【正文】 。 注意 ， ?0時(shí)，呈振蕩衰減狀。 至于衰減的形式，要看 AR(2)特征根的實(shí)虛性， 若為實(shí)根，則呈單調(diào)或振蕩型衰減，若為虛根，則呈正弦波型衰減。 如果 AR(p)是穩(wěn)定的，則 |?k|遞減且趨于零 。 因此 ， 當(dāng) 1/zi均為實(shí)數(shù)根時(shí) ， ?k呈幾何型衰減（ 單調(diào)或振蕩 ） ； 當(dāng)存在虛數(shù)根時(shí) ， 則一對(duì)共扼復(fù)根構(gòu)成通解中的一個(gè)阻尼正弦波項(xiàng) ， ?k呈正弦波衰減 。 例如，在 AR(1)隨機(jī)過程中， Xt與 Xt2間有相關(guān)性可能主要是由于它們各自與 Xt1間的相關(guān)性帶來(lái)的 : 即自相關(guān)函數(shù)中包含了這種所有的“間接”相關(guān)。 )()( 2112122 ?????? tttt XXEXXE??? 從 Xt中去掉 Xt1的影響，則只剩下隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng) ?t，顯然它與 Xt2無(wú)關(guān)，因此我們說(shuō) Xt與 Xt2的 偏自相關(guān)系數(shù) 為零，記為 在 AR(1)中， 0),( 2*2 ?? ?tt XC o r r ?? 同樣地， 在 AR(p)過程中 ，對(duì)所有的 kp， Xt與 Xtk間的偏自相關(guān)系數(shù) 為零。 一隨機(jī)時(shí)間序列的識(shí)別原則： 若 Xt的偏自相關(guān)函數(shù)在 p以后截尾 ， 即 kp時(shí) ， ?k*=0， 而它的自相關(guān)函數(shù) ?k是拖尾的 ， 則此序列是自回歸 AR(p)序列 。但可以證明，當(dāng) kp時(shí)， rk*服從如下漸近正態(tài)分布 : rk*~N(0,1/n) 式中 n表示樣本容量。 nrk2|| * ? 對(duì) MA(1)過程 MA(q)過程 1??? tttX ???可容易地寫出它的 自協(xié)方差系數(shù) ： 0)1(3221220??????????????????于是 ， MA(1)過程的 自相關(guān)函數(shù) 為： 0)1(3221????????????可見， 當(dāng) k1時(shí)， ?k0，即 Xt與 Xtk不相關(guān)， MA(1)自相關(guān)函數(shù)是截尾的。 注意 : (*)式只有當(dāng) |?|1時(shí)才有意義，否則意味著距 Xt越遠(yuǎn)的 X值，對(duì) Xt的影響越大，顯然不符合常理。 其 自協(xié)方差系數(shù) 為 一般地， q階移動(dòng)平均過程 MA(q) qtqtttX ?? ???? ????? ?11??????????????????? ???qkqkkXXEr qkqkkqkttk當(dāng)當(dāng)當(dāng)01)(0)1()( 112222212??????????????相應(yīng)的 自相關(guān)函數(shù) 為 ? ? ? ? ? ? ? ?k k k k q k q qrrkk qk q? ??? ? ? ? ? ? ? ? ???????? ?01 1 12 21 01 10當(dāng)當(dāng)當(dāng)( ) / ( )? ? 可見 ， 當(dāng) kq時(shí) ， Xt與 Xtk不相關(guān) ， 即存在截尾現(xiàn)象 ，因此 ， 當(dāng) kq時(shí) ， ?k=0是 MA(q)的一個(gè)特征 。 與 MA(1)相仿，可以驗(yàn)證 MA(q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)是非截尾但趨于零的。 同樣需要注意的是 ：在實(shí)際識(shí)別時(shí)，由于樣本自相關(guān)函數(shù) rk是總體自相關(guān)函數(shù) ?k的一個(gè)估計(jì)，由于樣本的隨機(jī)性，當(dāng) kq時(shí)， rk不會(huì)全為 0，而是在 0的上下波動(dòng)。 因此， 如果計(jì)算的 rk滿足： nrk 2|| ?我們 就有 %的把握判斷原時(shí)間序列在 q之后截尾 。 當(dāng) p=0時(shí)，它具有截尾性質(zhì) ； 當(dāng) q=0時(shí)，它具有拖尾性質(zhì)； 當(dāng) p、 q都不為 0時(shí)，它具有拖尾性質(zhì) 從識(shí)別上看，通常： ARMA(p， q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)（ PACF） 可能在 p階滯后前有幾項(xiàng)明顯的尖柱（ spikes），但從 p階滯后項(xiàng)開始逐漸趨向于零； 而 它的自相關(guān)函數(shù)（ ACF） 則是在 q階滯后前有幾項(xiàng)明顯的尖柱，從 q階滯后項(xiàng)開始逐漸趨向于零。 下面有選擇地加以介紹 。 