【正文】 到最優(yōu)化。在很多實(shí)際應(yīng)用中，數(shù)字濾波器常常被用來實(shí)現(xiàn)選頻操作。幅度指標(biāo)主要以兩種方式給出。它提供對幅度響應(yīng)函數(shù)的要求，一般應(yīng)用于FIR濾波器的設(shè)計。它以分貝值的形式給出要求。對于相位響應(yīng)指標(biāo)形式，通常希望系統(tǒng)在通頻帶中具有線性相位。確定了技術(shù)指標(biāo)后，就可以建立一個目標(biāo)的數(shù)字濾波器模型。之后，利用數(shù)字濾波器的設(shè)計方法，設(shè)計出一個實(shí)際濾波器模型來逼近給定的目標(biāo)。軟件可以由使用者自己編寫或使用現(xiàn)成的。這種實(shí)現(xiàn)方法速度較慢，多用于教學(xué)與科研。目前單片機(jī)的發(fā)展速度很快，功能也很強(qiáng)依靠單片機(jī)的硬件環(huán)境和信號處理軟件可用于工程實(shí)際，如數(shù)字控制、醫(yī)療儀器等。DSP芯片較之單片機(jī)有著更為突出的優(yōu)點(diǎn)，如內(nèi)部帶有乘法器、累加器，采用流水線工作方式及并行結(jié)構(gòu)，多總線，速度快，配有適于信號處理的指令等，DSP芯片的問世及飛速發(fā)展，為信號處理技術(shù)應(yīng)用于工程實(shí)際提供了可能。自適應(yīng)濾波器實(shí)質(zhì)上就是一種能調(diào)節(jié)其自身傳輸特性以達(dá)到最優(yōu)的維納濾波器。由于無法預(yù)先知道信號和噪聲的特性或者它們是隨時間變化的，僅僅用FIR和IIR兩種具有固定濾波系數(shù)的濾波器無法實(shí)現(xiàn)最優(yōu)濾波。自適應(yīng)濾波器的特性變化是由自適應(yīng)算法通過調(diào)整濾波器系數(shù)來實(shí)現(xiàn)的。濾波器是參數(shù)可變的。自適應(yīng)濾波器實(shí)際上是一種能夠自動調(diào)整本身參數(shù)的特殊維納濾波器，在設(shè)計時不需要預(yù)先知道關(guān)十輸入信號和噪聲的統(tǒng)計特性，它能夠在工作過程中逐步了解或估計出所需的統(tǒng)計特性，并以此為依據(jù)自動調(diào)整自身的參數(shù)，以達(dá)到最佳濾波效果。一般而言，自適應(yīng)濾波器由可編程濾波器(濾波部分)和自適應(yīng)算法(控制部分)兩部分組成。可編程濾波器可以是FIR橫式濾波器、IIR橫式濾波器以及格型濾波器。根據(jù)濾波器的輸出端信號與輸入端信號之間的函數(shù)關(guān)系，自適應(yīng)濾波器可以分為線性自適應(yīng)濾波器和非線性自適應(yīng)濾波器。非線性自適應(yīng)濾波器具有更強(qiáng)的信號處理能力，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有著明顯的優(yōu)勢，具有通過監(jiān)督學(xué)習(xí)逼近未知非線性輸入輸出映射的能力。線性自適應(yīng)濾波器的結(jié)構(gòu)可以是FIR型結(jié)構(gòu)，也可以是IIR型結(jié)構(gòu)。所以在實(shí)際應(yīng)用中一般都采用FIR型結(jié)構(gòu)，主要是因?yàn)?FIR結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)技術(shù)實(shí)現(xiàn)更容易，其權(quán)系數(shù)的修正就就是濾波器性能的調(diào)整，同時 FIR結(jié)構(gòu)的濾波器是絕對穩(wěn)定的，目_具有更好的魯棒性，這也更適合實(shí)時嵌入式應(yīng)用。一個自適應(yīng)的FIR濾波器的結(jié)構(gòu)，可以是橫截型結(jié)構(gòu)，對稱的橫截型結(jié)構(gòu)以及格型結(jié)構(gòu)。