李亞普諾夫穩(wěn)定性分析(已修改)
2025-05-30 09:38 本頁面
【正文】 李雅普諾夫穩(wěn)定性 分析 概 述 ? 一個自動控制系統(tǒng)要能正常工作 ,必須首先是一個穩(wěn)定的系統(tǒng)。 ? 穩(wěn)定性的定義為： ? 當系統(tǒng)受到外界干擾后 ,顯然它的平衡被破壞 ,但在外擾去掉以后 ,它仍有能力自動地在平衡狀態(tài)下繼續(xù)工作。 ? 如果一個系統(tǒng)不具有上述特性，則稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。 ?分析一個控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 ,一直是控制理論中所關(guān)注的最重要問題。 ? 對于簡單系統(tǒng) ， 常利用經(jīng)典控制理論中線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù) ， 如勞斯 赫爾維茨 (RouthHurwitz)判據(jù) 、 根軌跡判據(jù)和奈奎斯特判據(jù)等 ， 都給出了既實用又方便的判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法 。 但這些穩(wěn)定性判別方法只適用于線性定常系統(tǒng) , 不能推廣到時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng) 。 ? 現(xiàn)代控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)比較復雜 ,大都存在非線性或時變因素 , 在解決這類復雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題時 ,最通常的方法是基于李雅普諾夫第二法而得到的一些穩(wěn)定性理論 ,即 李雅普諾夫穩(wěn)定性定理 。 ? 早在 1892年 ,俄國學者李雅普諾夫（ Aleksandr Mikhailovich Lyapunov ， 1857 – 1918) 發(fā)表題為“運動穩(wěn)定性一般問題”的著名文獻 ,建立了關(guān)于運動穩(wěn)定性研究的一般理論。 ? 百余年來 ,李雅普諾夫理論得到極大發(fā)展 ,在數(shù)學、力學、控制理論、機械工程等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。 ? 李雅普諾夫把分析一階常微分方程組穩(wěn)定性的所有方法歸納為兩類。 ? 第一類方法是將非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近線性化 ,然后通過討論線性化系統(tǒng)的特征值 (或極點 )分布及穩(wěn)定性來討論原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。 ? 這是一種較簡捷的方法 ,與經(jīng)典控制理論中判別穩(wěn)定性方法的思路是一致的。 ? 該方法稱為間接法 ,亦稱為李雅普諾夫第一法。 ? 第二類方法不是通過解方程或求系統(tǒng)特征值來判別穩(wěn)定性 ,而是通過定義一個叫做李雅普諾夫函數(shù)的標量函數(shù)來分析判別穩(wěn)定性。 ? 由于不用解方程就能直接判別系統(tǒng)穩(wěn)定性 ,所以第二種方法稱為直接法 ,亦稱為李雅普諾夫第二法。 ? 李雅普諾夫穩(wěn)定性理論不僅可用來分析線性定常系統(tǒng) ,而且也能用來研究 ? 時變系統(tǒng)、 ? 非線性系統(tǒng) ,甚至 ? 離散時間系統(tǒng)、 ? 離散事件動態(tài)系統(tǒng)、 ? 邏輯動力學系統(tǒng) 等復雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性 ,這正是其優(yōu)勢所在。 ?可是在相當長的一段時間里 ,李雅普諾夫第二法并沒有引起研究動態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性的人們的重視 ,這是因為當時討論系統(tǒng)輸入輸出間關(guān)系的經(jīng)典控制理論占有絕對地位。 ?隨著狀態(tài)空間分析法引入動態(tài)系統(tǒng)研究和現(xiàn)代控制理論的誕生 ,李雅普諾夫第二法又重新引起控制領(lǐng)域人們的注意 ,成為近 40年來研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的最主要方法 ,并得到了進一步研究和發(fā)展。 ?本章節(jié)將詳細介紹李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義 ,李雅普諾夫第一法和第二法的理論及應(yīng)用。 1 平衡狀態(tài) ? 設(shè)我們所研究的系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 其中 x為 n維狀態(tài)變量； f(x,t)為 n維的關(guān)于狀態(tài)變量向量 x和時間 t的線性或非非線性向量函數(shù)。 一、 李雅普諾夫穩(wěn)定性概念 ( , )x f x t?( , ) 0eex f x t?? 如果對于所有 t， 滿足 的狀態(tài) 稱為平衡狀態(tài) （ 平衡點 ） 。 ex0x? 平衡狀態(tài)的各分量不再隨時間變化；若已知狀態(tài)方程 ，令 所求得的解 x ,便是平衡狀態(tài) 。 ? 由于導數(shù)表示的狀態(tài)的運動變化方向 ,因此平衡狀態(tài)即指能夠保持平衡、維持現(xiàn)狀不運動的狀態(tài) ,如圖所示。 平衡態(tài) 平衡態(tài) 平衡態(tài) ?顯然，對于線性定常系統(tǒng) 的平衡狀態(tài) xe是滿足下述方程的解。 Axe=0 ?當矩陣 A為非奇異時，線性系統(tǒng)只有一個孤立的平衡狀態(tài)xe=0。 ?而當 A為奇異時，則存在無限多個平衡狀態(tài)，且這些平衡狀態(tài)不為孤立平衡狀態(tài)，而構(gòu)成狀態(tài)空間中的一個子空間。 ? 對于非線性系統(tǒng)，可以存在一個或多個平衡狀態(tài)，它們分別為對應(yīng)于式 f(x,t)?0的常值解。 x Ax??例如，對于非線性系統(tǒng) ????????3221211xxxxxx??其平衡狀態(tài)為下列代數(shù)方程組 ????????0032211xxxx的解，即下述狀態(tài)空間中的三個狀態(tài)為其平衡狀態(tài)。 ??????????????????????1010003,2,1, eee xxx 對于線性定常系統(tǒng) ， 通常只存在唯一的一個平衡狀態(tài) ， 因此對于系統(tǒng)而言只有一種穩(wěn)定性 ， 可以一般地說系統(tǒng)是否穩(wěn)定 。 對于非線性系統(tǒng) ， 由于系統(tǒng)中可以存在不同的平衡狀態(tài) ， 而不同的平衡狀態(tài)又可以有不同的穩(wěn)定性 ， 所以 ， 一般來說 ， 只能提某一平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性 ， 不能籠統(tǒng)地談系統(tǒng)的穩(wěn)定性 。 2 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性 ?在敘述李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義之前 ,我們先引入如下幾個數(shù)學名詞和符號： ? 范數(shù) ? 球域 然后介紹 ? 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性的定義 。 1) 范數(shù) ?范數(shù)在數(shù)學上定義為度量 n維空間中的點之間的距離。 ? 對 n維
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