【正文】 ）建立模型②： （ 1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū) 2021 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值； （ 2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說(shuō)明理由． 19.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為 的直線與交于，兩點(diǎn)， ． （ 1）求的方程； （ 2）求過(guò)點(diǎn)，且與的準(zhǔn)線相切的圓的方程． ，在三棱錐（ 1）證明：（ 2）若點(diǎn)在棱中，平面； 為 ，求 與平面 所成角的正弦值． ， ，為 的中點(diǎn)． 上，且二面角 （ 1）若． ，證明：當(dāng) 時(shí)， ； 4（ 2）若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求． （二）選考題：共 10分。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。 2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。 3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 ，滿足約束條件，則的最大值為 _____________．【答案】 6【解析】【分析】首先根據(jù)題中所給的約束條件，畫出相應(yīng)的可行域，再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式，之后在圖中畫出直線，在上下移動(dòng)的過(guò)程中，結(jié)合的幾何意義，可以發(fā)現(xiàn)直線過(guò) B 點(diǎn)時(shí)取得最 大值，聯(lián)立方程組，求得點(diǎn) B的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)解析式，求得最大值 .【詳解】根據(jù)題中所給的約束條件，畫出其對(duì)應(yīng)的可行域，如圖所示： 由，可得，畫出直線，將其上下移動(dòng)，結(jié)合的幾何意義，可知當(dāng)直線在 y 軸截距最大時(shí)， z 取得最大值，由，解得，此時(shí)，故答案為：該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，首先需要正確畫出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域，之后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的形式，判斷 z 的幾何意義，之后畫出一條直線，上下平移，判斷哪個(gè)點(diǎn)是最優(yōu)解，從而聯(lián)立方程組，求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入求值，要明確目標(biāo)函數(shù)的形式大體上有三 種：斜率型、截距型、距離型； 根據(jù)不同的形式，應(yīng)用相應(yīng)的方法求解 .，若，則 _____________．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)題中所給的，類比著寫出，兩式相減，整理得到，從而確定出數(shù)列為等比數(shù)列，再令，結(jié)合的關(guān)系，求得，之后應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式求得的值 .【詳解】根據(jù)，可得，兩式相減得，即，當(dāng)時(shí)，解得，所以數(shù)列是以 1 為首項(xiàng)，以 2 為公比的等比數(shù)列，所以，故答案是 .點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)數(shù)列的求和問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，需要先利用題中的條件，類比著往后寫一個(gè)式子，之后兩式 相減，得到相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系，從而確定出該數(shù)列是等比數(shù)列，之后令，求得數(shù)列的首項(xiàng)，最后應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式求解即可，只要明確對(duì)既有項(xiàng)又有和的式子的變形方向即可得結(jié)果 .，位男生中選人參加科技比賽，且至少有位女生入選，則不同的選法共有 _____________種．（用數(shù)字填寫答案）【答案】【解析】【分析】首先想到所選的人中沒(méi)有女生，有多少種選法，再者需要確定從人中任選人的選法種數(shù)，之后應(yīng)用減法運(yùn)算，求得結(jié)果 .【詳解】根據(jù)題意，沒(méi)有女生入選有種選法，從名學(xué)生中任意選人有種選法，故至少有位女生入選， 則不同的選法共有種，故答案是 .【點(diǎn)睛】該題是一道關(guān)于組合計(jì)數(shù)的題目，并且在涉及到“至多、至少”問(wèn)題時(shí)多采用間接法，一般方法是得出選人的選法種數(shù)，間接法就是利用總的減去沒(méi)有女生的選法種數(shù)，該題還可以用直接法，分別求出有名女生和有兩名女生分別有多少種選法，之后用加法運(yùn)算求解 .，則的最小值是 _____________．【答案】【解析】分析：首先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，化簡(jiǎn)求得，從而確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，減區(qū)間為，增區(qū)間為，確定出函數(shù)的最小值點(diǎn)，從而求得代入求得函數(shù)的最小值 .詳解：，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)減，當(dāng)時(shí)函 數(shù)單調(diào)增，從而得到函數(shù)的減區(qū)間為，函數(shù)的增區(qū)間為，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)，所以，故答案是 .點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，需要明確相關(guān)的函數(shù)的求導(dǎo)公式，需要明白導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，確定出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間，進(jìn)而求得函數(shù)的最小值點(diǎn)，從而求得相應(yīng)的三角函數(shù)值，代入求得函數(shù)的最小值 .三、解答題：共 70 分。第 17~21 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。 （一） 必考題： 60 分。（ ii）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？【 答案】（ 1）； （ 2）（ i）； （ ii）應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn) .【解析】【分析】（ 1）利用獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)成功次數(shù)對(duì)應(yīng)的概率，求得，之后對(duì)其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)，確定其單調(diào)性，從而得到其最大值點(diǎn)，這里要注意的條件； （ 2）先根據(jù)第一問(wèn)的條件，確定出，在解（ i）的時(shí)候 ,先求件數(shù)對(duì)應(yīng)的期望，之后應(yīng)用變量之間的關(guān)系，求得賠償費(fèi)用的期望； 在解（ ii）的時(shí)候，就通過(guò)比較兩個(gè)期望的大小，得到結(jié)果 .【詳解】（ 1）件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為 .因此 .令，得 .當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí) ， .所以的最大值點(diǎn)為； （ 2）由（ 1）知， .（ i）令表示余下的件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知，即 .所以 .（ ii）如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為 400元 .