對稱的橫截型結(jié)構(gòu)可滿足符合對稱性條件的FIR濾波器，具有權(quán)系數(shù)少，計算量小的特點(diǎn)，并可以用流水線提高性能，但收到對稱性條件的約束。 自適應(yīng)濾波器的結(jié)構(gòu)自適應(yīng)濾波器的結(jié)構(gòu)與算法有著密切的聯(lián)系，因?yàn)樽赃m應(yīng)濾波器既要估計濾波器能實(shí)現(xiàn)期望信號的輸出，又要估計濾波參數(shù)朝有利于目標(biāo)方向的調(diào)整，并保證濾波器的穩(wěn)定工作。另外，不同的結(jié)構(gòu)還有特定的應(yīng)用場合，需要根據(jù)實(shí)際環(huán)境來選擇相應(yīng)的結(jié)構(gòu)和算法。本文采用自適應(yīng)濾波器設(shè)計中最常用的FIR橫向型結(jié)構(gòu)。它是研究所有自適應(yīng)濾波算法的基本結(jié)構(gòu)，由于其結(jié)構(gòu)簡單、成本較低，也是工程領(lǐng)域最常用的一種自適應(yīng)濾波器。它利用正規(guī)直接形式實(shí)現(xiàn)全零點(diǎn)傳輸函數(shù)，而不采用反饋調(diào)節(jié)。第三章 自適應(yīng)濾波器遞歸最小二乘算法 遞歸最小二乘算法 遞歸最小二乘算法簡介用最小二乘法解決線性濾波問題，這種方法不需要對濾波器輸入信號的統(tǒng)計特性進(jìn)行假設(shè)。要求構(gòu)造一條曲線，這條曲線能夠以某種最優(yōu)方式擬合這些數(shù)據(jù)點(diǎn)。根據(jù)最小二乘法，“最優(yōu)”擬合是使與，之差的平方和最小。本質(zhì)上，維納濾波是從集平均導(dǎo)出的，其結(jié)果是一種統(tǒng)計意義上最優(yōu)的、在各種現(xiàn)實(shí)運(yùn)行環(huán)境下獲得的濾波器；并假定該濾波器是廣義平穩(wěn)的。具體來說，由于它涉及使用時間平均，故其濾波器結(jié)果取決于計算所用的樣本數(shù)。這種濾波器通過一個數(shù)據(jù)塊接一個數(shù)據(jù)塊的重復(fù)計算來適應(yīng)非平穩(wěn)數(shù)據(jù)。我們先看最小二乘算法的推導(dǎo)。通過組成抽頭與相應(yīng)的抽頭權(quán)值之間的內(nèi)積，并用作為期望響應(yīng)，我們將誤差定義為期望響應(yīng)和濾波器輸出之間的差值，即 (31) 其中 (32)將式（32）代入（31）式可得 (33)在最小二乘法中，橫向?yàn)V波器抽頭權(quán)值的選擇應(yīng)該使得誤差平方和構(gòu)成的代價函數(shù)最小?？偟膩碚f，我們要解決的問題就是將式（33）代入式（34），然后得到代價函數(shù)在的間隔保持不變。和取值取決于數(shù)據(jù)開窗的情況。這里我們用到協(xié)方差法數(shù)據(jù)開窗。因此，由定義的極限范圍和可以將輸入數(shù)據(jù)用矩陣表示為 (35)將式（34）改寫為 (36)設(shè)第k個抽頭權(quán)值用實(shí)部和虛部表示為 (37)將式（37）代入式（33），可得 (38)代價函數(shù)對抽頭權(quán)值實(shí)部虛部的導(dǎo)數(shù) (39)得 (310)為了使得代價函數(shù)關(guān)于橫向?yàn)V波器抽頭權(quán)值最小，要求同時滿足下列條件 (311)用表示按照式（311）使代價函數(shù)最小時求出的估計誤差的特殊值。在最小二乘的條件下，最小誤差時間序列與橫向?yàn)V波器第k個抽頭上的輸入序列正交，k為橫向?yàn)V波器長度。令式（33）中的抽頭權(quán)值為最小二乘意義下的最優(yōu)權(quán)值，可得 (313)將式（313）代入式（312），整理后得到M個聯(lián)立方程組 (314)式（314）中兩個以i為下標(biāo)的和式表示求時間平均，知識沒考慮比例因子。將式（317）表示的方程組改寫為矩陣形式。假定是非奇異矩陣，因此逆矩陣存在，可由式（321）解得線性最小二乘濾波器的抽頭權(quán)向量為 (322)式（322）是一個很重要的結(jié)論：它是矩陣的維納霍夫方程在線性最小二乘條件下的解。 