【正文】 /()?( 11 xxL??? ? 與 22 /?)2( ???n 相互獨立 . 故取檢驗統(tǒng)計量 )2(~??1 ?? ntLT xx?? , 由給定的顯著性水平 ? ，查表得 )2(2 ?nt? ，根據(jù)試驗數(shù)據(jù) ),(,),(),( 2211 nn yxyxyx ?計算 T 的值 t , 當 )2(|| 2 ?? ntt ? 時，拒絕 0H ,這時回歸效應顯著 。 當)(|| nrr ?? 時 , 接受 0H , 表明回歸效果不顯著 . 六、預測問題 在回歸問題中，若回歸方程經(jīng)檢驗效果顯著 , 這時回歸值與實際值就擬合較好 , 因而可以利用它對因變量 Y 的新觀察值 0y 進行點預測或區(qū)間預測 . 對于給定的 0x ,由回歸方程可得到回歸值 0100 ??? xy ?? ?? 稱 0?y 為 y 在 0x 的預測值 . y 的測試值 0y 與預測值 0?y 之差稱為預測誤差 . 在實際問題中 , 預測的真正意義就是在一定的顯著性水平 ? 下 , 尋找一個正數(shù) )(0x? ,使得實際觀察值 0y 以 ??1 的概率落入?yún)^(qū)間 ))(?),(?( 0000 xyxy ?? ?? 內(nèi) , 即 ? ? ?? ???? 1)(|?| 000 xyYP , 由定理 1 知 , ???????? ???????? ???? 22000 )(11,0~? ?xxL xxnNyY, 又因 00 ?yY? 與 2?? 相互獨立 , 且 ),2(~?)2( 22 2 ?? nn ?? ? 所以 , )2(~)(11?)?( 2020 ????????? ????? ntL xxnyYTxx?, 故對給定的顯著性水平 ? ，求得xxa Lxxnntx 202/0 )(11?)1()( ????? ?? 故得 0y 的置信度為 ??1 的預測區(qū)間為 ))(?),(?( 0000 xyxy ?? ?? . 易見， 0y 的預測區(qū)間長度為 ),(2 0x? 對給定 ? , 0x 越靠近樣本均值 )(, 0xx? 越小 ,預測區(qū)間長度小 ,效果越好。 對給出的 39。1 yy? 和置信度 ??1 , 令 ??????????????????? ???)( ???)(2/1039。1 uxxy uxxy (1) 解得 ???????????12/039。212/039。1 ?/)??()(?/)??()(????????uyxxuyxx (2) 當 0?1?? 時 , 控制范圍為 )。239。,( 39。2 xx 如圖 833. 實際應用中 , 由 (1)式 知 , 要實現(xiàn)控制 , 必須要求區(qū)間 ),( 39。1 yy 的長度大于 ?? ?2 2/u , 否則控制區(qū)間不存在 . 特別 , 當 ?? 時 , ??? uu? , 故 (2)近似為 ???????????1039。21039。1 ?/)?2?()(?/)?2?()(??????yxxyxx 八、可化為一元線性回歸的情形 前面討論了一元線性回歸問題 , 但在實際應用中 , 有時會遇到更復雜的回歸問題 , 但其中有些情形 , 可通過適當?shù)淖兞刻鎿Q化為一元線性回歸問題來處理 . 1. xY 10 ?? ??+ ),0(~, 2??? N （ 1） 其中 2, ??? 是與 x 無關(guān)的未知參數(shù) . 令 ,1xx??則可化為下列一元線性回歸模型 : ),0(~,39。 210 ????? NxY ??? 2. ?? ? ?? xeY , ),0(~ln 2?? N (2) 其中 2, ??? 是與 x 無關(guān)的未知參數(shù) . 在 ?? ? ?? xeY 兩邊取對數(shù)得 ??? lnlnln ??? xY 令 ,ln39。 xx? ,ln~39。,39。39。,ln39。 ???? ????? xxbaYY 則 (2)可轉(zhuǎn)化為下列一元線性回歸模型： ),0(~39。39。 2??? NbxaY ??? 4. ),0(~,)( 2????? NxhY ??? (4) 其中 2, ??? 是與 x 無關(guān)的未知參數(shù) . )(xh 是 x 的已知函數(shù) ,令 ),(39。 xhxbaYY ???? ?? 則 (3)可轉(zhuǎn)化為 ).,0(~,39。 2??? NbxaY ??? 注 : 其它，如雙曲線xxY ????和 S 型曲線xeY ??? ?? 1函數(shù)等亦可通過適當?shù)淖兞刻鎿Q轉(zhuǎn)化為一元線性模型來處理 . 若在原模型下 , 對于 ),( Yx 有樣本 ),(,),(),( 2211 nn yxyxyx ? 就相當于在新模型下有樣本 )39。(,),39。(),39。( 2211 nn yxyxyx ? 因而就能利用一元線性回歸的方法進行估計、檢驗和預測，在得到 39。x 的回歸方程后 ,再將原變量代回，就得到 Y 關(guān)于 x 的回歸方程 ,它的圖形是一條曲線，也稱為曲線回歸方程。 (2) 檢驗線性關(guān)系的顯著性 ( ?? , 采用 ?F 檢驗法 ). 回歸方程的檢驗假設 例 4 (講義例 4) 對本章第一節(jié)中例 2 的線性回歸作顯著檢驗 ( ).?? 預測問題 例 5 (講義例 5) 某建材實驗室做陶?；?