【正文】 tHF ?si ntHdtdxckxdt xdm ?s i n22????thxdtdxndt xd n ?? s i n2 222???mHhmmkn ??? ,2,2?:令 這一微分方程的全解等于 齊次方程的全解與非齊次方 程的特解之和。 引入： 振幅比阻尼比頻率比0??????bb??????nnn22222012t an4)1(1??????????????bb曲線族－幅頻特性曲線?? －? ? 曲線族－相頻特性曲線曲線族－幅頻特性曲線????－－曲線族－相頻特性曲線曲線族－幅頻特性曲線????－－曲線族－相頻特性曲線??－? ? ? ? ? ? 幅頻特性與相頻特性 ? ＝ 0的附近區(qū)域 (低頻區(qū)或彈性控制區(qū) )， ? → 1， ?＝ 0， 響應與激勵同相；對于不同的 ? 值，曲線密集，阻尼影響不 大。 ? ? ? ? 幅頻特性與相頻特性 在低頻區(qū)和高頻區(qū)，當 ? 1時，由于阻尼影響不大，為 了簡化計算，可將有阻尼系統(tǒng)簡化為無阻尼系統(tǒng)。通常將 ?＝ 1， 即 ? ＝ ?n 稱為共振頻率。 在相頻特性曲線圖上，無論阻尼大小， ?＝ 1時，總有， ? ＝ ?/2 ,這也是共振的重要現(xiàn)象。 測振儀外 殼安置在被測振動的物體 上。當被測振動的物體的 運動規(guī)律為 xe=asin?t 時， 試分析儀器 內(nèi)置質(zhì)量塊相 對于外殼 (被測振動的物體 ) 的振動。 以質(zhì)量塊相對于儀器外 殼 (被測振動的物體 )的位 移 xe 作為廣義坐標。 應用達朗貝爾原理，在 質(zhì)量塊上附加慣性力 Fe ， 建立系統(tǒng)的運動微分方程。 k c m Fe xr O xe O1 errr Fkxxcxm ??? ???tamkxxcxm ?? si n2rrr ??? ???其穩(wěn)態(tài)響應為 ? ??? －tBx s i nr ?? ? ? ? 2222212a r c t an,21 ????????????? aB 解： 穩(wěn)態(tài)響應的幅頻特性與相頻特性曲線 幅頻特性曲線的特點： 在 高頻區(qū)，當 ? 1時， B /a → 1 。 被測頻率愈高，測量精 度也高；被測頻率低，測 量精度便低。 例 題 9 工作臺 c k m xe 已知 ： m 、 k 、 c, xe=asin?t 試分析： 儀器的穩(wěn)態(tài)響應。 儀器的運動方程為 ? ? ? ? 0ee ????? xxkxxcxm ????tactkakxxcxm ??? c o ssi n ???? ???O x tactkakxxcxm ??? c o ssi n ???? ??? 激勵由兩部分組成：一部分是彈簧的運動激勵，其幅值與激勵頻率無關；另一部分是阻尼的運動激勵，其幅值與繳勵頻率成正比，且相位比彈簧激勵超前 ?/2。為取得隔 振效果，即儀器振幅 B小于振源振幅 a，應當如何設 計隔振層的剛度 k？對于隔振效果，阻尼大一點好還 是小一點好？ 關于本例的討論 ? 單自由度線性系統(tǒng) 的受迫振動 ? 受迫振動中的能量關系 慣性力、阻尼力、彈性恢復力和激勵力在一個周期內(nèi) 怎樣作功？又有怎樣的能量關系呢？ 無阻尼自由振動 系統(tǒng)機械能守恒，既無能量的損耗又無外界能量的輸 入，一個周期內(nèi)僅有系統(tǒng)動能和勢能的轉(zhuǎn)換。 受迫振動 ? 單自由度線性系統(tǒng) 的受迫振動 ? 