20xx屆東北三省四市教研聯(lián)合體高三第二次聯(lián)合考試數(shù)學(xué)(理)試題(含解析)-在線瀏覽
2025-04-03 03:23本頁面
【正文】 一份調(diào)查問卷，滿分100分，隨機發(fā)給100名男性居民和100名女性居民，分數(shù)統(tǒng)計如下：100位男性居民評分頻數(shù)分布表分組頻數(shù)3127285合計100100位女性居民評分頻數(shù)分布表分組頻數(shù)5156479合計100（Ⅰ）求這100位男性居民評分的均值和方差；（Ⅱ）已知男性居民評分服從正態(tài)分布，用表示，用表示，求；（Ⅲ）若規(guī)定評分小于70分為不滿意，評分大于等于70分為滿意，能否有99%的把握認為居民是否滿意與性別有關(guān)?附：，.參考公式，.【答案】（Ⅰ）75，52；（Ⅱ）；（Ⅲ）沒有.【分析】（Ⅰ）根據(jù)頻率分布表數(shù)據(jù)，直接計算求均值和方差即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即可求，又，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性及已知信息求值即可；（Ⅲ）根據(jù)頻率分布表得到列聯(lián)表，應(yīng)用卡方檢驗公式求k值，比照參考值確定是否有99%的把握認為居民是否滿意與性別有關(guān).【詳解】（Ⅰ）由頻率分布表可知：，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，則，.（Ⅲ）由已知條件可得：列聯(lián)表如下：滿意不滿意合計男性8515100女性8020100合計16535200，沒有99%的把握認為是否滿意與性別有關(guān).19．已知等腰直角，點，分別為邊，的中點，沿將折起，得到四棱錐，平面平面.（Ⅰ）過點的平面平面，平面與棱錐的面相交，在圖中畫出交線；設(shè)平面與棱交于點，寫出的值（不必說出畫法和求值理由）；（Ⅱ）求證：平面平面.【答案】（Ⅰ）圖形見解析，1；（Ⅱ）證明見解析.【分析】（Ⅰ）過作交于，由中位線性質(zhì)證為平行四邊形即可知為的中點，由平面平面，過作交于，即知為的中點，即可得.（Ⅱ）由題設(shè)易證，兩兩互相垂直，構(gòu)建以為原點，分別以射線，、的方向為，軸正方向，建立空間直角坐標系，并確定，進而求面，面的法向量，根據(jù)法向量的夾角即可證面面.【詳解】（Ⅰ）過作交于，由，分別為邊，的中點，即，∴為平行四邊形，則為的中點，再過作交于，∴在△中，為中位線，即為的中點，所得平面即為平面，如下圖示，∴由上，知：.（Ⅱ）由題設(shè)知：，面面，面面，面，面，又，面，又，三條棱兩兩互相垂直.以為原點，分別以射線，、的方向為，軸正方向，建立空間直角坐標系，則，設(shè)平面，平面的法向量分別為，即，取，則，即，取，則，平面平面.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證線面垂直，進而確定線線垂直，進而構(gòu)建空間直角坐標系，求出所證平面的法向量，根據(jù)法向量的夾角判斷平面的關(guān)系.20．已知點，直線，的斜率乘積為，點的軌跡為曲線.（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）設(shè)斜率為的直線交軸于，交曲線于，兩點，是否存在使得為定值，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，.【分析】（Ⅰ）設(shè)設(shè)點坐標為，根據(jù)題意得計算斜率之積即可得：（Ⅱ）設(shè)，設(shè)直線為，與曲線
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