【文章內(nèi)容簡介】 量方法證明過程中,構(gòu)造向量是基礎(chǔ),并由向量的加法原則可得 而添加垂直于的單位向量j是關(guān)鍵,為了產(chǎn)生j與、的數(shù)量積,而在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)量積運算,也就在情理之中了.師下面,大家再結(jié)合課本進一步體會向量法證明正弦定理的過程,并注意總結(jié)在證明過程中所用到的向量知識點.點評:(1)在給予學(xué)生適當(dāng)自學(xué)時間后,應(yīng)強調(diào)學(xué)生注意兩向量的夾角是以同起點為前提,以及兩向量垂直的充要條件的運用.(2)要求學(xué)生在鞏固向量知識的同時,進一步體會向量知識的工具性作用.向量法證明過程:(1)△ABC為銳角三角形,過點A作單位向量j垂直于,則j與的夾角為90176。A,j與的夾角為90176。C.由向量的加法原則可得 ,為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系,我們在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)量積運算,得到 由分配律可得. ∴|j|Cos90176。+|j|Cos(90176。C)=|j|Cos(90176。A). ∴AsinC=CsinA. ∴.另外,過點C作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為90176。+C,j與的夾角為90176。+B,可得.(此處應(yīng)強調(diào)學(xué)生注意兩向量夾角是以同起點為前提,防止誤解為j與的夾角為90176。C,j與的夾角為90176。B) ∴.(2)△ABC為鈍角三角形,不妨設(shè)A＞90176。,過點A作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為A90176。,j與的夾角為90176。C.由,得j+j=j,即ACos(90176。C)=CCos(A90176。), ∴AsinC=CsinA. ∴ 另外,過點C作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為90176。+C,j與夾角為90176。+,可得. ∴（形式1）.綜上所述,正弦定理對于銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形均成立.師在證明了正弦定理之后,我們來進一步學(xué)習(xí)正弦定理的應(yīng)用. [教師精講]（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使A=ksinA，B=ksinB，C=ksinC；（2）等價于(形式2).我們通過觀察正弦定理的形式2不難得到,利用正弦定理,可以解決以下兩類有關(guān)三角形問題.①已知三角形的任意兩角及其中一邊可以求其他邊，,故第三角確定,三角形唯一,解唯一,相對容易,課本P4的例1就屬于此類問題. ②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如．此類問題變化較多,我們在解題時要分清題目所給的條件．一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形．師接下來,我們通過例題評析來進一步體會與總結(jié).［例題剖析］【例1】在△ABC中，已知A=176。,B=176。,A= cm,解三角形.分析:此題屬于已知兩角和其中一角所對邊的問題,直接應(yīng)用正弦定理可求出邊B,若求邊C,再利用正弦定理即可.解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理， C=180176。(A+B)=180176。(176。+176。)=176。根據(jù)正弦定理， b=≈(cm)。 c=≈(cm). [方法引導(dǎo)](1)此類問題結(jié)果為唯一解,學(xué)生較易掌握,如果已知兩角和兩角所夾的邊,也是先利用內(nèi)角和180176。求出第三角,再利用正弦定理.(2)對于解三角形中的復(fù)雜運算可使用計算器.【例2】在△ABC中，已知A=20cm，B=28cm，A=40176。，解三角形（角度精確到1176。，邊長精確到1 cm）．分析:此例題屬于BsinA＜a＜b的情形,故有兩解,這樣在求解之后呢,無需作進一步的檢驗,使學(xué)生在運用正弦定理求邊、角時,感到目的很明確,同時體會分析問題的重要性.解：根據(jù)正弦定理， sinB =≈ 9.因為0176。＜B＜180176。，所以B≈64176?；駼≈116176。.（1）當(dāng)B≈64176。時， C =180176。（A+B）=180176。（40176。+64176。）=76176。， C =≈30(cm).（2）當(dāng)B≈116176。時， C=180176。（A+B）=180176。（40176。+116176。）=24176。， C=≈13(cm). [方法引導(dǎo)]通過此例題可使學(xué)生明確,利用正弦定理求角有兩種可能,但是都不符合題意,可以通過分析獲得,也可通過三角形的有關(guān)性質(zhì)來判斷,對于這一點,我們通過下面的例題來體會.變式一：在△ABC中,已知A＝60,B＝50,A＝38176。,求B(精確到1176。)和C(保留兩個有效數(shù)字).分析:此題屬于A≥B這一類情形,有一解,也可根據(jù)三角形內(nèi)大角對大邊,小角對小邊這一性質(zhì)來排除B為鈍角的情形.解：已知B(1)B=11,A=20,B=30176。(2)A=28,B=20,A=45176。(3)C =54,B=39,C=115176。(4)A=20,B=28,A=120176。.解：(1)∵. ∴sinA =≈ 1. ∴A1≈65176。，A2≈115176。.當(dāng)A1≈65176。時，C1=180176。(B+A1)=180176。(30176。+65176。)=85176。， ∴C1=≈22.當(dāng)A2≈115176。時，C2=180176。(B+A2)=180176。(30176。+115176。)=35176。, ∴C2=≈13.(2)∵sinB=≈ 1, ∴B1≈30176。，B2≈150176。.由于A+B2=45176。+150176。＞180176。,故B2≈150176。應(yīng)舍去(或者由B＜A知B＜A,故B應(yīng)為銳角). ∴C=180176。(45176。+30176。)=105176。. ∴C=≈38.(3)∵, ∴sinB=≈ 6. ∴B1≈41176。,B2≈139176。.由于B＜C,故B＜C,∴B2≈139176。應(yīng)舍去. ∴當(dāng)B=41176。時，A=180176。(41176。+115176。)=24176