基本不等式全題型-在線瀏覽
2024-09-15 04:52本頁面
【正文】 _．解析：由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥2，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，即m≤.1．已知正數(shù)x，y滿足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，則實(shí)數(shù)λ的最小值為________．解析：依題意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時取等號)，即的最大值是2；又λ≥，因此有λ≥2，即λ的最小值是2.答案：21．已知關(guān)于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為________．解析：因?yàn)閤a，所以2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2＋2a＝2a＋4，即2a＋4≥7，所以a≥，即a的最小值為.答案：5．圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0關(guān)于直線2ax－by＋2＝0 (a，b∈R)對稱，則ab的取值范圍是( )A. B. C. D.答案 A解析 由題可知直線2ax－by＋2＝0過圓心(－1,2)，故可得a＋b＝1，又因ab≤2＝ (a＝b時取等號)．故ab的取值范圍是.典例：(12分)已知a、b均為正實(shí)數(shù)，且a＋b＝1，求y＝的最小值．易錯分析 在求最值時兩次使用基本不等式，其中的等號不能同時成立，導(dǎo)致最小值不能取到．審題視角 (1)求函數(shù)最值問題，可以考慮利用基本不等式，但是利用基本不等式，必須保證“正、定、等”，而且還要符合已知條件．(2)可以考慮利用函數(shù)的單調(diào)性，但要注意變量的取值范圍．規(guī)范解答解 方法一 y＝＝＋≥＋2＝2＝2≥2＝2＝.[10分]當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時，y＝取最小值，最小值為.[12分]方法二 y＝＝ab＋＋＋＝ab＋＋＝ab＋＋＝＋ab－2.[8分]令t＝ab≤2＝，即t∈.又f(t)＝＋t在上是單調(diào)遞減的，[10分]∴當(dāng)t＝時，f(t)min＝，此時，a＝b＝.∴當(dāng)a＝b＝時，y有最小值.[12分]溫馨提醒 (1)這類題目考生總感到比較容易下手．但是解這類題目卻又常常出錯．(2)利用基本不等式求最值，一定要注意應(yīng)用條件：即一正、二定、三相等．否則求解時會出現(xiàn)等號成立、條件不具備而出錯．(3)本題出錯的原因前面已分析，關(guān)鍵是忽略了等號成立的條件.方法與技巧1．基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)(式)的大小或證明不等式，解決問題的關(guān)鍵是分析不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇好利用基本不等式的切入點(diǎn)．2．恒等變形：為了利用基本不等式，有時對給定的代數(shù)式要進(jìn)行適當(dāng)變形．比如：(1)當(dāng)x2時，x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4.(2)0x，x(8－3x)＝(3x)(8－3x)≤2＝.失誤與防范1．使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是對其前提“一正、二定、三相等”的忽視．要利用基本不等式求最值，這三個條件缺一不可．2．在運(yùn)用重要不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足重要不等式中“正”“定”“等”的條件．3．連續(xù)使用公式時取等號的條件很嚴(yán)格，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致．題型四：利用基本不等式整體換元例2：若正數(shù) a，b 滿足 ab＝a＋b＋3，求 ab 及 a＋b 的取值范圍． 思維突破：本題主要考查均值不等式在求最值時的運(yùn)用，并體現(xiàn)了換元法、構(gòu)造法等重要思想．自主解答：方法一：由ab＝a＋b＋3≥2＋3，即ab－2－3≥0. 即(－3)(＋1)≥0.∵≥0，∴＋1≥1.故－3≥0，∴ab≥9.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時取等號．又∵≤，∴ab＝a＋b＋3≤2.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時取等號．即(a＋b)2－4－12≥0，(a＋b－6)(a＋b＋2)≥0.∵a＋b＋2＞0，有a＋b－6≥0，即a＋b≥6.∴a＋b的取值范圍是[6，＋∞)．方法二：由ab＝a＋b＋3，則b＝.ab＝a＋＝a＋4＋＝a－1＋＋5≥2＋5＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時取等號．∴ab的取值范圍是[9，＋∞)．由ab＝a＋b＋3，得b＝，a＋b＝a＋＝a＋1＋＝(a－1)＋＋2≥2＋2＝6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時取等號．∴a＋b的取值范圍是[6，＋∞)．技巧總結(jié)：整體思想是分析這類題目的突破口，即a＋b與ab分別是統(tǒng)一的整體，把a(bǔ)＋b 轉(zhuǎn)換成ab 或把a(bǔ)b 轉(zhuǎn)換成a＋b.例3：已知正數(shù)a，b滿足a＋2b＝1，則＋的最小值是____．試解：＋＝＋＝3＋＋≥3＋2＝3＋2.易錯點(diǎn)評：多次利用基本不等式解題，沒有考慮等號能否同時成立。＝17＋＋≥17＋2＝25.當(dāng)且僅當(dāng)＝且＋＝1時，等號成立．∴x＝5，y＝20時，x＋y有最小值25.4．(2012泉州模擬)正數(shù)x，y滿足＋＝1.(1)求xy的最小值；(2)求x＋2y的最小值．解：
外語相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1