受迫振動中的能量關系 根據(jù)力在 dt時間內(nèi)所作之元功 dW=Fvdt 當力和速度同相位時，每一時刻都作正功；而當力和速度 反相位時，每一時刻都作負功。 慣性力和彈性恢復力的相位都與速度相位相差 ?/2 ，因 此，慣性力與彈性恢復力在一個周期內(nèi)所作之功都作功等 于零。 對于微分方程簡諧激勵力 ? ?? ? ? ??????????????????tFtFtFtFs i nco sco ss i ns i ns i n0000 第二部分的相位與位移的相位相同，一個周期內(nèi)作功為 零。這樣，激勵力在一個周期內(nèi)所作之功為 ? ? ????? s i nπdco ss i n 000 BFtxtBF T ??? ? ?? ? txtFW T dco ss i n0 0F ???? ?? ? 這表明，穩(wěn)態(tài)受迫振動一個周期內(nèi)激勵力所作之功等于阻 尼力耗散的能量。 根據(jù)穩(wěn)態(tài)響應幅值的表達式有 BcF ?? ?si n0c20F πs i nπ WBcBFW ??? ??? 單自由度線性系統(tǒng) 的受迫振動 ? 受迫振動中的能量關系 因為在一個周期內(nèi)激勵力所作 之功與振幅成正比，而阻尼耗散 的能量與振幅平方成正比，當振 動幅值還未達到穩(wěn)定值 B0時，激 勵力所作之功大于阻尼耗散的能 量，振幅將增加。 ? 單自由度線性系統(tǒng) 的受迫振動 ? 受迫振動中的能量關系 若由于某種干擾使振幅大于 B0 時，阻尼耗散的能量大于激勵 力 所作之功，振幅又會衰減，直至 在 B0處又維持穩(wěn)定的振幅。 ? 關于振動概念 ? 工程力學將振動的概念從物理學中的單個質(zhì)點擴展到 系統(tǒng)。 ? 系統(tǒng)要產(chǎn)生振動必須有內(nèi)因和外因：內(nèi)因是系統(tǒng)本身 既要有彈性又要有慣性，二者缺一不可。外因是系統(tǒng)要受到激勵。主要過程與求解動力學其它問題相 似，但振動問題還要注意廣義坐標原點的選擇，通常以靜 平衡位置作為廣義坐標原點。 OO LJ ????JO－ 系統(tǒng)繞固定軸 O的轉(zhuǎn)動慣量的代數(shù)和 ； LO－ 所有外力對固定軸 O之矩的代數(shù)和 。 ? 建立振動系統(tǒng)運動微分方程所用的動力學原理 ? 結論與討論 ? 關于運動微分方程 ? 機械能守恒－ 對于沒有能量損耗的保守系統(tǒng) 2eq2eq 2121 qkVqmT ?? ,?EVT ??0eqeq ?? qqkqqm ????? 建立振動系統(tǒng)運動微分方程所用的動力學原理 ? 結論與討論 ? 有阻尼系統(tǒng)僅在弱阻尼時才有振動形態(tài)，阻尼使自由 振動頻率略有降低使振幅按指數(shù)衰減，振動過程中有能 量耗散。 ? 無阻尼系統(tǒng)的自由振動是簡諧振動，其頻率就是固有 頻率；振幅和初相位取決于初始條件；振動過程中沒有 能量的補充或耗散。振動頻率 為激勵頻率 ? 。 ? 簡諧激勵的響應包括三部分： ? 激勵引起的自由振動，頻率也為 ?d ，振幅與激勵有關。對有阻尼系統(tǒng)，它們的振幅隨時間衰減。 ? 初始條件引起的自由振動，頻率為 ?d，振幅與激勵無關。這些現(xiàn)象都可以由穩(wěn)態(tài)受迫振 動中的能量關系加以解釋。但在特定條件下可以是 簡諧振動，此時系統(tǒng)各質(zhì)點同步到達最大 偏離位置或同步到達