【正文】 境總結(jié)】：解決上述問題的過程中我們將距離的問題轉(zhuǎn)化為角，進而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題進行計算。二、新課講解【師】：請同學(xué)們回憶一下，在直角三角形中各個角的正弦是怎么樣表示的？【生】：在直角三角形ABC中，sinA=ab,sinB=,sinC=1 ccabc,c=,c=，也就是說在Rt△ABCsinAsinBsinC【師】：有沒有一個量可以把三個式子聯(lián)系起來？ 【生】：邊c可以把他們聯(lián)系起來，即c=中abc== sinAsinBsinC【師】：對，很美、很對稱的一個式子，用文字來描述就是：“在一個直角三角形中，各邊與它所對角的正弦比相等”，那么在斜三角形中，該式是否也成立呢？讓我們在幾何畫板中驗證一下，對任意的三角形ABC是不是都有“各邊與它所對角的正弦比相等”成立？【師】：通過驗證我們得到，在任意的三角形中都有各個邊和他所對的角的正弦值相等?！編煛浚褐庇^的印象并不能代替嚴格的數(shù)學(xué)證明，所以，只是直觀的驗證是不夠的，那能不能對這個定理給出一個證明呢？【生】：可以用三角形的面積公式對正弦定理進行證明：S=1111absinC=acsinB=bcsinA，然后三個式子同時處以abc就可以得2222到正弦定理了。怎么樣利用向量只是來證明正弦定理呢？大家觀察，這個式子涉及到的是邊和角，即向量的模和夾角之間的關(guān)系。即在sinAsinCsinBsinC銳角三角形ABC中有每條邊和它所對的角的正弦值相等這個結(jié)論。即在鈍角三角sinAsinCsinBsinC形ABC中也有每條邊和它所對的角的正弦值相等這個結(jié)論?！編煛浚捍蠹矣^察一下正弦定理的這個式子，它是一個比例式。因此正弦定理的應(yīng)用主要有哪些呢？【生】：已知三角形的兩邊一其中一邊的對角求另外一邊的對角，或者兩角一邊求出另外一邊。下面我們來看正弦定理的一些應(yīng)用。sin45o\a===osinCsin30bcQ=sinBsinCB=180o(A+C)=180o(45o+30o)=105oQcsinB10180。寫成數(shù)學(xué)式子就是abc==。對于正弦定理的證明主，要有面積法和向量法，其實對于正弦定理的證明，還有很多別的方法，有興趣的同學(xué)下去之后可以自己去了解一下?！螩 =∠B′，∴sinC=sinB′=. ∴.同理,可得. ∴.這就是說,對于任意的三角形,上述關(guān)系式均成立,因此,我們得到等式.點評:上述證法采用了初中所學(xué)的平面幾何知識,將任意三角形通過外接圓性質(zhì)轉(zhuǎn)化為直角三角形進而求證,此證法在鞏固平面幾何知識的同時,易于被學(xué)生理解和接受,并且消除了學(xué)生所持的“向量方法證明正弦定理是唯一途徑”,又為下一步用向量方法證明正弦定理作了鋪墊. [知識拓展]師接下來,定理反映的是三角形的邊角關(guān)系,而在向量知識中,哪一知識點體現(xiàn)邊角關(guān)系呢?生向量的數(shù)量積的定義式Aθ)進行轉(zhuǎn)化.師這一轉(zhuǎn)化產(chǎn)生了新角90176。θ這一形式,這是作輔助向量j垂直于三角形一邊的原因.師在向量方法證明過程中,構(gòu)造向量是基礎(chǔ),并由向量的加法原則可得 而添加垂直于的單位向量j是關(guān)鍵,為了產(chǎn)生j與、的數(shù)量積,而在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)量積運算,也就在情理之中了.師下面,大家再結(jié)合課本進一步體會向量法證明正弦定理的過程,并注意總結(jié)在證明過程中所用到的向量知識點.點評:(1)在給予學(xué)生適當(dāng)自學(xué)時間后,應(yīng)強調(diào)學(xué)生注意兩向量的夾角是以同起點為前提,以及兩向量垂直的充要條件的運用.(2)要求學(xué)生在鞏固向量知識的同時,進一步體會向量知識的工具性作用.向量法證明過程:(1)△ABC為銳角三角形,過點A作單位向量j垂直于,則j與的夾角為90176。C.由向量的加法原則可得 ,為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系,我們在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)量積運算,得到 由分配律可得. ∴|j|Cos90176。C)=|j|Cos(90176。+C,j與的夾角為90176。C,j與的夾角為90176。,過點A作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為A90176。C.由,得j=jCos(90176。Cos(A90176。+C,j與夾角為90176。,B=176。(A+B)=180176。+176。根據(jù)正弦定理， b=≈(cm)。求出第三角,再利用正弦定理.(2)對于解三角形中的復(fù)雜運算可使用計算器.【例2】在△ABC中，已知A=20cm，B=28cm，A=40176。邊長精確到1 cm）．分析:此例題屬于BsinA＜a＜b的情形,故有兩解,這樣在求解之后呢,無需作進一步的檢驗,使學(xué)生在運用正弦定理求邊、角時,感到目的很明確,同時體會分析問題的重要性.解：根據(jù)正弦定理， sinB =≈ 9.因為0176。所以B≈64176。.（1）當(dāng)B≈64176。（A+B）=180176。+64176。 C =≈30(cm).（2）當(dāng)B≈116176。（A+B）=180176。+116176。 C=≈13(cm). [方法引導(dǎo)]通過此例題可使學(xué)生明確,利用正弦定理求角有兩種可能,但是都不符合題意,可以通過分析獲得,也可通過三角形的有關(guān)性質(zhì)來判斷,對于這一點,我們通過下面的例題來體會.變式一：在△ABC中,已知A＝60,B＝50,A＝38176。)和C(保留兩個有效數(shù)字).分析:此題屬于A≥B這一類情形,有一解,也可根據(jù)三角形內(nèi)大角對大邊,小角對小邊這一性質(zhì)來排除B為鈍角的情形.解：已知B(1)B=11,A=20,B=30176。(3)C =54,B=39,C=115176。.解：(1)∵. ∴sinA =≈ 1. ∴A1≈65176。.當(dāng)A1≈65176。(B+A1)=180176。+65176。 ∴C1=≈22.當(dāng)A2≈115176。(B+A2)=180176。+115176。, ∴C2=≈13.(2)∵sinB=≈ 1, ∴B1≈30176。.由于A+B2=45176。＞180176。應(yīng)舍去(或者