【正文】 （2）∵y＝x2＋x－＝（x＋1）2－2，∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－1，－2）。 即它是拋物線y＝x2＋x－與直線y＝2的交點(diǎn)。2。 （3）使得以A、B、P、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形的點(diǎn)F的坐標(biāo)為： （－1，2），（－5，－2），（3，－2）?！痉治觥浚?）要求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，只要根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，解x2＋x－＝0即可。 （3）分AB是對角線或邊兩種情況討論。當(dāng)AB是邊時(shí)，根據(jù)對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定，由AB＝4，只要把點(diǎn)P向左或向右平移4個(gè)單位得到的點(diǎn)（－5，－2），（3，－2）符合條件。17.（遼寧鞍山14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，平行四邊形的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(8，8)，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－6，0)，邊AB在x軸上，點(diǎn)E為線段AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段DC上，且橫坐標(biāo)為3，直線EF與y軸交于點(diǎn)G，有一動點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度，從點(diǎn)A沿折線A－B－C－F運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)F時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)間為t秒．(1)求直線EF的表達(dá)式及點(diǎn)G的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P在運(yùn)動的過程中，設(shè)△EFP的面積為S(P不與F重合)，試求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)在運(yùn)動的過程中，是否存在點(diǎn)P，使得△PGF為直角三角形，若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】解：(1)∵C(8，8)，DC∥x軸，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為3，∴OD＝CD＝8?！逜(－6，0)，∴OA＝6。過點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，則△AHE∽△AOD。∴AH＝3，EH＝4。∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(－3，4)。令x＝0，則y＝6，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(0，6)?！逥F＝3，∴S△DEF＝34＝6，且S平行四邊形ABCD＝CD① 當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動時(shí)，S＝S平行四邊形ABCD－S△DEF－S△APE－S四邊形PBCF。S四邊形PBCF＝(5＋8－t)8＝52－4t。② 當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動時(shí)，S＝S平行四邊形ABCD－S△DEF－S△PCF－S四邊形ABPE。∵∠C＝∠A，sin∠A＝＝，∴sin∠C＝。sin∠C＝(18－t)。過點(diǎn)B作BK⊥AD于點(diǎn)K.。sin∠A＝8＝?！郤＝64－6－(36－2t)－，即S＝－t＋?！逧M＝4，∴S△PEF＝4(23－t)＝46－2t。P1，P2。【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，即可由待定系數(shù)法，根據(jù)點(diǎn)在直線上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系求出直線EF的表達(dá)式及點(diǎn)G的坐標(biāo)。 （3）分∠FGP和∠GFP是直角兩種情形（可以證明由于GF是最短邊從而∠GPF不可能是直角）。二者聯(lián)立，即可求出點(diǎn)P1的坐標(biāo)。二者聯(lián)立，即可求出點(diǎn)P2的坐標(biāo)?！鄖＝x2－3x。4∴S＝m＋10(－≤m＜0)。4∴S＝m＋10 (0≤m＜－2)?！究键c(diǎn)】待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，勾股定理和逆定理。 （2）①分點(diǎn)B位于原點(diǎn)左側(cè)和點(diǎn)B位于原點(diǎn)右側(cè)兩種情況求解。分兩種情況： 若AB是斜邊，可得m1＝－1，m2＝－4；若BD是斜邊，可得m3＝－。把x＝n，y＝0代入y＝－x2＋bx，得－n2＋bn＝0?！鄖＝－x2＋nx。(2)∵拋物線頂點(diǎn)為，把x＝代入y＝x2＝，∴拋物線的頂點(diǎn)在函數(shù)y＝x2的圖象上。當(dāng)n＝2時(shí)，P、N兩點(diǎn)重合，△NPO不存在?！遪＞2，∴n＝1＋。綜上所述，當(dāng)n＝1＋或n＝1時(shí)，△NPO的面積為1?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的對稱軸和最值。 （2）根據(jù)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，把x＝代入y＝x2＝即可。（4）分別把A(2，2)，B(3，2)，C(3，3)，D(2，3)中的橫、縱坐標(biāo)代入y＝－x2＋nx，得n＝3；n＝；n＝4；n＝。20.（遼寧錦州14分）如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋(a≠0)經(jīng)過A(－3,0)、C(5,0)兩點(diǎn)，點(diǎn)B為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D.