高中數(shù)學蘇教版選修2-2第1章導數(shù)及其應用133-在線瀏覽
2025-01-20 23:19本頁面
【正文】 表可知，當 x ＝ 0 時， f ( x ) 取極大值，也就是函數(shù)在 [ － 1 , 2 ]上的最大值， ∴ f ( 0 ) ＝ 3 ，即 b ＝ 3. 本課時欄目開關 填一填 研一研 練一練 又 f ( － 1) ＝－ 7 a ＋ 3 ， f ( 2) ＝－ 16 a ＋ 3 f ( － 1) ， ∴ f ( 2) ＝－ 16 a ＋ 3 ＝－ 29 ， ∴ a ＝ 2. ( 2 ) 當 a 0 時，同理可得，當 x ＝ 0 時， f ( x ) 取極小值，也就是函數(shù)在 [ － 1 , 2 ] 上的最小值， ∴ f ( 0 ) ＝－ 29 ，即 b ＝－ 29. 又 f ( － 1) ＝－ 7 a － 29 ， f ( 2 ) ＝－ 16 a － 29 f ( － 1) ， ∴ f ( 2 ) ＝－ 16 a － 29 ＝ 3 ， ∴ a ＝－ 2. 綜上可得， a ＝ 2 ， b ＝ 3 或 a ＝－ 2 ， b ＝－ 29. 本課時欄目開關 填一填 研一研 練一練 探究點 三 函數(shù)最值的應用 問題 函數(shù)最值和 “ 恒成立 ” 問題有什么聯(lián)系？ 答案 解決 “ 恒成立 ” 問題，可將問題轉化為函數(shù)的最值問題 . 如 f ( x ) 0 恒成立，只要 f ( x ) 的最小值大于 0 即可 . 對含參不等式恒成立問題，求參數(shù)范圍時，可先分離參數(shù) . 本課時欄目開關 填一填 研一研 練一練 例 3 已知函數(shù) f ( x ) ＝ ( x ＋ 1) ln x － x ＋ 1. 若 xf ′ ( x ) ≤ x 2 ＋ ax ＋ 1 恒成立，求 a 的取值范圍 . 解 f ′ ( x ) ＝x ＋ 1x ＋ ln x － 1 ＝ l n x ＋1x ， xf ′ ( x ) ＝ x ln x ＋ 1 ，而xf ′ ( x ) ≤ x 2 ＋ ax ＋ 1( x ＞ 0) 等價于 ln x － x ≤ a . 令 g ( x ) ＝ ln x － x ，則 g ′ ( x ) ＝ 1x － 1. 當 0 ＜ x ＜ 1 時， g ′ ( x ) ＞ 0 ；當 x ≥ 1 時， g ′ ( x ) ≤ 0 ， x ＝ 1 是 g ( x ) 的最大值點， ∴ g ( x ) ≤ g ( 1 ) ＝－ 1. 綜上可知， a 的取值范圍是 ??? ???－ 1 ，＋ ∞ . 本課時欄目開關 填一填 研一研 練一練 小結 “ 恒成立 ” 問題 向最值 問題 轉化是一種常見的題型，對于不能分離參數(shù)的恒成立 問題 ，直接求含參函數(shù)的最值即可 . 一般地，可采用分離參數(shù)法 . λ ≥ f ( x ) 恒成立 ? λ ≥ [ f ( x )] m a x ； λ ≤ f ( x )恒成立 ? λ ≤ [ f ( x )] m i n . 本課時欄目開關 填一填 研一研 練一練 跟蹤訓練 3 設函數(shù) f ( x ) ＝ 2 x 3 － 9 x 2 ＋ 12 x ＋ 8 c ，若對任意的x ∈ [ 0,3 ] ，都有 f ( x ) c 2 成立，求 c 的取值范圍 . 解 ∵ f ′ ( x ) ＝ 6 x 2 － 18 x ＋ 12 ＝ 6( x － 1 ) ( x － 2 ) . ∴ 當 x ∈ ( 0 ,1 ) 時， f ′ ( x ) 0 ；當 x ∈ ( 1 ,2 ) 時， f ′ ( x ) 0 ； 當 x ∈ ( 2 ,3 ) 時， f ′ ( x ) 0 . ∴ 當 x ＝ 1 時， f ( x ) 取極大值 f ( 1 ) ＝ 5 ＋ 8 c . 又
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