第七章機(jī)械振動(dòng)(已修改)
2025-10-09 15:02 本頁(yè)面
【正文】 1 第七章 機(jī)械振動(dòng) 、受迫振動(dòng)與共振 目 錄 2 ㈠ 簡(jiǎn)諧振動(dòng) 機(jī)械振動(dòng)： 物體在一定位置附近作周期性往復(fù)運(yùn)動(dòng) . 振動(dòng)： 描述物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量在某一數(shù)值附近往復(fù)變化 . 特征 ：⑴ 重復(fù)性、周期性； ⑵ 任意周期運(yùn)動(dòng)的分解－周期函數(shù)的傅里葉分析 簡(jiǎn)諧振動(dòng)被證明為各式周期運(yùn)動(dòng)的基元成分 .在數(shù)學(xué) 上 ,一個(gè)周期為 T的函數(shù) 可以被展開(kāi)為一系列不同頻 率的簡(jiǎn)諧函數(shù)的疊加－傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)： ? ? ? ? ????? ? ,2,12co s0 ntfcxxnnnnt ????tx其中 而 被稱(chēng)為基頻，其他頻率皆為 基頻的整數(shù)倍 . Tfnff n /111 ?? ，3 理想模型 —— 輕彈簧、振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)；小球的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化為彈 性力作用下的直線運(yùn)動(dòng) . kxF ??由牛頓定律，有 kxdt xdm ??22彈簧振子的運(yùn)動(dòng) 一 .簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式 恢復(fù)力的兩個(gè)特點(diǎn) F的指向總是與位移 X的方向反向，總是指向平衡位置。 F的大小正比于位移 x的大小。 4 方程的解為： )c o s ( ?? ?? tAx— 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程 速度表達(dá)式： )2c o s ()s i n (??????????????tAtAdtdxv加速度表達(dá)式： )cos()cos(2222??????????????tAtAdtxda2??mk令 0222?? xdtxd ?5 二 . 描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征參量 振幅 A：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體離開(kāi)平衡位置的最大位移的絕對(duì)值 周期 T：完成一次全振動(dòng)所需時(shí)間 ??2?Tmk??kmT ?2?頻率 ： ?mkT ??211 ??角頻率 ： ?T???? 22 ?? 無(wú)論什么初始條件，一旦系統(tǒng)振動(dòng)起來(lái)，就有確定的角頻率， 它是彈性系統(tǒng)特征的集中體現(xiàn)，故稱(chēng) 為 本征頻率 . ?6 2020 )( ?vxA ??00xvtg?? ??相位：決定簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量 ）（ ?? ?t初相：決定初始時(shí)刻物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量 ?00 ,0 vvxxt ????c o s0 Ax ? ?? si n0 Av ??設(shè) ? 由初始條件決定振幅和初相位 相位比時(shí)間更直接更清晰地反映振子運(yùn)動(dòng)的狀態(tài) . 7 解： mvxA 222020 ??????142 ?????? ST代入簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式，則有 )344c o s( 2 ?? ??? ? tx例題 ,周期為 s。當(dāng) t=0時(shí)， 1020 , ?? ???? msvmx求 : 運(yùn)動(dòng)方程 300 ???xvtg?? ?? 34?8 三、常見(jiàn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng) （ 1）豎直懸掛的彈簧振子 選平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn) 平衡時(shí) klmg ?位移 X時(shí) kxxlkmgF ????? )(故物體仍做簡(jiǎn)諧振動(dòng) x l09 （ 2）單擺 重力形成的力矩，在角度很小時(shí)有 ?? m g lm g l ??? s i n根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律 )( 222mlJJm g ldtd ??? ??022?? ?? lgdtd表明：?jiǎn)螖[的運(yùn)動(dòng)也是諧振動(dòng)，故 glTlg ?? 2, ??? lmgo10 （ 3）復(fù)擺。一可繞水平固定軸擺動(dòng)的剛體。 類(lèi)似
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