凝土實驗室中 , 考察每 3m 混凝土的水泥用量 (kg)對混凝土抗壓強度 (kg/ 2cm )的影響 , 測得下列數(shù)據(jù) . 260250240230220210202090180170160150yxyx抗壓強度水泥用量抗壓強度水泥用量 (1) 求經(jīng)驗回歸方程 xy 10 ??? ?? ?? 。 (3) 設 ,2250 kgx ? 求 y 的預測值及 置信度為 的預測區(qū)間 . 可化為一元線性回歸的情形 例 6 (講義例 6) 電容器充電達某電壓值時為時間的計算原點 , 此后電容器串聯(lián)一電阻放電 , 測定各時刻的電壓 u, 測量結(jié)果如下 : 551010152030405575100)( 109876543210)( Vu st電壓時間 若 u 與 t 的關(guān)系為 ,0 cteuu ?? 其中 cu,0 未知 , 求 u 對 t 的回歸方程 . 課堂練習 1. 考察溫度對產(chǎn)量的影響 ,測得下列 10 組數(shù)據(jù) : )( 65605550454035302520)( kgy Cx產(chǎn)量溫度? (1) 求經(jīng)驗回歸方程 xy 10 ??? ?? ?? 。 (3) 求 Cx ?42? 時產(chǎn)量 y 的預測值及置信度為 的預測區(qū)間 . 第四節(jié) 多元線性回歸 在許多實際問題中， 常常會遇到要研究一個隨機變量與多個變量之間的相關(guān)關(guān)系，例如，某種產(chǎn)品的銷售額不僅受到投入的廣告費用的影響，通常還與產(chǎn)品的價格、消費者的收入狀況、社會保有量以及其它可替代產(chǎn)品的價格等諸多因素有關(guān)系 . 研究這種一個隨機變量同其他多個變量之間的關(guān)系的主要方法是運用多元回歸分析 . 多元線性回歸分析是一元線性回歸分析的自然推廣形式，兩者在參數(shù)估計、顯著性檢驗等方面非常相似 . 本節(jié)只簡單介紹多元線性回歸的數(shù)學模型及其最小二乘估計 . 內(nèi)容分布圖示 ★ 引言 ★ 多元線性回歸模型 ★ 最小二乘估計 ★ 例 1 ★ 例 2 ★ 習題 84 ★ 返回 內(nèi)容要點： 一、多 元線性回歸模型 設影響因變量 Y 的自變量個數(shù)為 P，并分別記為 ,21 , pxxx ? 所謂多元線性模型是指這些自變量對 Y 的影響是線性的，即 ????? ?????? pp xxxY ?22110 ， ),0(~ 2?? N 其中 p???? , 210 ? ， 2? 是與 pxxx , 21 ? 無關(guān)的未知參數(shù)，稱 Y 為對自變量 ,21 , pxxx ? 的線性回歸函數(shù) . 記 n 組樣本分別是 ),( 21 iipii yxxx ? ),2,1( ni ?? ，則有 ?????????????????????????nnppnnnppppxxxyxxxyxxxy?????????????????????????????????2211022222211021112211101, 其中 n??? , 21 ? 相互獨立，且 ),0(~ 2?? Ni ， ni ,2,1 ?? ，這個模型稱為多元線性回歸的數(shù)學模型 . 令 Y =??????????????nyyy?21, X =??????????????npnnppxxxxxxxxx????????212222111211111, ???????????????p???? ?10, ???????????????n???? ?21 則上述數(shù)學模型可用矩陣形式表示為 ????XY 其中 ? 是 n 維隨機向量，它的分量相互獨立。根據(jù)多元微積分的極值原理，令 .,2,10)(20)(2111011100pjxxxyQxxyQniijippiijniippii????????????????????????????????????????? 上述方程組稱為正規(guī)方程組，可用矩陣表示為 YXXX TT ?? 在系數(shù)矩陣 XXT 滿秩的條件下，可解得 YXXX TT 1)( ???? ?? 就是 ? 的最小二乘估計，即 ?? 為回歸方程 ?y? pp xx ??? ???? ??? 110 的回歸系數(shù) . 注 ：實際應用中，因多元線性回歸所涉及的數(shù)據(jù)量較大，相關(guān)分析與計算較復雜，通常采用統(tǒng)計分析軟件 SPSS 或 SAS 完成，有興趣的讀者可進一步參考相關(guān)資料 . 例題選講： 例 1（講義例 1） 設 TyyyY ),( 321? 服從線性模 型 ,3,2,1),23( 2210 ????? ixxY iii ??? 其中 ,1,0,1 32 ???? xxxi 試寫出矩陣 X, 并求出 210 , ??? 的最小二乘估計 . 例 2（講義例 2） 下面給出了某種產(chǎn)品每件平均單價 Y (元 )與批量 x(件 )之間的關(guān)系的組 數(shù)據(jù) x 20 25 30 35 40 50 60 65 70 75 80 90 y 我們選取模型 ),0(~, 22210 ?????? NxxY ???? 來擬合它，求其回歸方程 . 課堂練習 ?????????????33221122ebayebayeay , 其中321 , eee 相互獨立 , 且 ,3,2,1,)(,0)( 2 ??? ieDeE ii ? 試求 a和 b 的最小二乘估計 .