【正文】 1985 7 51 1986 8 40 1987 9 48 1988 10 52 1989 11 51 1990 12 59 1991 13 57 1992 14 64 1993 15 68 1994 16 67 1995 17 69 1996 18 76 1997 19 75 1998 20 80 表 4 5 某廠歷年來(lái)原料消耗量指數(shù)平滑法計(jì)算表（單位：萬(wàn)噸）? 解 取 α=， S0(1)=S0(2)=y1=50 ?利用式 ()和式 ()分別計(jì)算一 、 二次指數(shù)平滑值 St(1)和 St(2)，結(jié)果列于表 45的第 (4)、 (5)欄 。 20, ?????? tbay ttt ??? 三、三次指數(shù)平滑法的原理及應(yīng)用 ? 三次指數(shù)平滑法是二次指數(shù)平滑法的進(jìn)一步推廣 ， 應(yīng)用于具有非線性趨勢(shì)的時(shí)間序列的預(yù)測(cè)問(wèn)題 。三次指數(shù)平滑值亦不能直接用于預(yù)測(cè)。 例 46 按表 45第 (3)欄給出的數(shù)據(jù) ， 用三次指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)該廠1999年和 2023年原料消耗量的預(yù)測(cè)值分別為 (萬(wàn)噸 ) 和 (萬(wàn)噸 ) 。 3 趨勢(shì)外推法 ? 隨著時(shí)間的推移，社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象 的 發(fā)展變化常常呈現(xiàn)出某種規(guī)律性。 ? 趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)法 是一種常用預(yù)測(cè)方法，其應(yīng)用的前提是： ? （ 1） 社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的發(fā)展過(guò)程是漸進(jìn)的，沒(méi)有跳躍式突變； ? （ 2）社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象未來(lái)與過(guò)去的變化規(guī)律基本一致。 ? 趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)模型 的選擇方法主要有： 經(jīng)驗(yàn)法 、 圖形識(shí)別法 和 差分法 。經(jīng)驗(yàn)法選定模型的過(guò)程中，即要有對(duì)時(shí)間序列的定量分析，又離不開(kāi)對(duì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象本身的定性分析，它要求預(yù)測(cè)者即要熟知模型的數(shù)學(xué)特征，又要深諳經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的變化條件及相關(guān)的經(jīng)濟(jì)理論，只有將數(shù)學(xué)智慧和經(jīng)濟(jì)分析有機(jī)地結(jié)合在一起，才能選定適當(dāng)?shù)钠饎?shì)模型。 ? （三） 差分法 ? 這是選擇趨勢(shì)模型的一種定量方法，精度較高，但計(jì)算量較大。 ? 然后，根據(jù)算得的時(shí)間序列差分的特點(diǎn)，選擇適宜的數(shù)學(xué)模型。 1???? ttt yyy 2112 2)( ??? ??????????? ttttttt yyyyyy 二、 多項(xiàng)式趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型 及應(yīng)用 多項(xiàng)式趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型也稱時(shí)間回歸模型，其一般形式為： kkt tbtbtbby ????? ?2210?當(dāng) k=1時(shí)，為直線預(yù)測(cè)模型： tbbt 10 ??當(dāng) k=2時(shí)，為二次 多項(xiàng)式（拋物線）預(yù)測(cè)模型 ： 2210? tbtbby t ???