高考理科數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)資料-閱讀頁
2024-09-09 14:47本頁面
【正文】 m＞ 1時，方程 f(x)=0在區(qū)間 ? ［ emm， e2mm］內(nèi)有兩個不等實根 . ? 證明： 當 m＞ 1時， f(1m)=1m＜ 0， ? f(emm)=emmln(emm+m)=em＞ 0， ? f(e2mm)=e2mmlne2m=e2m3m. 55 ? 令 g(m)=e2m3m(m＞ 1)， ? 則 g′(m)=2e2m3＞ 0. ? 所以 g(m)在 (1， +∞)上為增函數(shù)， ? 從而 g(m)＞ g(1)=e23＞ 0，即 f(e2mm)＞ 0. ? 所以 f(emm)f(1m)＜ 0， f(e2mm)f(1m)＜ 0. ? 因為 f(x)為連續(xù)函數(shù)，所以存在 ? x1∈ (emm， 1m)， x2∈ (1m， e2mm)， ? 使 f(x1)=0， f(x2)=0. ? 故方程 f(x)=0在區(qū)間［ emm， e2mm］ ? 內(nèi)有兩個不等實根 . 56 ? 點評： 方程根的問題 ， 一是可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題 ， 通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象的性質(zhì) ， 再結(jié)合圖象的性質(zhì)觀察交點情況 ， 由圖象直觀地得出相應(yīng)的結(jié)論；二是利用性質(zhì) f(a)f(b)＜ 0(ab， 且f(x)在區(qū)間 (a， b)上是連續(xù)函數(shù) )， 則方程 f(x)=0在 (a， b)上至少有一個根 . 57 ? 已知函數(shù) f(x)=lnx， g(x)= x的方程 ? g(x2)f(1+x2)=k有四個不同的實根， ? 求實數(shù) k的取值范圍 . ? 解： 令 ? 則 ? 由 φ′(x)＞ 0，得 x(x+1)(x1)＞ 0， ? 所以 1＜ x＜ 0或 x＞ 1. ? 由 φ′(x)＜ 0，得 x＜ 1或 0＜ x＜ 1. 12? ? ? ? ? ?2 2 2 211 1 ln( 1 )22x g x f x x x? ? ? ? ? ? ? ，? ? ? ? ? ?32 2 2112 .1 1 1x x xx x x xx x x x? ????? ? ? ?? ? ?58 ? 所以 φ(x)在 (∞， 1)， (0， 1)上是減函數(shù)， ? 在 (1， 0)， (1， +∞)上是增函數(shù) .從而 φ(0)=0為φ(x)的極大值， φ(1)=φ(1)= ln2為 φ(x)的極小值且 φ(x)為偶函數(shù) . ? 由此可得函數(shù) y=φ(x) ? 的草圖如右 . ? 若方程 φ(x)=k ? 有四個不同的實根，則直線 y=k與曲線 y=φ(x)有四個不同的公共點 .由圖知，實數(shù) k的取值范圍是 ( ln2， 0). 121259 ? 3. 某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為 3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交 a元(3≤a≤5)的管理費，預(yù)計當每件產(chǎn)品的售價為 x元 (9≤x≤11)時，一年的銷售量為 (12x)2萬件 . ? (1)求分公司一年的利潤 L(x)(萬元 )與每件產(chǎn)品的售價 x(元 )的函數(shù)關(guān)系式； ? (2)當每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤 L(x)最大，并求出 L(x)的最大值 Q(a). 題型 8 利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題 60 ? 解： (1)分公司一年的利潤 L(x)(萬元 )與售價x(元 )的函數(shù)關(guān)系式為 L(x)=(x3a)(12x)2, ? x∈ ［ 9,11］ . ? (2)L′(x)=(12x)22(x3a)(12x) ? =(12x)(18+2a3x). ? 令 L′(x)=0,得 x=6+ a或 x=12 ? (不合題意，舍去 ). ? 因為 3≤a≤5,所以 8≤6+ a≤ . ? 在 x=6+ a兩側(cè) L′(x)的值由正變負， ? 所以，①當 8≤6+ a＜ 9，即 3≤a＜ 時， 232323232839261 ? ［ L(x)］ max=L(9)=(93a)(129)2=9(6a)； ? ②當 9≤6+ a≤ ，即 ≤a≤5時， ? ［ L(x)］ max=L(6+ a) ? =(6+ a3a)［ 12(6+ a)］ 2=4(3 a)3. ? 9(6a) (3≤a ) ? 4(3 a)3 ( ≤a≤5). 所以 Q(a)= 232839223 23231313929262 ? 答： 若 3≤a＜ ，則當每件售價為 9元時，分公司一年的利潤 L(x)最大，最大值Q(a)=9(6a)萬元； ? 若 ≤a≤5，則當每件售價為 (6+ a)元時，分公司一年的利潤 L(x)最大，最大值Q(a)=4(3 a)3萬元 . ? 點評： 涉及實際問題的最值問題，一般是利用函數(shù)知識來解決，即先建立函數(shù)關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后利用求函數(shù)最值的方法求得最值 .注意求得的解要符合實際意義 . 2313929263 統(tǒng)計表明 ， 某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量 y ( 升 ) 關(guān)于行駛速度 x ( 千米 / 小時 ) 的函數(shù)解析式可以表示為 ： y ＝1128000x3－380x ＋ 8 ( 0 x ≤ 120 ) ． 已知甲 、 乙兩地相距 100 千米 ． ( 1 ) 當汽車以 40 千米 / 小時的速度勻速行駛時 ， 從甲地到乙地要耗油多少升 ？ ( 2 ) 當汽車以多大的速度勻速行駛時 ， 從甲地到乙地耗油最少 ？ 最少為多少升 ？ 64 解： ( 1 ) 當 x ＝ 40 時，汽車從甲地到乙地行駛了10040＝ 2. 5小時， 要耗油 (1128000 403－380 40 ＋ 8 ) ＝ 升 ． 故當汽車以 40 千米 / 小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油為 升 ． 65 ( 2 ) 當速度為 x 千米 / 小時時，汽車從甲地到乙地行駛了100x小時，設(shè)耗油量為 h ( x ) 升， 依題意得： h ( x ) ＝ (1128000x3－380x ＋ 8 ) 72 ? 其次確定函數(shù)的定義區(qū)間 ， 用數(shù)學(xué)知識求得最大 、 最小值；最后所得結(jié)果要符合問題的實際意義 ， 即進行檢驗 .如在區(qū)間內(nèi)函數(shù)只有一個點使 f ′(x)=0， 且在這點上函數(shù)有極大或極小值 ， 那么解實際問題時 ， 可以不與端點值進行比較 ， 而直接可以得出這就是最大或最小值 .
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