機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)培訓(xùn)講義(已修改)
2024-09-15 21:46 本頁面
【正文】 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) ※ 引 言 ※ 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) ※ 計(jì)算固有頻率的能量法 ※ 單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng) ※ 單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動(dòng) ※ 單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動(dòng) ※ 結(jié)論與討論 引 言 振動(dòng) 是一種運(yùn)動(dòng)形態(tài)，是指物體在平衡位置附近作 往復(fù)運(yùn)動(dòng) 。 物理學(xué)知識(shí)的深化和擴(kuò)展 －物理學(xué)中研究質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)；工程力學(xué)研究研究系統(tǒng)的振動(dòng)，以及工程構(gòu)件和工程結(jié)構(gòu)的振動(dòng)。 振動(dòng)屬于動(dòng)力學(xué)第二類問題 －已知主動(dòng)力求運(yùn)動(dòng)。 振動(dòng)問題的研究方法 －與分析其他動(dòng) 力學(xué)問題相類似： ? 選擇合適的廣義坐標(biāo)； ? 分析運(yùn)動(dòng)； ? 分析受力； ? 選擇合適的動(dòng)力學(xué)定理； ? 建立運(yùn)動(dòng)微分方程； ? 求解運(yùn)動(dòng)微分方程，利用初始條件確定 積分常數(shù)。 振動(dòng)問題的研究方法 －與分析其他動(dòng)力學(xué)問題不同的是：一般情形下， 都選擇平衡位置作為廣義坐標(biāo)的原點(diǎn)。 研究振動(dòng)問題所用的動(dòng)力學(xué)定理： ? 矢量動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)中的 － 動(dòng)量定理； 動(dòng)量矩定理； 動(dòng)能定理； 達(dá)朗貝爾原理。 ? 分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)中的 － 拉格朗日方程。 按激勵(lì)特性劃分： 振動(dòng)問題的分類 ? 自由振動(dòng) － 沒有外部激勵(lì)，或者外部激勵(lì)除去后， 系統(tǒng)自身的振動(dòng)。 ? 參激振動(dòng) － 激勵(lì)源為系統(tǒng)本身含隨時(shí)間變化的參數(shù) ，這種激勵(lì)所引起的振動(dòng)。 ? 自激振動(dòng) － 系統(tǒng)由系統(tǒng)本身運(yùn)動(dòng)所誘發(fā)和控制的激 勵(lì)下發(fā)生的振動(dòng)。 ? 受迫振動(dòng) － 系統(tǒng)在作為時(shí)間函數(shù)的外部激勵(lì)下發(fā)生 的振動(dòng)，這種外部激勵(lì)不受系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響。 按系統(tǒng)特性或運(yùn)動(dòng)微分方程類型劃分： ? 線性振動(dòng) － 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為線性方程的振動(dòng)。 )s i n (0eqeq tFkm ??? ＝???0?? kyym ?? ? 非 線性振動(dòng) － 系統(tǒng)的剛度呈非線性特性時(shí)，將得到非線性運(yùn)動(dòng)微分方程，這種系統(tǒng)的振動(dòng)稱為非線性振動(dòng)。 按系統(tǒng)的自由度劃分： ? 單自由度 振動(dòng) － 一個(gè)自由度系統(tǒng)的振動(dòng)。 ? 多自由度 振動(dòng) － 兩個(gè)或兩個(gè)以上自由度系統(tǒng)的振動(dòng)。 ? 連續(xù)系統(tǒng) 振動(dòng) － 連續(xù)彈性體的振動(dòng)。這種系統(tǒng)具有無窮多個(gè)自由度。 167。 