112余弦定理(二)學(xué)案人教b版必修5-閱讀頁(yè)
2024-12-09 21:33本頁(yè)面
【正文】 s Bsin B＝ tan Atan B＝左邊， 所以 tan Atan B＝ a2＋ c2－ b2b2＋ c2－ a2. 變式訓(xùn)練 1 證明 方法一 左邊 ＝a2＋ c2－ b22aca2＋ b2－ c22ab＝ b?a2＋ c2－ b2?c?a2＋ b2－ c2? 右邊＝c－ bb2＋ c2－ a22bc＝ b?a2＋ c2－ b2?c?a2＋ b2－ c2?∴ 等式成立 ． 方法二 右邊＝ 2Rsin C－ 2Rsin Bcos A ＝ sin?A＋ B?－ sin Bcos Asin?A＋ C?－ sin Ccos A＝ sin Acos Bsin Acos C＝左邊 ∴ 等式成立 ． 例 2 解 方法一 根據(jù)余弦定理得 b2＝ a2＋ c2－ 2accos B. ∵ B＝ 60176。整理得 (a－ c)2＝ 0， ∴ a＝ c.∴△ ABC是正三角形 ． 方法二 根據(jù)正弦定理， 2b＝ a＋ c 可轉(zhuǎn)化為 2sin B＝ sin A＋ sin C. 又 ∵ B＝ 60176。. ∴ C＝ 120176。＝ sin A＋ sin(120176。)＝ 1， ∴ A＝ 60176。. 又 ∵ 2b＝ a＋ c， ∴ b＝ a.∴△ ABC是正三角形 ． 變式訓(xùn)練 2 解 由 (a＋ b＋ c)(b＋ c－ a)＝ 3bc， 得 b2＋ 2bc＋ c2－ a2＝ 3bc，即 a2＝ b2＋ c2－ bc， ∴ cos A＝ b2＋ c2－ a22bc ＝bc2bc＝12， ∴ A＝π3. 又 sin A＝ 2sin Bcos C. ∴ a＝ 2bBC→ ＝－ 21， ∴ BA→ BC→ ＝ |BA→ |cos B＝ accos B＝ 21. ∴ ac＝ 35， ∵ cos B＝ 35， ∴ sin B＝ 45. ∴ S△ ABC＝ 12acsin B＝ 12 35 45＝ 14. (2)ac＝ 35， a＝ 7， ∴ c＝ 5. 由余弦定理 b2＝ a2＋ c2－ 2accos B＝ 32， ∴ b＝ 4 ： csin C＝ bsin B. ∴ sin C＝ cbsin B＝ 54 2 45＝ 22 . ∵ cb 且 B 為銳角， ∴ C一定是銳角 ． ∴ C＝ 45176。BC→ ＝ 32得 cacos B， 得 a2＋ c2＝ b2＋ 2acA90176。ACsin A＝ 12ABsin 60176。AC＝ 8， BC2＝ AB2＋ AC2－ 2ABAC＝ (AB＋ AC)2－ 3ABAC＝ 49， ∴ AB＋ AC＝ 7，周長(zhǎng)為 12. 7． 直角 解析 ∵ lg a－ lg c＝ lg sin A＝－ lg 2， ∴ ac＝ sin A＝ 22 ， ∵ A 為銳角， ∴ A＝ 45176。＝ 1， ∴ C＝ 90176。cos B－ sin Bsin Ca2＋ c2－ b22ac －bc183
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