安徽省黃山市20xx屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第四次月考試卷理含解析-在線瀏覽
2025-01-18 13:52本頁面
【正文】 起． 14．（ x﹣ y）（ x+y） 8的展開式中 x2y7的系數(shù)為 ﹣ 20 ．（用數(shù)字填寫答案） 【考點】 二項式系數(shù)的性質(zhì)． 【專題】 計算題；二項式定理． 【分析】 由題意依次求出（ x+y） 8中 xy7， x2y6，項的系數(shù)，求和即可． 【解答】 解：（ x+y） 8的展開式中，含 xy7的系數(shù)是： 8． 含 x2y6的系數(shù)是 28， ∴ （ x﹣ y）（ x+y） 8的展開式中 x2y7的系數(shù)為： 8﹣ 28=﹣ 20． 故答案為：﹣ 20 【點評】 本題考查二項式定理系數(shù)的性質(zhì)，二項式定理的應(yīng)用，考查計算能力． 15．若正數(shù) x， y滿足 x+3y=5xy，則 3x+4y的最小值是 5 ． 【考點】 基本不等式． 【專題】 計算題． 【分析】 將方程變形 ，代入可得 3x+4y=（ 3x+4y）（ ） = 3 ，然后利用基本不等式即可求解． 【解答】 解： ∵x+3y=5xy ， x＞ 0， y＞ 0 ∴ ∴3x+4y= （ 3x+4y）（ ） = 3 =5 當(dāng)且僅當(dāng) 即 x=2y=1時取等號 故答案為： 5 【點評】 本題主要考查了利用基本不等式求解最值問題，解題的關(guān)鍵是基本不等式的應(yīng)用條件的配湊 16．已知曲線 y=x+lnx在點（ 1， 1）處的切線與曲線 y=ax2+（ a+2） x+1相切，則 a= 8 ． 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程． 【專題】 開放型；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 【分析】 求出 y=x+lnx的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，可得切線方程，再由于切線與曲線 y=ax2+（ a+2） x+1相切，有且只有一切點，進而可聯(lián)立切線與曲線方程，根據(jù) △=0 得到 a的值． 【解答】 解： y=x+lnx的導(dǎo)數(shù)為 y′=1+ ， 曲線 y=x+lnx在 x=1處的切線斜率為 k=2， 則曲線 y=x+lnx在 x=1處的切線方程為 y﹣ 1=2x﹣ 2，即 y=2x﹣ 1． 由于切線與曲線 y=ax2+（ a+2） x+1相切， 故 y=ax2+（ a+2） x+1可聯(lián)立 y=2x﹣ 1， 得 ax2+ax+2=0， 又 a≠0 ，兩線相切有一切點， 所以有 △=a 2﹣ 8a=0， 解得 a=8． 故答案為： 8． 【點評】 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點處的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切線方程運用兩線相切的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 三、解答題：本大題共 6小題，共 70分 .解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 17．（ 10分）（ 2020?新課標(biāo) II）設(shè) a， b， c， d均為正數(shù)，且 a+b=c+d，證明： （ 1）若 ab＞ cd，則 + ＞ + ； （ 2） + ＞ + 是 |a﹣ b|＜ |c﹣ d|的充要條件． 【考點】 不等式的證明；必要條件、充分條件與充要條 件的判斷． 【專題】 不等式的解法及應(yīng)用；簡易邏輯． 【分析】 （ 1）運用不等式的性質(zhì)，結(jié)合條件 a， b， c， d均為正數(shù)，且 a+b=c+d， ab＞ cd，即可得證； （ 2）從兩方面證， ① 若 + ＞ + ，證得 |a﹣ b|＜ |c﹣ d|， ② 若 |a﹣ b|＜ |c﹣ d|，證得 + ＞ + ，注意運用不等式的性質(zhì)，即可得證． 【解答】 證明：（ 1）由于（ + ） 2=a+b+2 ， （ + ） 2=c+d+2 ， 由 a， b， c， d均為正數(shù)，且 a+b=c+d， ab＞ cd， 則 ＞ ， 即有（ + ） 2＞（ + ） 2， 則 + ＞ + ； （ 2） ① 若 + ＞ + ，則（ + ） 2＞（ + ） 2， 即為 a+b+2 ＞ c+d+2 ， 由 a+b=c+d，則 ab＞ cd， 于是（ a﹣ b） 2=（ a+b） 2﹣ 4ab， （ c﹣ d） 2=（ c+d） 2﹣ 4cd， 即有 （ a﹣ b） 2＜（ c﹣ d） 2，即為 |a﹣ b|＜ |c﹣ d|； ② 若 |a﹣ b|＜ |c﹣ d|，則（ a﹣ b） 2＜（ c﹣ d） 2， 即有（ a+b） 2﹣ 4ab＜（ c+d） 2﹣ 4cd， 由 a+b=c+d，則 ab＞ cd， 則有（ + ） 2＞（ + ） 2． 綜上可得， + ＞ + 是 |a﹣ b|＜ |c﹣ d|的充要條件． 【點評】 本題考查不等式的證明，主要考查不等式的性質(zhì)的運用，同時考查充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題． 18．（ 12分）（ 2020?屯溪區(qū)校級模擬）已知 A、 B、 C為 △ABC 的三內(nèi)角，且其對邊分別為 a、b、 c．若向量 = ， ，向量 =（ 1， ，且 =﹣ 1． （ 1）求 A的值； （ 2）若 ，三角形面積 ，求 b+c的值． 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算；兩 角和與差的正弦函數(shù)；余弦定理． 【專題】 解三角形． 【分析】 （ 1）由 2 =﹣ 1求得得 ，又 A∈ （ 0， π ），從而求得 A的值． （ 2）由三角形面積 ，求得 bc=4，再根據(jù)余弦定理求得 b+c的值． 【解答】 解：（ 1） ∵ 向量 ，向量 ，且 2 =﹣ 1． ∴ ， ? （ 3分） 求得 ，又 A∈ （ 0， π ），所以， ． ? （ 5分） （ 2） ， ∴bc=4 ． ? （ 7分） 又由余弦定理得： ． ? （ 9分） ∴16= （ b+c） 2，所以 b+c=4． ? （ 12 分 ） 【點評】 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題． 19．（ 12分）（ 2020?新課標(biāo) II）在直角坐標(biāo)系 xOy中，曲線 C1： （ t為參數(shù)， t≠0 ），其中 0≤α≤π ，在以 O為極點， x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線 C2： ρ=2sinθ ， C3：ρ=2 cosθ ． （ 1）求 C2與 C3交點的直角坐標(biāo)； （ 2）若 C1與 C2相交于點 A， C1與 C3相交于點 B，求 |AB|的最大值． 【考點 】 簡單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程． 【專題】 坐標(biāo)系和參數(shù)方程． 【分析】 （ I）由曲線 C2： ρ=2sinθ ，化為 ρ 2=2ρsinθ ，把 代入可得直角坐標(biāo)方程．同理由 C3： ρ=2 cosθ ．可得直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立解出可得 C2與 C3交點的直角坐標(biāo)． （ 2）由曲線 C1的參數(shù)方程，消去參數(shù) t，化為普通方程： y=xtanα ，其中 0≤α≤π ，其極坐標(biāo)方程為： θ=α （ ρ ∈ R， ρ≠0 ），利用 |AB|= 即可得出． 【解答】 解：（ I）由曲線 C2： ρ=2sinθ ，化為 ρ 2=2ρsinθ ， ∴x 2+y2=2y． 同理由 C3：
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