該方程組建立了 AR(p)模型的模型參數(shù) ?1,?2,?,?p與自相關(guān)函數(shù)?1,?2,?,?p的關(guān)系， 利用實(shí)際時(shí)間序列提供的信息 ， 首先 求得自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值 然后 利用 Yule Walker方程組，求解模型參數(shù)的估計(jì)值 ? , ? , , ?? ? ?1 2 ? p? , ? , , ?? ? ?1 2 ? p???? ? ?? ? ?? ? ???????? ? ?? ? ?? ? ????120 1 11 0 21 2 0112??????pppp p p?????????????????????????????????????????????? ??由于 ptpttt XXX ?? ???? ??? ?11于是 ?? ????? pji ijjitE1,022 ?????? ? ?從而可得 ??2的估計(jì)值 ?????pjiijji1,02 ????? ??????在具體計(jì)算時(shí)， k?? 可用樣本自相關(guān)函數(shù) rk替代。 常用的迭代方法有 線性迭代法 和 NewtonRaphsan迭代法 。 （ 2） MA(q)模型的迭代算法 對(duì)于 q1的 MA(q)模型，一般用迭代算法估計(jì)參數(shù)： 由（ *）式得 ????????????????????? qkqkkkkq??????????????????????????1??2211222102??第一步 ，給出 的一組初值，比如 k???? ? ?,?,?,? 212 ?02 ?)0(? ?? ? ? 0)0(?)0(?)0(? 21 ??? k??? ?代入（ **）式，計(jì)算出第一次迭代值 02 ?)1(? ?? ? ? 0??)1(? ??? kk ??（ **） 第二步 ，將第一次迭代值代入（ **）式，計(jì)算出第二次迭代值 ))1(?)1(?)1(?)1(???()2(?))1(?)1(?1/(?)2(?11022102qkqkkkq??????????? ??? ??????????? 按此反復(fù)迭代下去，直到第 m步的迭代值與第 m1步的迭代值相差不大時(shí)（滿足一定的精度），便停止迭代，并用第 m步的迭代結(jié)果作為（ **）的近似解。 第二步， 改寫模型，求 ?1,?2,?,?q以及 ??2的估計(jì)值 將模型 tptpttt XXXX ???? ????? ??? ?2211 qtqtt ??? ???? ?????? ?2211 改寫為： tptpttt XXXX ???? ????? ??? ?2211 qtqtt ??? ???? ?????? ?2211令 ptptttt XXXXX ??? ????? ??? ???~ 2211 ?于是 (*)可以寫成： (*) qtqtttt ??? ????? ??????? ?2211~ 構(gòu)成一個(gè) MA模型。 ⒋ AR(p)的最小二乘估計(jì) 假設(shè)模型 AR(p)的參數(shù)估計(jì)值已經(jīng)得到，即有 tptpttt XXXX ???? ???? 2211 ????? ??? ? 殘差的平方和為： 21 221112 )???(?)?( ???? ??????????? npt ptptttnpt tXXXXS ????? ?(*) 根據(jù)最小二乘原理，所要求的參數(shù)估計(jì)值是下列方程組的解： ???Sj?? 0即 0)???(1 2211????? ??? ???? jtnpt ptptttXXXXX ??? ?j=1,2,? ,p (**) 解該方程組，就可得到待估參數(shù)的估計(jì)值。 Yule Walker方程組的解 ???? ? ?? ? ?? ? ???????? ? ?? ? ?? ? ????120 1 11 0 21 2 0112??????pppp p p?????????????????????????????????????????????? ??比較發(fā)現(xiàn)，當(dāng) n足夠大時(shí)，二者是相似的。 如果包含常數(shù)項(xiàng)，該常數(shù)項(xiàng)并不影響模型的原有性質(zhì) ，因?yàn)橥ㄟ^適當(dāng)?shù)淖冃危蓪?shù)項(xiàng)的模型轉(zhuǎn)換為不含常數(shù)項(xiàng)的模型。 對(duì)含有常數(shù)項(xiàng)的模型 qtqttptptt XXX ???? ???????? ???????? ?? 1111方程兩邊同減 ?/(1?1??p)，則可得到 qtqttptptt xxx ???? ??????? ??????? ?? 1111其中 ? ?pii Xx ??? ????? ?11 pttti ??? ,1, ? 五、模型的檢驗(yàn) 由于 ARMA(p,q)模型的識(shí)別與估計(jì)是在假設(shè)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)是一白噪聲的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，因此， 如果估計(jì)的模型確認(rèn)正確的話，殘差應(yīng)代表一白噪聲序列 。 在實(shí)際檢驗(yàn)時(shí)，主要檢驗(yàn)殘差序列是否存在自相關(guān) 。 若大于相應(yīng)臨界值，則應(yīng)拒絕所估計(jì)的模型，需重新識(shí)別與估計(jì)。