（一）多項(xiàng)式預(yù)測(cè)模型次數(shù)的選擇 實(shí)際預(yù)測(cè)中，究竟應(yīng)選擇幾次的多項(xiàng)式，可通過(guò)計(jì)算時(shí)間序列的差分來(lái)確定。 （ 二 ） 直線 （ 一元時(shí)間回歸 ） 模型參數(shù)估計(jì)的簡(jiǎn)捷算法 ? 如果時(shí)間序列的散點(diǎn)圖大致呈一條直線 ， 或者時(shí)間序列各相鄰時(shí)期的增 (減 )量 ， 即逐期增 長(zhǎng) 量接近于一個(gè)常數(shù)時(shí) ， 便可考慮用一條直線來(lái)描繪 （ 擬合 ） 時(shí)間序列的長(zhǎng)期發(fā)展趨勢(shì) ,并依此進(jìn)行預(yù)測(cè) 。 設(shè)時(shí)間序列觀測(cè)值為 y1, y2,? ， yT，套用 一元線性回歸參數(shù)估計(jì)的公式有： ????????????????????????????TtTttTtTtTttTtTtttTbyTatTtytTtyb1121121111?1?)(1))((1? 注意： yt一般都是等間隔時(shí)間的觀測(cè)值 ， 時(shí)間 t的取值只起到一種標(biāo)明順序的作用 ， 它與 yt一般沒(méi)有嚴(yán)格的因果關(guān)系 。 通常讓 t的 T個(gè)取值以原點(diǎn)為對(duì)稱 ， 從而有 ∑ t=0， 于是上述公式可化簡(jiǎn)為： ? 例 47 某 市近幾年工業(yè)總產(chǎn)值資料如表 46所列 ，試預(yù)測(cè) 1999年該市工業(yè)總產(chǎn)值 。 一階差分基本接近一個(gè)常數(shù)。 為時(shí)間序列的項(xiàng)數(shù)。指數(shù)曲線的圖形參見(jiàn) P50圖 3－ 7；修正指數(shù)曲線的圖形，當(dāng) 0＜ B＜ 1時(shí)，如圖 4－ 1所示。所以， 如果時(shí)間序列各相鄰時(shí)期的比值接近于一個(gè)常數(shù)，則可用指數(shù)曲線模型來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)。當(dāng) 時(shí)間序列的 一階差分比率大致相等時(shí)，可用修正指數(shù)曲線進(jìn)行預(yù)測(cè)。 為時(shí)間序列的項(xiàng)數(shù)。 P 6 7 例 8 表 4 7年 份 1993 1994 1995 1996 1997 1998t 值 5 3 1 1 3 5產(chǎn) 量( 萬(wàn)輛） y t 差比率 y t /y t1 —— Ln y t 某自行車廠近幾年自行車產(chǎn)量解 第一步，選擇模型：由于 其一階差比率 接近于一個(gè)常數(shù)，所以，選擇指數(shù)曲線是適宜的。 ? 用三段總和法來(lái)估計(jì)模型參數(shù)。 ? 將所有數(shù)據(jù)按先后次序等分為三組，并分別求和，則有 BBBAnKBAnKySBBBAnKBAnKySBBAnKBAnKySnnnnttnnttnnnnttnnttnnttntt??????????????????????????????????????????1)1(1)1(11213213231212210101 進(jìn)一步可推得 BBBAnKBAnKySBBBAnKBAnKySBBAnKBAnKySnnnnttnnttnnnnttnnttnnttntt??????????????????????????????????????????1)1(1)1(112132132312122101011)1(, 2121223????????BBASSBSSSS nn于是得 A、 B、 K的估計(jì)式為： )1?(1?)1?())(1?(??1212121223???????????nnnBSSSnKBSSBASSSSB() 例 4－ 9 某商品 1991年投放市場(chǎng)以來(lái)，社會(huì)總需求量統(tǒng)計(jì)資料如表4－ 8所列，試預(yù)測(cè) 2023年的社會(huì)總需求量。 第二步，估計(jì)模型參數(shù)： 第三步，預(yù)測(cè) 2023年 的社會(huì)總需求量 ： (t=9) y2023= ＝ （萬(wàn)噸） 四、 生長(zhǎng)曲線趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型 及應(yīng)用 ? 