加權(quán)因子和正則化另外，習(xí)慣上還在的定義中引入加權(quán)因子。一般來說，加權(quán)因子其目的在于確保濾波器能夠忘記“過去的”數(shù)據(jù)以確保算法適用于非平穩(wěn)的環(huán)境，能跟蹤觀測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計變化。在該問題中，給定構(gòu)成抽頭輸入向量的輸入數(shù)據(jù)和相應(yīng)的期望響應(yīng)，要求出估計出多重回歸模型的位置參數(shù)向量，該向量與和有關(guān)。2． 在輸入數(shù)據(jù)中不可避免地存在著噪聲或不確定的精確性，這為構(gòu)建輸入輸出映射關(guān)系增加了不確定性。這意味著必須擴(kuò)展代價函數(shù)公式，使其能考慮先驗(yàn)信息。）代價函數(shù)的兩個分量如下：1) 誤差加權(quán)平方和 (328)它與輸入數(shù)據(jù)有關(guān)。將這一項(xiàng)包含在代價函數(shù)中，一遍通過平滑作用來穩(wěn)定遞歸最小二乘問題的解。容易發(fā)現(xiàn)，增加正則化項(xiàng)還有這樣的作用：它使得相關(guān)矩陣在從開始的整個計算過程中非奇異。橫向?yàn)V波器抽頭輸入與期望響應(yīng)之間的時間平均互相關(guān)向量為 (332)它將不受正則化的影響，依然假定使用預(yù)加窗法。于是，可使得用于更新抽頭輸入相關(guān)矩陣的遞歸公式 (335)其中是相關(guān)矩陣的過去值，矩陣乘積在更新過程中起著修正的作用。類似的，可用式（332）導(dǎo)出抽頭輸入與期望響應(yīng)之間互相關(guān)向量的更新公式 (336)為了按式（331）計算抽頭權(quán)向量的最小二乘估計，必須確定相關(guān)矩陣的逆。為此，我們先引入一個著名的結(jié)果——矩陣求逆引理。根據(jù)矩陣求逆引理，可將的矩陣表示為 (338)假定相關(guān)矩陣是非奇異的，因而它可逆。式（343）是RLS算法的Riccati方程。因此，我們可將式（345）簡化為 (346)這一結(jié)論，連同，可以用來定義增益向量 (347)換句話說，增益向量可定義為經(jīng)相關(guān)矩陣逆矩陣變換的抽頭輸入向量。為此，用式（331）、式（336）和式（341）來表示抽頭權(quán)向量n次迭代的最小二乘估計 (348)將式（348）右邊第一項(xiàng)中用式（343）代替，可得 (349)最后，應(yīng)用等于增益向量，可使得更新抽頭權(quán)向量的遞歸方程為 (350)其中 (351)是一個先驗(yàn)誤差。 RLS算法小結(jié)算法初始化 (352)對每一時刻，計算 (353) (354) (355) (356)(RLS)算法的性能分析RLS(遞推最小二乘法)算法的關(guān)鍵是用二乘方的時間平均的最小化鋸帶最小均方準(zhǔn)則，并按時間進(jìn)行迭代計算。它使誤差的總能量最小。該遺忘因子的引入，使RLS算法能夠?qū)Ψ瞧椒€(wěn)信號進(jìn)行跟蹤。本文后續(xù)實(shí)驗(yàn)部分默認(rèn)。第四章 基于MATLAB自適應(yīng)濾波器仿真MATLAB是由美國mathworks公司發(fā)布的主要面對科學(xué)計算、可視化以及交互式程序設(shè)計的高科技計算環(huán)境。MATLAB和Mathematica、Maple、MathCAD并稱為四大數(shù)學(xué)軟件。MATLAB可以進(jìn)行矩陣運(yùn)算、繪制函數(shù)和數(shù)據(jù)、實(shí)現(xiàn)算法、創(chuàng)建用戶界面、連接其他編程語言的程序等，主要應(yīng)用于工程計算、控制設(shè)計、信號處理與通訊、圖像處理、信號檢測、金融建模設(shè)計與分析等領(lǐng)域。 仿真框圖 正弦波去噪實(shí)驗(yàn)原始信號為單一正弦波，濾波器輸入信號為，輸出信號為。