(1)求此拋物線的解析式；(2)動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BD向終點(diǎn)D作勻速運(yùn)動，速度為每秒1個(gè)單位長度，運(yùn)動時(shí)間為ts，過點(diǎn)P作PM⊥BD交BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN∥BD，交拋物線于點(diǎn)N.①當(dāng)t為何值時(shí)，線段MN最長；②在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，是否有某一時(shí)刻，使得以O(shè)、P、M、C為頂點(diǎn)的四邊形為等腰梯形？若存在，求出此刻的t值；若不存在，請說明理由．參考公式：拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.【答案】解：(1)∵拋物線y＝ax2＋bx＋與x軸交于點(diǎn)A(－3，0)，C(5，0)，∴解得∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y＝－ x2＋x＋。∴BD＝8，OD＝1?！逷M⊥BD，BD⊥AC，∴PM∥AC。∠BMP＝∠BCD。∴＝?！進(jìn)N∥BD，PM∥AC，∠BDC＝90176?！郉E＝PM＝t?！郋?！郚E＝－2＋＋＝－t2＋8。∴MN＝NE－EM＝－t2＋8－(8－t)＝－(t－4)2＋2。②存在符合條件的t值。若四邊形OPMC是等腰梯形，只需OD＝EC?！?－＝1，解得t＝6?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，解二元一次方程組，平行的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，等腰梯形的判定和性質(zhì)。 （2）求出MN關(guān)于t的二次函數(shù)表達(dá)式，用二次函數(shù)的最值原理求解即可。據(jù)此求解即可。以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，AO＝3，∠AOB＝30176?！唷螪OC＝30176。cos30176。sin30176。(2)在Rt△AOB中，AB＝AO＝3＝，∴B(，3)。(3)存在符合條件的點(diǎn)P，設(shè)P(x，y)，如圖，作EH⊥PM于點(diǎn)H，F(xiàn)G⊥PM于點(diǎn)G。設(shè)OB所在直線的表達(dá)式為y＝kx，將點(diǎn)B(，3)代入，得k＝?！逷在射線OB上，∴P(x，x)，F(xiàn)?！進(jìn)在拋物線上，∴M?！郟1點(diǎn)坐標(biāo)為(2，6)，P2點(diǎn)坐標(biāo)為?！痉治觥?1)由翻折對稱的性質(zhì)，可得DO＝AO＝3，∠AOB＝∠BOD＝30176。因此由銳角三角函數(shù)可求出OC和CD而得到D點(diǎn)坐標(biāo)。 （3）設(shè)P(x，y)，作EH⊥PM于點(diǎn)H，F(xiàn)G⊥PM于點(diǎn)G。故把PH和GM用x的表達(dá)式來表示即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)?！逜B＝5，∴m2＋32＝52，解得m＝177。∵m＞0，∴m＝4?！郞B＝4。 ∴CO＝＝＝。設(shè)直線AC解析式為y＝kx＋b，∵A(－3,0)，C，∴，解得　。(2)FFF3。由題意，F(xiàn)G∥AC，∴＝?！連(0,4)，C，∴BC＝4＋＝。 ∴BG＝(5－t)?！郋G＝(5－t)－(4－)＝－t?！郋D∥AB?！啵?。第二種情況：當(dāng)t＞5時(shí)，如圖，作ED⊥FG于D，則ED＝d?！逜F＝t，AB＝5，∴BF＝t－5?！啵健?∵OE＝，OB＝4，∴BE＝－4，EG＝(t－5)－(－4)＝t－?！郋D∥AB?！啵??！究键c(diǎn)】一次函數(shù)綜合題，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法，等腰三角形的判定。由勾股定理和相似三角形求出點(diǎn)C的坐標(biāo)。 （2）分OB＝OF，OB＝BF，OF＝BF三種情況討論。則 OB＝4，OF＝，BF＝。②若OB＝BF，即，解得x＝或x＝，得F1，F(xiàn)2。綜上所述，直線l在平移過程中，△BOF為等腰三角形時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為：F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3。23.（貴州貴陽12分）用長度一定的不銹鋼材料設(shè)計(jì)成外觀為矩形的框架（如圖①②③中的一種）設(shè)豎檔AB=x米，請根據(jù)以上圖案回答下列問題：（題中的不銹鋼材料總長度均指各圖中所有黑線的長度和，所有橫檔和豎檔分別與AD、AB平行）（1）在圖①中，如果不銹鋼材料總長度為12米，當(dāng)x為多少時(shí)，矩形框架ABCD的面積為3平方米？（2）在圖②中，如果不誘鋼材料總長度為12米，當(dāng)x為多少時(shí)，矩形架ABCD的面積S最大？最大面積是多少？（3）在圖③中，如果不銹鋼材料總長度為a米，共有n條豎檔，那么當(dāng)x為多少時(shí)，矩形框架ABCD的面積S最大？最大面積是多少？【答案】解：（1）∵AD=（12﹣3x）247。（2）∵AD=（12﹣4x）247?！喈?dāng)x=時(shí)，S最大=3。（3）∵AD=（a﹣nx）247?！喈?dāng)x=時(shí)，S最大=?！究键c(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值。3=4﹣x表示橫檔AD的長，然后根據(jù)矩形的面積公式列方程，求出x的值。3=4﹣x表示橫檔AD的長，然后根據(jù)矩形面積公式得到二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出矩形的最大面積以及對應(yīng)的x的值。3=表示橫檔AD的長，然后根據(jù)矩形的面積公式得到二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出矩形的最大面積以及對應(yīng)的x的值?！鄴佄锞€的解析式為y=x2－x－2。（2）當(dāng)x = 0時(shí)y =－2，∴C（0，－2），OC = 2?！郆 (4，0)?！逜B2 = 25， AC2 = OA2 + OC2 = 5， BC2 = OC2 + OB2 = 20，∴AC2 +BC2 = AB2。（3）作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′，則C′（0，2），OC′=2，連接C′D交x軸于點(diǎn)M，根據(jù)軸對稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知，MC + MD的值最小。