20xx屆東北三省四市教研聯(lián)合體高三第二次聯(lián)合考試數(shù)學(xué)(理)試題(含解析)-閱讀頁
2025-04-03 03:23本頁面
【正文】 C聯(lián)立方程并結(jié)合弦長(zhǎng)公式得：，再令即可得答案.【詳解】（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則 ，曲線的方程為（Ⅱ）設(shè)，設(shè)直線為代入得所以由弦長(zhǎng)公式得：所以為定值，則，【點(diǎn)睛】本題考查曲線的軌跡方程求解，弦長(zhǎng)公式，定值問題，考查運(yùn)算求解能力，,進(jìn)而結(jié)合弦長(zhǎng)公式得：.21．已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（Ⅱ）若在上有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（Ⅰ）增區(qū)間是，減區(qū)間是；（Ⅱ）.【分析】（1）應(yīng)用二階導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)遞增，令，進(jìn)而研究的單調(diào)區(qū)間；（2）由的導(dǎo)函數(shù)知、函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，不存在無極值點(diǎn)，而當(dāng)，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而確定的單調(diào)性并判斷零點(diǎn)的情況，即可求a的范圍.【詳解】（1）由題設(shè)，當(dāng)，有，在上遞增，當(dāng)，遞減，當(dāng)，遞增，增區(qū)間是，減區(qū)間是（2）當(dāng)，①當(dāng)時(shí)，由（1）知，在遞增，無極值點(diǎn)，②由（1）知：a = 2時(shí)，f(x)在 x 0上單調(diào)增，無極值點(diǎn)，③當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，即遞減，即；當(dāng)，即遞增，(下證引理：)：令，則，當(dāng)，遞增；當(dāng)，所以，證畢.，又，在上有唯一零點(diǎn)，當(dāng)，有，即遞減；當(dāng)，有，遞增；有唯一極小值點(diǎn)綜上所述，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）應(yīng)用分類討論思想，并構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合其導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而判斷原函數(shù)的的單調(diào)性及對(duì)應(yīng)單調(diào)區(qū)間，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理求參數(shù)范圍.22．在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）分別求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線交曲線于，兩點(diǎn)，交曲線于，兩點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【答案】（Ⅰ）曲線的極坐標(biāo)方程為：；的直角坐標(biāo)方程為：；（Ⅱ）【分析】（I）消去參數(shù)，即可得到曲線的直角坐標(biāo)方程，結(jié)合，即可得到曲線的極坐標(biāo)方程．（II）計(jì)算直線l的直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程，計(jì)算長(zhǎng)，即可．【詳解】解法一：（Ⅰ）曲線：（為參數(shù)）可化為直角坐標(biāo)方程：，即，可得，所以曲線的極坐標(biāo)方程為：.曲線：，即，則的直角坐標(biāo)方程為：.（Ⅱ）直線的直角坐標(biāo)方程為，所以的極坐標(biāo)方程為.聯(lián)立，得，聯(lián)立，得，.解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）直線的直角坐標(biāo)方程為，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，所以.【點(diǎn)睛】本小題考查直線和圓的極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等.23．已知（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）設(shè)的最大值為，如果正實(shí)數(shù)，滿足，求的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）利用零點(diǎn)分解法解不等式即可.（Ⅱ）去絕對(duì)值，寫出分段函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，從而可得，再利用基本不等式即可求解.【詳解】解：（Ⅰ）①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，綜上知不等式的解集為.（Ⅱ）由已知，在是增函數(shù)，所以，則.當(dāng)且僅當(dāng)，即，即，時(shí)，取得最小值.23
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