clc。seed39。rand(39。, 0) 。n=200。 b=*randn(1,N)。for i=1:N xr(1,i)=sin(k*2*pi*i/N)。 endDelta=。K=zeros(N,n)。 e=zeros(1,N)。 for i=n+1:N K(i,:)=(p*x(in+1:i)39。))39。 w(i,:)=w(i1,:)+e(1,i)*K(i,:)。*x(in+1:i)*p。 end figure(1) subplot(2,1,1)。r39。幅值39。xlabel(39。)。原始輸入信號xr時域圖39。plot(abs(fft(xr)))。ylabel(39。)。時間39。title(39。)。plot(0:Nn,x(1,n:N))title(39。) ylabel(39。)。時間39。gridsubplot(2,1,2)。grid。幅值39。xlabel(39。)。濾波器輸入信號x頻域圖39。figure(3) plot(0:Nn,e(1,n:N))。r39。hold on grid on。誤差信號e(t)和輸出信號y(t)39。gtext(39。),gtext(39。) figure(4) subplot(2,1,1)。ylabel(39。)。時間39。grid。幅值39。xlabel(39。)。誤差信號e頻域圖39。subplot(2,1,2)。grid。幅值39。xlabel(39。)。濾波器輸出信號y頻域圖39。運(yùn)行以上程序。藍(lán)色部分為誤差信號?？梢钥闯鲚敵鲂盘栴l率較集中。 濾波器正則化參數(shù)的確定RLS算法有兩個特殊的可變參數(shù)：抽頭輸入數(shù)據(jù)的信噪比，這個量由運(yùn)行的條件決定；正則化參數(shù)。來實(shí)現(xiàn)不同信噪比，分析正則化參數(shù)的在最佳選擇。實(shí)驗(yàn)組1：實(shí)驗(yàn)組2：程序如下：實(shí)驗(yàn)組1randn(39。, 0) 。seed39。 N=5000。 k=12。 x=(zeros(1,N))。x(1,i)=xr(1,i)+b(i)。p=(1/Delta)*eye(n)。 w=zeros(N,n)。 y=zeros(1,N)。 for i=n+1:N K(i,:)=(p*x(in+1:i)39。))39。 w(i,:)=w(i1,:)+e(1,i)*K(i,:)。*x(in+1:i)*p。 end figure(1) subplot(2,1,1)plot(0:Nn,e(1,n:N))。r39。hold on grid on。誤差信號e(t)和輸出信號y(t)39。ylabel(39。)。時間39。subplot(2,1,2)。r39。抽頭權(quán)值w的變化39。ylabel(39。)。時間39。運(yùn)行以上程序。 誤差信號輸出信號和抽頭權(quán)值w變化圖當(dāng)信噪比較高時，實(shí)驗(yàn)組1抽頭系數(shù)在4000開始收斂，實(shí)驗(yàn)組2抽頭系數(shù)在500開始收斂。不難看出，實(shí)驗(yàn)組2收斂速度更快。實(shí)驗(yàn)組1：實(shí)驗(yàn)組2：實(shí)驗(yàn)程序與高信噪比時大部分一樣，變動的語句：b=*randn(1,N)。， 誤差信號輸出信號和抽頭權(quán)值w變化圖 誤差信號輸出信號和抽頭權(quán)值w變化圖當(dāng)信噪比較低時，實(shí)驗(yàn)組1抽頭系數(shù)在1800開始收斂，誤差信號較小。綜合考慮。 結(jié)論綜合上述兩組對比實(shí)驗(yàn)，當(dāng)抽頭輸入噪聲電平低（即輸入信噪比較高）時，RLS算法的正則化系數(shù)取較小的正常數(shù)收斂速度更快，濾波效果也較好。 輸入信號不同對濾波效果的影響 輸入信號為周期信號原始信號輸入為周期三角波，噪聲方差為2。clc。seed39。rand(39。, 0) 。n=200。 b=2*randn(1,N)。x(1,i)=xr(1,i)+b(i)。xr=10*sawtooth(2*pi*5*t