∴直線C′D的解析式為y =x +2 。 ∴m =?！痉治觥浚?）把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式，求b得值，即可的出拋物線的解析式，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)。（3）作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′，則C′（0，2），OC39。D交x軸于點(diǎn)M，根據(jù)軸對稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知，MC+MD的值最?。紫却_定最小值，然后根據(jù)三角形相似的有關(guān)性質(zhì)定理，求m的值。將紙片的直角部分翻折，使點(diǎn)C落在AB邊上，記為D點(diǎn)，AE為折痕，E在y軸上。（2）線段AD上有一動點(diǎn)P（不與A、D重合）自A點(diǎn)沿AD方向以每秒1個(gè)單位長度向D點(diǎn)作勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒（0t3），過P點(diǎn)作PM∥DE交AE于M點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥AD交DE于N點(diǎn)，求四邊形PMND的面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)t取何值時(shí)，S有最大值？最大值是多少？（3）當(dāng)t（0t3）為何值時(shí)，A、D、M三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形？并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。設(shè)DE＝OE＝x， 在Rt△BED中，BD2＋DE2＝BE2，即22＋x2＝（4－x）2， 解得。 在Rt△AOE中，AE=?！逜P＝t1＝t，∴PD＝3－t[。∴PM＝。又∵，∴當(dāng)時(shí)?！喈?dāng)時(shí)，A、D、M三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形。∴OF＝OA－AF＝3－。21世紀(jì)教育網(wǎng)②當(dāng)AD＝AM＝3時(shí)，△AMP∽△AED，∴。∴?！喈?dāng)秒時(shí)，A、D、M三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形。∴OF＝OA－AF＝3－。綜上所述，當(dāng)時(shí)，A、D、M三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形，M（，）；當(dāng)秒時(shí)，A、D、M三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形，M（，）。【分析】（1）由折疊可知△AOE≌△ADE，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，以及對應(yīng)角相等得到OE=ED，∠ADE=∠AOE=90176。（2）根據(jù)兩組對邊互相平行得到四邊形MNDP為平行四邊形，又∠ADE為直角，所以MNDP為矩形，根據(jù)題意表示出AP的長，從而得到PD的長，又由平行得到兩對同位角相等，從而得到△AMP∽△AED，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得到比例式，將各自的值代入表示出PM的長，由矩形的面積公式長乘以寬和表示出的長DP與寬PM，表示出矩形的面積，得到面積與t成二次函數(shù)關(guān)系，利用二次函數(shù)求最值的方法求出面積S的最大值及取得最大值時(shí)t的值即可。26.（貴州遵義14分）已知拋物線經(jīng)過A(3，0), B(4，1)兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖（1）,連接AB，在題（1）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）如圖（2）,連接AC，E為線段AC上任意一點(diǎn)（不與A、C重合）經(jīng)過A、E、O三點(diǎn)的圓交直線AB于點(diǎn)F，當(dāng)△OEF的面積取得最小值時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】解：（1）將A(3，0)，B(4，1)代人 得，∴ ∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為?！帱c(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3) 。 過B作BD⊥軸于D，則有BD=1， AD=OD－OA=4－3=1， ∴BD=AD，∴∠DAB=∠DBA=45O。 ∴△ABC是直角三角形。 ∴P1(0，3)為所求。 ∵A(3，0)，C(0，3)， ∴直線AC的函數(shù)關(guān)系式為。 則直線BP的函數(shù)關(guān)系式為 由,得 又B(4，1)，∴P2(－1，6)。(3) ∵∠OAE=∠OAF=45O，而∠OEF=∠OAF=45O，∠OFE=∠OAE=45O, ∴∠OEF=∠OFE=45O。 ∵點(diǎn)E在線段AC上， ∴設(shè)E ∴OE =∴= =∴當(dāng)時(shí), 取最小值,此時(shí),∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為?！痉治觥浚?）根據(jù)A（3，0），B（4，1）兩點(diǎn)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式。與當(dāng)△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，且∠PBA=90176。（3）設(shè)E，根據(jù)△FEO面積的表達(dá)式，應(yīng)用二次函數(shù)的最值即可。 (1) 求該拋物線的解析式。(4分) (3) 點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，⊙P與直線AB和軸都相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)?！鄴佄锞€的解析式為：?！邟佄锞€的圖象經(jīng)過M（1，0）和N（3，0）兩點(diǎn)，∴二次函數(shù)對稱軸為=2?！郆點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，4）或（2