李亞普諾夫穩(wěn)定性分析-閱讀頁
2025-06-03 09:38本頁面
【正文】 ? 若存在一個有連續(xù)一階偏導數(shù)的正定函數(shù) V(x),滿足下述條件 : 1) 若 為負半定的 。 ()x f x?()Vx00, , ( )x X x V x? ? ?將狀態(tài)方程代入，若能導出 非零解 ，表示不滿足 定理 3中條件 2）； 若導出 全零解 ，表示滿足 定理 3中條件 2） 。 )(xV? 0)( ?xV?是否有恒為零：令 判斷在非零狀態(tài)下 ?例 ： 試確定如下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡狀態(tài)穩(wěn)定性。 因此 ,由 定理 3知 ,在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。 ),( txfx ??( , )V x t( , )V x t 0 , ( , ) 0x V x t???例 ： 試確定用如下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性。 ???????21221xxxxx??0222)( 222211 ???? xxxxxV ??? x)(xV?? 下面將前面討論的李雅普諾夫穩(wěn)定性的判定方法作一小結(jié) V(x) 結(jié)論 正定 (0) 負定 (0) 該平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定 正定 (0) 負半定 (?0)且不恒為 0 (對任意非零的初始狀態(tài)的解 ) 該平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定 正定 (0) 負半定 (?0)且恒為 0 (對某一非零的初始狀態(tài)的解 ) 該平衡狀態(tài)穩(wěn)定 但非漸近穩(wěn)定 正定 (0) 正定 (0) 該平衡狀態(tài)不穩(wěn)定 正定 (0) 正 半 定 (?0)且不恒為 0 (對任意非零的初始狀態(tài)的解 ) 該平衡狀態(tài)不穩(wěn)定 ()Vx1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的判別 ? 設線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 這樣的線性系統(tǒng)具有如下特點 : 1) 當系統(tǒng)矩陣 A為非奇異時 ,系統(tǒng)有且僅有一個平衡態(tài)xe=0,即為狀態(tài)空間原點 。 3) 對于該線性系統(tǒng) ,其李雅普諾夫函數(shù)一定可以選取為二次型函數(shù)的形式?？梢匀≌ǘ涡秃瘮?shù) 作為李雅普諾夫函數(shù) ,求導并考慮狀態(tài)方程 PxxxV T?)(xAPPAxxPxPxxxV TTTT )()( ???? ???( ) (2 )TV x x Q x??根據(jù)定理 1，只要 Q正定（即 負定）則系統(tǒng)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。 )(xV?注意： 先指定正定的 Q陣，然后驗證 P陣是否正定。若 ，則 Q可以取正半定的。判斷系統(tǒng)是否為漸近穩(wěn)定 與 Q陣的不同選擇無關 。 （ 3）利用定理 5判斷線性定常系統(tǒng)是否漸近穩(wěn)定時需要求解李雅普諾夫方程，但通常求解方程較為繁瑣，因此該方法往往不用來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而是 用來構造線性定常連續(xù)漸近穩(wěn)定系統(tǒng)。 ????????????????????21211210xxxx??? 解： ??????????????100122121211 QppppP ，令對稱矩陣??????????????????????????????????? 1001121011202212121122121211pppppppp展開后得 ,有 : ???????????????????100122224221222121122121112ppppppppp?????????????????11134122121211ppppP QAPPA T ???代入P不定，因此，系統(tǒng)非漸近穩(wěn)定的。 定理 6: 系統(tǒng) 漸近穩(wěn)定的充要條件是：給定任一正定實對稱矩陣 Q，存在正定對稱矩陣 P，使（ 1）式成立。 )()1( kxkx ???)]([ kxV?? 例 : 設離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 試確定系統(tǒng)在平衡點處是大范圍漸近穩(wěn)定的條件。 12| | 1 , | | 1????211 22 11 22 120 0 0p p p p p? ? ? ??????????????1)1(0)1(1)1(222221122111????ppp 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間設計 例 1： 自動檢測系統(tǒng) 電氣開關面板上有各種開關、繼電器和指示燈，若采用手工方式檢測，會降低產(chǎn)量并造成較大的檢測誤差。 ? 該自動檢測系統(tǒng)利用直流電機上的編碼器來測量電壓和探針的位置，其結(jié)構圖如圖所示。 15s ?11s ?1saK激 磁 磁 場 電 機放 大 器 I f ( s )V f ( s ) Ω ( s ) q ( s )U ( s ) ? 例 2： 一個三容水槽對象如圖所示 , H H H3為三個水槽液位 , 將 H1作為被控變量 y, 將輸入流量 q作為控制變量 u。 顯然原系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 , 現(xiàn)要求通過狀態(tài)反饋 u=Kx+v (v為參考輸入 ), 將閉環(huán)極點配置在 1
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