì)量的運動微分方程為 )(s i n)(122221221111xxkxmtHxxkxkxm???????????? ?令 12212121mHhmkdmkcmkkb ????? ，則上式可簡化為 ?????????0s i n212211dxdxxthcxbxx???? ?設(shè)上述方程一組特解為 tBxtAx ?? s i ns i n 21 ?? ，式中 A和 B為 和 的振幅 1m 2m 是待定常數(shù) 0)()( 22 ??????? BddAhcBAb ?? ，解上述代數(shù)方程組得 cddbdhA?????))(()(222???下面分析受迫振動的 振幅與激振頻率之間的關(guān)系 （ 1）當(dāng)激振頻率 時 0?? 周期 ??T表示激振力變化及其緩慢，實際上相當(dāng)于靜力作用 cddbhdB???? ))(( 22 ??01bkHcb hBA ?????－－力幅 H的作用下主質(zhì)量 的靜位移 1m（ 2）系統(tǒng)的頻率方程為 0))(( 2222?????????cddbddcb????由此可解得系統(tǒng)的固有頻率 和 1? 2?0)()( 22 ??????? BddAhcBAb ?? ，cddbdhA?????))(()(222???cddbhdB???? ))(( 22 ??所以當(dāng)激振頻率 或 時 1?? ? 2?? ?振幅 A和 B都成為無窮大，即系統(tǒng)發(fā)生共振。 （ 3） ddBA 2???即二物塊振幅之比與干擾力頻率有關(guān) 不再是自由振動的主振型。 利用實驗測固有頻率和固有振型。 －－ 無阻尼減振器 有阻尼動力減振器 它的減振作用主要是靠阻尼元件在振動過程中， 吸收振動能量來達到減振的目的。 問：重塊距中點的距離 l 應(yīng)等于多少時減振器的減振 效果最好