在市場(chǎng)上，一般產(chǎn)品（或技術(shù)）的發(fā)展，基本上都要經(jīng)歷一個(gè)問(wèn)世、發(fā)展、成熟、衰落的過(guò)程。 ? 這里介紹兩種能夠較好描述產(chǎn)品或技術(shù)生命周期規(guī)律的典型 S型生長(zhǎng)曲線模型：皮爾曲線和龔珀茲曲線模型。 Pearl)是美國(guó)生物學(xué)家和人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家 ,他以其生物學(xué)家的特有視角 ,提出了一個(gè)著名的 S型生長(zhǎng)曲線 : )(1 ???btt aeLy ???式中 ,L、 a、 b為正數(shù)。 皮爾曲線適用于生物繁殖、人口發(fā)展統(tǒng)計(jì)與預(yù)測(cè)，也適于對(duì)產(chǎn)品或技術(shù)作生命周期分析，尤其適合處于成熟期的商品或技術(shù)的發(fā)展趨勢(shì)分析與預(yù)測(cè)。 參數(shù)估計(jì)及應(yīng)用 皮爾曲線的三個(gè)參數(shù)可以用 三段總和法加以估計(jì)： 對(duì)式（ ）取倒數(shù)，得 btteLaLy ??? 11令 btt eBLaALKyY????? ,1,1則有 Yt=K+ABt 此即修正指數(shù)曲線，從而可套用其參數(shù)估計(jì)公式（ ） )1?(1?)1?())(1?(??1212121223???????????nnnBSSSnKBSSBASSSSB于是， 皮爾曲線的 參數(shù)估計(jì)公式為： 21211211223)1?())(1?(????)1?(?1?)(1??????????????????nnBSSBLALaBSSSnKLSSSSlnnBlnb??????????1323122101111nnt tnnt tnt tySySyS式中 例 4－ 10 吉林省 1966～ 1983年年底人口數(shù)如表 4－ 9所列，試 預(yù)測(cè)該省 1984～ 2023年年底人口數(shù)。對(duì)所給時(shí)間序列數(shù)據(jù)，計(jì)算其一階差分比率，結(jié)果見(jiàn)表 4－ 10所示。 把數(shù)據(jù)等分為三組， n=6，由表 4－ 9中數(shù)據(jù)算得： ? 于是 所求皮爾曲線趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型為： ??????????????????1712333116235011070 718 1093 361 502 t tt tt tySySyS ，10 3526 1651 ,90 1651 7320 661223?????????lnBlnbSSSSB47 524 600 )1?())(1?(????)1?(6?1?4261216121??????????????????BSSBLALaBSSSKLttbt eeaLy 475 ?1???? ???? 為了檢驗(yàn)該模型的預(yù)測(cè)精度，可以計(jì)算回溯擬合值，即 1966～ 1983年底的人口擬合值，列于下表中： 年份 人口 (yt) 擬合值 誤差 年份 人口 (yt) 擬合值 誤差 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 可見(jiàn)所建模型對(duì)歷史數(shù)據(jù)擬合得相當(dāng)好，擬合誤差介于 ～ 。 如本例中，對(duì)吉林省 1984～1987年人口的預(yù)測(cè)值就與實(shí)際值比較接近。 1984～ 1987年的預(yù)測(cè)均方標(biāo)準(zhǔn)差 S預(yù) =。究其原因有二：一是時(shí)間序列預(yù)測(cè)法不適于長(zhǎng)期預(yù)測(cè)，所以隨著預(yù)測(cè)超前期的增長(zhǎng)，外推預(yù)測(cè)的精度必然下降。實(shí)際上，該省 1991年底的人口就已突破了 2459萬(wàn)人。從 1992年起， 修正模型的預(yù)測(cè)效果優(yōu)于原模型，但從 2023年，又開(kāi)始變劣。 ? 仍把數(shù)據(jù)等分為三組， n=6，由上表數(shù)據(jù)算得： 年份 t值 人口 (yt) 年份 t值 人口 (yt) 年份 t值 人口 (yt) 1983 1984 1985 1986 1987 1988 0 1 2 3 4 5 1989 1990