由于，故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn) .【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)隨機(jī)變量的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，一是需要明確獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)成功次數(shù)對(duì)應(yīng)的概率公式，再者就是對(duì)其用函數(shù)的思想來(lái)研究，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求得其最小值點(diǎn)，在做第二問(wèn)的時(shí)候，需要明確離散型隨機(jī)變量的可取值以及對(duì)應(yīng)的概率，應(yīng)用期望公式求得結(jié)果，再有就是通過(guò)期望的大小關(guān)系得到結(jié)論 . 數(shù)．（ 1）討論的單調(diào)性； （ 2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．【答案】（ 1）見解析； （ 2）見解析【解析】分析： (1)首先確定函數(shù)的定義域，之后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，之后對(duì)進(jìn)行分類討論，從而確定出導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)，從而求得函數(shù)對(duì)應(yīng)的單調(diào)區(qū)間； (2)根據(jù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論，可以確定，令，得到兩個(gè)極值點(diǎn)是方程的兩個(gè)不等的正實(shí)根，利用韋達(dá)定理將其轉(zhuǎn)換，構(gòu)造新函數(shù)證得結(jié)果 .詳解：（ 1）的定義域?yàn)椋?.（ i）若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，所以在單調(diào)遞減 .（ ii）若，令得，或 .當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)， .所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 .（ 2）由（ 1）知，存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng) .由于的兩個(gè)極值點(diǎn)滿足，所以，不妨設(shè)，則 .由于，所以等價(jià)于 .設(shè)函數(shù)，由（ 1）知，在單調(diào)遞減，又，從而當(dāng)時(shí)， .所以，即 .點(diǎn)睛：該題考查的是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及極值所滿足的條件，在解題的過(guò)程中，需要明確導(dǎo)數(shù)的符號(hào)對(duì)單調(diào)性的決定性作用，再者就是要先保證函數(shù)的生存權(quán)，先確定函數(shù)的定義域，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，還有就是在做題的時(shí)候，要時(shí)刻關(guān)注第一問(wèn)對(duì)第二問(wèn)的影響，再者 就是通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題的思路要明確 .（二）選考題：共 10 分。 ，曲線的方程為 .以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為 .（ 1）求的直角坐標(biāo)方程； （ 2）若與有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求的方程 .【答案】 (1).(2).【解析】分析： (1)就根據(jù)，以及，將方程中相關(guān)的量代換，求得直角坐標(biāo)方程； (2)結(jié)合方程的形式，可以斷定曲線是圓心為，半徑為的圓，是過(guò)點(diǎn)且關(guān)于軸對(duì)稱的兩條射 線，通過(guò)分析圖形的特征，得到什么情況下會(huì)出現(xiàn)三個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，得到 k 所滿足的關(guān)系式，從而求得結(jié)果 .詳解：（ 1）由，得的直角坐標(biāo)方程為．（ 2）由（ 1）知是圓心為，半徑為的圓．由題設(shè)知，是過(guò)點(diǎn)且關(guān)于軸對(duì)稱的兩條射線．記軸右邊的射線為，軸左邊的射線為．由于在圓的外面，故與有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于與只有一個(gè)公共點(diǎn)且與有兩個(gè)公共點(diǎn)，或與只有一個(gè)公共點(diǎn)且與有兩個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)與只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，到所在直線的距離為，所以，故或．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，與沒(méi)有公共點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，與只有一個(gè)公共點(diǎn)，與有兩個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng) 與只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，到所在直線的距離為，所以，故或．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，與沒(méi)有公共點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，與沒(méi)有公共點(diǎn)．綜上，所求的方程為．點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)坐標(biāo)系與參數(shù)方程的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有曲線的極坐標(biāo)方程向平面直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化以及有關(guān)曲線相交交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要明確極坐標(biāo)和平面直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，以及曲線相交交點(diǎn)個(gè)數(shù)結(jié)合圖形，將其轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系所對(duì)應(yīng)的需要滿足的條件，從而求得結(jié)果 . .（ 1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集； （ 2）若時(shí)不等式成立，求的取值范圍 .【答案 】（ 1）； （ 2）【解析】分析： (1)將代入函數(shù)解析式，求得，利用零點(diǎn)分段將解析式化為，然后利用分段函數(shù)，分情況討論求得不等式的解集為； (2)根據(jù)題中所給的，其中一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)可以去掉，不等式可以化為時(shí)，分情況討論即可求得結(jié)果 .詳解：（ 1）當(dāng)時(shí)，即故不等式的解集為．（ 2）當(dāng)時(shí)成立等價(jià)于當(dāng)時(shí)成立．若，則當(dāng)時(shí)； 若，的解集為，所以，故．綜上，的取值范圍為．點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)絕對(duì)值不等式的解法，以及含參的絕對(duì)值的式子在某個(gè)區(qū)間上恒成立求參數(shù)的取值范圍的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要會(huì)用零點(diǎn)分段法將其化為分段函數(shù)，從而將不等式轉(zhuǎn)化為多個(gè)不等式組來(lái)解決，關(guān)于第二問(wèn)求參數(shù)的取值范圍時(shí)，可以應(yīng)用題中所給的自變量的范圍，去掉一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，之后進(jìn)行分類討論，求得結(jié)果 .