李亞普諾夫穩(wěn)定性分析(編輯修改稿)
2025-06-19 09:38 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 t()VxPxxT標(biāo)量函數(shù)定號性 正定性： 標(biāo)量函數(shù) 在域 S中對所有非零狀態(tài) 有 且 ， 則稱 均在域 S內(nèi)正定 。 如 是正定的 。 ()Vx 0()Vx?0)0( ?V 2212( ) ( )V x x x? ? ?()Vx 負定性： 標(biāo)量函數(shù) 在域 S中對所有非零狀態(tài) 有 且 ， 則稱 均在域 S內(nèi)負定 。 如 是負定的 。 ()Vx 0()Vx?0)0( ?V 2212()V x x x??()Vx如果 是負定的，則 一定是正定的。 ()Vx ()Vx?正 （ 負 ） 半定性： ， 且 在域 S內(nèi)某些狀態(tài)處有 ， 而其它狀態(tài)處均有 （ ） ， 則稱 在域 S內(nèi)正 （ 負 ） 半定 。 設(shè) 負半定，則 為正半定。如 為正半定。 不定性 : 在域 S內(nèi)可正可負，則稱 不定。如 是不定的。 ()Vx0)0( ?V()Vx()Vx()Vx?()Vx0)( ?xV 0)( ?xV0)( ?xV()Vx2122( ) ( )V x x x??21)( xxxV ?二次型函數(shù) 是一類重要的標(biāo)量函數(shù) ， 記 ? ???????????????????????nnnnnnTxxppppxxPxxxV ??????111111)(其中 ， P 為對稱矩陣 ， 有 。 jiij pp ?當(dāng)?shù)母黜樞蛑髯有辛惺骄笥诹銜r ，即 0,0,011112221121111 ???nnnnppppppppp????? 則 正定，且稱 P為正定矩陣。當(dāng) P的各順序主子行列式負、正相間時，即 ()Vx0)1(,0,011112221121111 ????nnnnnppppppppp?????則 負定 ， 且稱 P為負定矩陣 。 若主子行列式含有等于零的情況 ， 則 為正半定或負半定 。 不屬以上所有情況的 不定 。 ()Vx()Vx()Vx2. 李雅普諾夫第二法的主要定理 ? 下面分別介紹李雅普諾夫穩(wěn)定性分析的如下 3個定理 : ? 漸近穩(wěn)定性定理 ? 穩(wěn)定性定理 ? 不穩(wěn)定性定理 (1) 定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定性定理 1 ?定理 2 設(shè)定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 其中 xe=0為其平衡狀態(tài)。 ? 若存在一個有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的正定函數(shù) V(x),滿足下述條件 : 1) 若 為負定的 。 2) 當(dāng) ||x||→ ?,有 V(x)→ ?, 則該系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。 2. 李雅普諾夫第二法的主要定理 ()x f x?()Vx對上述李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的使用有如下說明 : 1) 此定理只為判別系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件 ,而非必要條件。 ? 也就是說 ,若找到滿足上述條件的一個李雅普諾夫函數(shù) ,則系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。 ? 但是 ,如果我們一時找不到這樣的李雅普諾夫函數(shù) ,也并不意味著平衡狀態(tài)就不是漸近穩(wěn)定的。 ? 此時 ,我們或者 o 繼續(xù)尋找滿足條件的李雅普諾夫函數(shù) ,或者 o 可利用后續(xù)定理的結(jié)論來判別平衡狀態(tài)的漸近穩(wěn)定性。 2) 對于漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài) ,滿足條件的李雅普諾夫函數(shù)總是存在的 ,但并不唯一 。 ?例 試確定用如下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡狀態(tài)穩(wěn)定性。 ?解 顯然 ,原點 (0,0)是給定系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài) ,如果我們選擇正定函數(shù) ??????????)()(22212122221121xxxxxxxxxx??2221)( xxV ??x為李雅普諾夫函數(shù) ,那么沿任意軌跡 x(t),V(x)對時間的全導(dǎo)數(shù) 0)(222)( 222212211 ?????? xxxxxxV ??? x是負定函數(shù)。此外 ,當(dāng) ||x||→ ?時 ,必有 V(x)→ ?。 ? 因此 ,由 定理 2知 ,在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。 ?例 ： 試確定如下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡狀態(tài)穩(wěn)定性。 ?解 顯然 ,原點 (0,0)是給定系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài) ,如果我們選擇正定函數(shù) 2221)( xxV ??x則 V(x)對時間的導(dǎo)數(shù) ????????2221221)1( xxxxxx??0)1(222)( 22222211 ?????? xxxxxxV ??? x是負半定函數(shù) ,故由 定理 2知 ,根據(jù)所選的函數(shù)分析不出該平衡狀態(tài)是否漸近穩(wěn)定。 ?
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