工程力學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)13點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)-在線瀏覽
2024-10-03 10:42本頁(yè)面
【正文】 位矢、 速度和加速度 TSINGHUA UNIVERSITY x z y O y x z j i k r a v P 不受約束的點(diǎn)在空間有 3個(gè)自由度，在直角坐標(biāo) 系中，點(diǎn)在空間的位置由 3個(gè)方程確定： x = f1(t) y = f2(t) z = f3(t) 描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法 ? 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué) ? 位矢、 速度和加速度 TSINGHUA UNIVERSITY x z y O y x z j i k r a v P 將矢徑表示成 kjir zyx ???)( )(kjikjirv???????zyxzyx???????0??? kji ???考慮到在 Oxyz定參考系中， i、 j、 k均為常矢量 描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法 點(diǎn)的速度為： kjikjirv zyx vvvzyx ??????? ????? 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué) ? 位矢、 速度和加速度 TSINGHUA UNIVERSITY x z y O y x z r a v 描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法 kjikjirv zyx vvvzyx ??????? ????zvyvxv zyx ??? ??? ,P ? 點(diǎn)的速度矢量在直角坐標(biāo)軸上的投影等于點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。 ? 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué) ? 位矢、 速度和加速度 TSINGHUA UNIVERSITY 如果已知點(diǎn)的軌跡，則可在軌跡上任取一點(diǎn)為原點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)的點(diǎn) P至原點(diǎn)的弧長(zhǎng) s＝ OP，并且規(guī)定：原點(diǎn) O的某一側(cè)弧長(zhǎng)為正；另一側(cè)為負(fù)?；∽鴺?biāo) s完全確定了動(dòng)點(diǎn) P在軌跡上的位置。 )(tss ?描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的弧坐標(biāo)法 ? 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué) ? 位矢、 速度和加速度 TSINGHUA UNIVERSITY 弧坐標(biāo)具有以下要素： 有坐標(biāo)原點(diǎn) (一般在軌跡上 任選一參考點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn) )； 有正、負(fù)方向 (一般以點(diǎn)的 運(yùn)動(dòng)方向作為正向 )； 有相應(yīng)的坐標(biāo)系。 ? 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué) ? 位矢、 速度和加速度 TSINGHUA UNIVERSITY 幾點(diǎn)討論 τv τv?? 若 0?s? 0?τv則 ， 即點(diǎn)沿著 s+的方向運(yùn)動(dòng)； 反之點(diǎn)沿著 s－ 的方向運(yùn)動(dòng)； ? τv τv? 中 v? 和 ? 分別表示速度的大小與方向。 ?? ? ?????ττ0limdd??? ?????2s in2lim0τ? 弧坐標(biāo)中的加速度表示 P ?? ? ?s P39。 nτ ??dd?? ? ?????ττ0limdd??? ?????2s in2lim0τ? 弧坐標(biāo)中的加速度表示 ? 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué) ? 位矢、 速度和加速度 TSINGHUA UNIVERSITY tsst dddddddd ???? ??τττ?? 弧坐標(biāo)中的加速度表示 ττa ?? τvvτ ?? ??τ?d1d s???? 曲率dds svt ?＝ ?ddτ n? ?nτa??2τdd vtv ??? 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué) ? 位矢、 速度和加速度 TSINGHUA UNIVERSITY ? 弧坐標(biāo)中的加速度表示 2τtndda τ n n a a nvv aat? ? ? ? ? ?? ???stva ???? dd ??－ 切向加速度 ??2va n ?－ 法向加速度 ? 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué) ? 位矢、 速度和加速度 TSINGHUA UNIVERSITY 幾點(diǎn)討論 ddvast?? ??? 切向加速度 表示速度矢量大小的變化率； 2nva ???? 法向加速度 表示速度矢量方向的變化率； ? 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué) ? 位矢、 速度和加速度 TSINGHUA UNIVERSITY ? 自然軸系 當(dāng)運(yùn)動(dòng)軌跡為空間曲線時(shí) ， 弧坐標(biāo)系中所得到的結(jié)論同樣成立 ， 只需將弧坐標(biāo)系擴(kuò)展為自然軸系 。 ? 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué) ? 位矢、 速度和加速度 TSINGHUA UNIVERSITY 密切面 s s + P T(切線 ) N(主法線 ) B(副法線 ) P－ 空間曲線上的動(dòng)點(diǎn)； T－ 過(guò)動(dòng)點(diǎn) P的密切面內(nèi)的切線，其正向指向弧坐標(biāo)正向； N－ 密切面內(nèi)垂直于切線的直線，其正向指向曲率中心； B－ 過(guò)動(dòng)點(diǎn) P垂直于切線和主法線的直線，其正向由 B＝ T?N確定 。 于是上述關(guān)于速度和加速度的公式和結(jié)論均成立 。 ? 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué) ? 位矢、 速度和加速度 TSINGHUA UNIVERSITY ? 自然軸系 P－ TNB ? 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué) ? 位矢、 速度和加速度 自然軸系的特點(diǎn) 跟隨動(dòng)點(diǎn)在軌 跡上作空間曲線 運(yùn)動(dòng)。 ? 空間曲線上的任意點(diǎn)無(wú)窮小鄰域內(nèi)的一段弧長(zhǎng)，可以看作是位于密切面內(nèi)的平面曲線。 ? 曲線在垂直于密切面的平面內(nèi)的曲率，稱為第二曲率。 TSINGHUA UNIVERSITY 例 題 1 ,O A A B A C l B P d??? ? ? ?＝ ＝常數(shù),橢圓規(guī)機(jī)構(gòu) 求： P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、速度、加速度。 ? 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué) ? 位矢、 速度和加速度 TSINGHUA UNIVERSITY 例 題 1 描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法 P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程： 從中消去 t 得到 P點(diǎn)的軌跡方程 1222?????????????? ? dydl x建立固定參考系 Oxy； 將所考察的點(diǎn)置于坐標(biāo)系中的一般位置； 根據(jù)已知的約束條件列寫點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。 關(guān)于 P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)：何時(shí)作加速度運(yùn)動(dòng)？何時(shí)作減速度運(yùn)動(dòng)？ 這一問題請(qǐng)同學(xué)們自己研究。 R v0 A ? 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué) ? 位矢、 速度和加速度 TSINGHUA UNIVERSITY M ?????????c o ss inAMACyAMOCx ( si n )(1 c o s )xRyR??????????例 題 2 于是 M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為： 解： 1. 建立坐標(biāo)系 Oxy ?RCMOCx A ??? 取點(diǎn) M所在的一個(gè)最低位置為原點(diǎn) O， 設(shè)在任意時(shí)刻 t圓盤的轉(zhuǎn)過(guò)的角度為 ?CAM＝ ?， ?為時(shí)間 t的函數(shù) ， C是圓盤與軌道的接觸點(diǎn) ，由于圓盤作純滾動(dòng) ， 所以： ? 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué) ? 位矢、 速度和加速度 TSINGHUA UNIVERSITY ?????????c o ss inAMACyAMOCx ( si n )(1 c o s )xRyR??????????點(diǎn) M的速度分量為： (1 c o s )s inxRyR??????? ?? ?22(1 c o s ) s ins in c o sx R Ry R R? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ??? ?加速度分量為： 于是 M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為： M a ? 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué) ?
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