北師大版高中數(shù)學(xué)選修1-211回歸分析之一-在線瀏覽
2025-01-21 13:30本頁(yè)面
【正文】 ),( 21 Ncccxfy ?? （ 51） 待定常數(shù) 5 .2 最小二乘法原理 假設(shè) x 和 y 是具有某種相關(guān)關(guān)系的物理量 ， 它們之間的關(guān)系可用下式給出： 5 .2 最小二乘法原理 同時(shí)測(cè)量 x ， y 的數(shù)值 ， 設(shè)有 m 對(duì)觀測(cè)結(jié)果： ),(,),(),( 2211 mm yxyxyx ? 利用觀測(cè)值 ， 確定 。 相關(guān)關(guān)系 圖5 . 1 相關(guān)關(guān)系02468101214160 5 10 15 20xy 雖然各組數(shù)據(jù)不是準(zhǔn)確地服從 f(x)關(guān)系 ， 但 y值總還是隨 x的增加而變化 。 這些變量之間既存在著密切的關(guān)系 ， 又不能由一個(gè) （ 或幾個(gè) ） 變量 （ 自變量 ） 的數(shù)值精確地求出另一個(gè)變量 （ 因變量 ） 的數(shù)值 ， 而是要通過試驗(yàn)和調(diào)查研究 ， 才能確定它們之間的關(guān)系 ， 如 圖 ， 雖然各組數(shù)據(jù)不是準(zhǔn)確地服從 f(x)關(guān)系 ， 但 y值總還是隨 x的增加而增加 。 到方差分析 實(shí)際問題中 ， 絕大多數(shù)情況下 ， 變量之間的關(guān)系不那么簡(jiǎn)單 。 如 S= v﹒ t ?；貧w分析 概述 回歸分析 ——研究變量與變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)方法。 變量之間的關(guān)系： 確定性關(guān)系 函數(shù)關(guān)系 ， 經(jīng)反復(fù)的精確試驗(yàn)或嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到 。 數(shù)學(xué)分析和物理學(xué)中的大多數(shù)公式屬于這種類型 。 如材料的抗拉強(qiáng)度與其硬度之間的關(guān)系；材料的性能與其化學(xué)成份之間等等 。 我們稱這類變量之間的關(guān)系為 相關(guān)關(guān)系 。 概述 回歸分析的主要內(nèi)容： 應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法 ， 對(duì)大量的測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理 ，從而得出比較符合事物內(nèi)部規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式 （ 數(shù)學(xué)模型 ） 。 設(shè) x， y 關(guān)系的最佳形式為： Nccc , 21 ?)?,?,?,(? 21 Ncccxfy ??（ 52） （ 53） 最佳估計(jì)值 如不存在測(cè)量誤差，則： micccxfy Nii ?? ,2,1),( 21 ?? （ 54） 由于存在測(cè)量誤差 ， 因而式 （ 53） 與 （ 54） 不相重合 ， 即有： miyye iii ,2,1? ???? （ 55） 殘差 ——誤差的實(shí)測(cè)值 5 .2 最小二乘法原理 式 （ 5—3） 中的 x 變化時(shí) ， y 也隨之變化 。 如 圖 。 從圖 51a中可以看出 ， 顯然 ， 此時(shí)下式應(yīng)最?。? ?????? ??? ??miiimyyeeeP1 2221 2)?(e x p21),(????（ 5—6） 即殘差平方和最小 ， 這就是最小二乘法原理的由來 。式（ 5—7）可以寫成： ? ????? mi NiicccxfyS1221 )?,?,?,( ?（ 5—8） S最小，就應(yīng)有： 0,0,021?????????NcScScS ?（ 5—9） 即要求求解如 下聯(lián)立方程組： ? ?? ?? ????????????????????????????????????????????????0)?,?,?,(0)?,?,?,(0)?,?,?,(12121211121NmiNiimiNiimiNiicfcccxfycfcccxfycfcccxfy???????????????????（ 5—10） 正規(guī)方程 ， 最小二乘解 。 