線性代數(shù)電子教程15(2)(二次型標準化)-在線瀏覽
2025-02-03 11:24本頁面
【正文】 ? 若 與 合同，則 . )()( BRAR ?? 經可逆變換 后，二次型的矩陣由 變 為與 合同的矩陣 , 且二次型的秩不變 . Cyx ?AA ACC T13 把二次型化成標準形相當于把對稱陣 用合 同變換化成對角陣 (稱為把對稱陣合同對角化 )， A3. 化二次型為標準形 對二次型 作可逆變換 ， Axxf T? Cyx ?相當于對對稱陣 作合同變換； A即尋找可逆陣 , 使 . C ACC T ),( 21 nkkkdiag ??定理 8 任給二次型 , 總 )( AAAxxf TT ?? ,2222211 nn yyyf ??? ???? ?其中 是 的矩陣 的特征值 . n??? , 21 ?fA即任何二次型都可用正交變換化為標準形 . 存在正交變換 ，使 化為標準形 f Pyx ?14 推論 任給二次型 ，總 )( AAAxxf TT ??有可逆變換 ，使 為規(guī)范形 . Czx ? )(Czf即任何二次型都可用可逆變換化為標準形 . 4. 用正交變換化二次型為標準形的步驟： 證明 ⑴ 寫出二次型的矩陣 ； A⑵ 求出 的特征值； A⑶ 求出 的兩兩正交的單位特征向量； ⑷ 用 表示在中⑶求得的特征向量構成的矩 陣，寫出所求的正交變換 和二次型 的標準型 . P Pyx ?15 例 1 已知二次型 ,22223),( 222 zxxyzyxzyxf ?????用正交變換把二次型 化為標準形，并寫出相 應的正交矩陣 . f解 析：此題是一道典型例題 . 目的是熟悉用正 交變換化二次型為標準形的“標準程序” . ⑴ 寫出二次型對應的矩陣 二次型 對應的矩陣為 f???????????201021113A16 ⑵ 求 的特征值 A?????????201021113EA??????20102201313 cc ? 32 rr ? )4)(2)(1( ????? ???由 ，求得 的特征值為 0?? EA ?A ,11 ?? ,22 ?? .43 ??例1解答 17 ⑶ 求 的兩兩正交的單位特征向量 A例1解答 對應 ，解方程 ，由 11 ?? 0)( ?? xEA ????????????101011112EAr,000110101???????????得基礎解系為 ,1111?????????? ???將其單位化，得 。sin39。 22 ?? nymx???????????cos39。y139。《線 性 代 數(shù)》 電子教案之十六 1 主要內容 第十四講 二次型 ?二次型的概念，二次型的秩，二次型的矩陣 表示式等概念； ?二次型的標準形，合同矩陣，用正交變換將 二次型化為標準形的方法和步驟； ?配方法化二次型為標準形的方法，慣性定理； ?二次型的正定性，正定二次型的性質與判別法 . 2 基本要求 ?熟悉二次型及其矩陣表示，知道二次型的秩， 掌握用正交變換把二次型化為標準形的方法； ?會用配方法化二次型為標準形 (規(guī)范形 )，知道 慣性定理 . ?知道二次型的正定性及其判別法 . 3 一、二次型的概念 第五節(jié) 二次型及其標準形 1. 概念的引入 122 ??? cybxyaxxy 39。x39。39。sin39。cos39。111311?????????? ??p18 例1解答 對應 ，解方程 ，由 22 ?? 0)2( ?? xEA ????????????0010011112 EAr,000110001??????????得基礎解系為 ,1102?????????????將其單位化，得 。39。zyxPzyx原二次型化為標準形 .39。239。2221 yyf ??,100210111?????????????C).01( ??C28 二、情形 2 的系數(shù) 21x 011 ?a例 4 用拉格朗日配方法化二次型 323121622 xxxxxxf ???成規(guī)范形，并求所用的變換矩陣 . 解 3213212121 )(6)(2))(
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