191 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) l0 m k k x O x l0 ?st F W l0—— 彈簧原長； k—— 彈簧剛性系數(shù)； ?st—— 彈簧的靜變形； kWkW stst /??? ??取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)， x 向下為正，則有： kxxkWFWdtxdmst??????? )(22?0?? kxxm ??0?? kxxm ??022 ???? xxmk nn ?? ??積分常數(shù)??? 2121 ,si nc o s CCtCtCx nn ??212221 /t a n, CCCCA ??? ?:令)si n ( ?? ?? tAx n A—— 振幅； ?n—— 固有頻率； （ ?n + ?） —— 相位； ? —— 初相位。 fTTnn?????2122???周期 單自由度線性系統(tǒng)無阻尼自由振動(dòng)微分方程 0eqeq ＝qkqm ???物理學(xué)基礎(chǔ)的擴(kuò)展 這一方程，可以擴(kuò)展為廣義坐標(biāo)的形式 0＝kxxm ???加的力或力矩。需要在這一坐標(biāo)方向施移，義坐標(biāo)方向產(chǎn)生單位位等效剛度：使系統(tǒng)在廣－eqk向施加的力或力矩。度，需要在這一坐標(biāo)方速義坐標(biāo)方向產(chǎn)生單位加等效質(zhì)量：使系統(tǒng)在廣－eqm0eqeq ＝qkqm ??? 02 ＝qq n????tCtCq nn ?? c o sc o s 21 ?＝ ? ??? ?tAq nsi n＝初始速度。初始廣義坐標(biāo)；振動(dòng)的初位相；振動(dòng)的振幅；系統(tǒng)的固有頻率；－－－－＝0000n2020eqeqa r c t a n qqqqqqAmknn???????????????????例 題 1 m v 提升重物系統(tǒng)中，鋼絲繩的橫截 面積 A＝ 10－ 4m2，材料的彈性 模量 E＝ 200GPa。 重物的質(zhì)量 m＝ 6 000kg， 以勻速 v ＝ 。 當(dāng)重物下降到 l ＝ 25m 時(shí)，鋼絲繩 上端突然被卡住。 l 求 ：（ 1） 重物的振動(dòng)規(guī)律 ； （ 2）鋼絲繩承受的最大張力。 解 ：鋼絲繩－重物系統(tǒng)可以簡化為彈簧－物塊系統(tǒng) ,彈簧的剛度為 N / m103 1 22 6??? .lEAkm k 靜平衡位置 O x 設(shè)鋼絲繩被卡住的瞬時(shí) t＝ 0， 這時(shí)重物的位置為初始平衡位置 ；以重物在鉛垂方向的位移 x作為 廣義坐標(biāo)，則系統(tǒng)的振動(dòng)方程為 0?? kxxm ??方程的解為 1n )s i n (?????mktAxn???利用初始條件 vvxx ??? (0 )(0 ),0)0( ?求得 m0 1 2 0???nvA??tx s i n 1 9 . 6 ?m k 靜平衡位置 O x m x W FT （ 2）鋼絲繩承受的最大張力。 取重物為研究對(duì)象 tmAWFtmAxmFWnnTnnT????s i ns i n22?????? ??)( 22m a x????? nnT AgmmAWF ??tx s i n 1 9 . 6 ?l 固定端 均質(zhì)等截面懸臂梁，長度為 l, 彎曲剛度為 EI。 梁的自由端放置 一質(zhì)量為 m的物塊。若不計(jì)梁的 質(zhì)量。試寫出梁－物塊系統(tǒng)的運(yùn) 動(dòng)微分方程。 例 題 2 m EI l 固定端 yst O y EIm g lEIWly3333st ?? 考察梁和物塊所組成的 系統(tǒng)。以物塊鉛垂方向的 位移作為廣義坐標(biāo) q=y,坐 標(biāo)原點(diǎn) O設(shè)在梁變形后的 平衡位置，這一位置與變 形前的位置之間的距離， 即為物塊靜載作用下的撓 度，亦即靜撓度，用 yst表 示。 分析物塊運(yùn)動(dòng)到任意位置 (坐標(biāo)為 y)時(shí) ，物塊的受力：應(yīng)用牛頓第二定律 W=mg F Fmgym ???? 分析物塊運(yùn)動(dòng)到任意位置 (坐標(biāo)為 y)時(shí) ，梁的自由端位移與力之間的關(guān)系 EI l 固定端 F39。 EIFlEIlFyy3333st ????? ?等效剛度－klEIkyykF3st3???y yst m EI l 固定端 O
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