例 研究腐蝕時(shí)間與腐蝕深度兩個(gè)變量之間的關(guān)系，可把腐蝕時(shí)間作為自變量 x ， 把腐蝕深度作為因變量 y ， 將試驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄在 表 51中。 解： 將 表 51中的 (x, y) 數(shù)據(jù)，在直角坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)地做出一系列的點(diǎn)，可得 圖 ，這種圖稱之為散點(diǎn)圖。 ????????????????????????????????????????????????mimiimiiiiimiixymimiiimiiyymimiiimiixxmyxyxyyxxlmyyyylmxxxxl1111112221112221)()())(()()()()(令 521 便可得到回歸系數(shù)的另一種表達(dá)式： xxxyllb?552 并且，習(xí)慣上稱 ??miix12 為 x 的平方和； mxmii?? 12)(為平方和的修正項(xiàng)； ??miii yx1為 x 與 y 的乘積和； 的乘積和；myxmiimii ???? 11)()(為乘積和的修正項(xiàng)。 完成表 52的計(jì)算，就可得到回歸直線方程： ?? xy523 編號(hào) x y x2 y2xy1 3 40 9 1600 1202 5 60 25 3600 3003 10 80 100 6400 8004 20 130 400 16900 26005 30 160 900 25600 48006 40 170 1600 28900 68007 50 190 2500 36100 95008 60 250 3600 62500 150009 65 250 4225 62500 1625010 90 290 8100 84100 2610011 120 460 14400 211600 55200參數(shù)值 493 2080 35859 539800 137470參數(shù)值 4 4 . 8 1 8 1 8 1 8 2 1 8 9 . 0 9 2 2 0 9 5 . 3 6 3 6 4 393309 9 3 2 2 1 . 8 1 8 1 813764 146491 4 4 2 4 8 . 1 8 1 8 23 . 2 1 4 5 . 0 1表 5 2 回歸直線方程的計(jì)算（ I ）?x?y ?2x?2y?xyxymx?2)(my?2)(myx? ?))((?yyl ?xyl??xxxyllb ??? xbya?xxl1）先把數(shù)據(jù)在 Excel中成列輸入到電子表格中； 2） 全部選擇所有數(shù)據(jù)； 3）點(diǎn)擊 圖表向?qū)?快捷按鈕，按提示一步一步 建立散點(diǎn)圖； 利用微軟公司的電子表格 （ Microsoft Excel）在計(jì)算機(jī)中進(jìn)行線性回歸的方法 1 4） 建立好散點(diǎn)圖后 ， 用鼠標(biāo)點(diǎn)到圖上散點(diǎn)的位置 ，單擊鼠標(biāo)左鍵選中所有的散點(diǎn) ， 然后單擊鼠標(biāo)右鍵 ，出現(xiàn)一個(gè)對(duì)話框 ， 點(diǎn)擊左鍵選擇添加趨勢(shì)線 ， 出現(xiàn)另一個(gè)對(duì)話框 ， 在對(duì)話框中選擇某些功能 ， 回歸直線方程就會(huì)出現(xiàn)在圖上的某一位置 。 殘差可表示如下： y?iii yye ???試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù) 回歸直線對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù) 上式可改寫成： )?()(? yyyyyye iiiii ??????（ 5—24） 移項(xiàng)得： )?()?( yyyyyy iiii ?????? ???????????????????????miimiiiimiiimiiiimiiyyyyyyyyyyyyyy121122112)?()?)(?(2)?()?()?()(兩端平方求和得： （ 5—25） 可以證明此項(xiàng)為零 ， 故得： ???????????miimiiimii yyyyyy121212 )?()?()(???miii yy12)?(???mii yy12)( 上式中三項(xiàng)平方和的意義如下： 代表在試驗(yàn)范圍內(nèi) ， 觀測(cè)值 yi 總的波動(dòng)情況 ， 稱此為 總平方和 。 上述三個(gè)平
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1