【正文】 趨勢是無限增大；而這些絕對值很大的數(shù)無論在自變量何種變化過程，其極限都為常數(shù)本身，并不會無限增大或減小．二、 無窮小Oxy11１．無窮小的定義 考察函數(shù)f(x)=x1，由圖可知，當(dāng)x從左右兩個方向無限趨近于1時，f(x)都無限地趨向于0．定義2 如果當(dāng)x174。x0時的無窮?。涀?0．例如，（１）因為(x1)=0，所以函數(shù)x1是當(dāng)x174。165。x0(或x174。等)時的無窮小． 性質(zhì)1 f(x)= (ai206。x0(或x174。等)時的無窮小，即有限個無窮小的代數(shù)組合仍然是無窮?。? 性質(zhì)2 f(x)=f1(x)f2(x) ... fn(x)是x174。165。x0(或x174。等)時是有界的，則g(x)fi (x)(i=1,2,...,n)是x174。165。0時的無窮?。鴟sin|163。165。 f(x)=A+a, =0．即當(dāng)x174。x0時的無窮小之和．證明： 必要性 設(shè)=A，令a=f(x)A，則f(x)=A+a，而　　　　　　　　　==0，即　　　　　　　　　a是當(dāng)x174。x0時的無窮小，則 　　==A．即f(x)的極限為A．三、 無窮大與無窮小的關(guān)系 定理 無窮大的倒數(shù)是無窮??；反之，在變化過程中不為零的無窮小的倒數(shù)為一個無窮大． 例3 求．解　因為=0，即是當(dāng)x174。1時的無窮大，所以　　　　　　=165。． 例5 求．解　因為，所以　　　　=165。 　 當(dāng)mn； 　　 　0， 　當(dāng)mn．167。0時函數(shù)的變化趨勢：x(弧度)......當(dāng)x取正值趨近于0時，174。0, x0, sin(x)0．于是 ．綜上所述，得 ． 的特點： (1)它是“”型，即若形式地應(yīng)用商求極限的法則，得到的結(jié)果是； (2)在分式中同時出現(xiàn)三角函數(shù)和x的冪． 推廣　　如果j(x)=0,(a可以是有限數(shù)x0, 177?；?65。0時t174。+165。+165。165。,(a可以是有限數(shù)x0, 177?；?65。165。)，則 　　　　　=e． 變形　令=t，則x174。時t174。因此通常稱之為1165。165。0，于是　　　==e –2．例7 求．解　令=1+u，則x=2－．當(dāng)x174。時u174。0時t174。16 函數(shù)的連續(xù)性 一、 函數(shù)在一點的連續(xù) 所謂“函數(shù)連續(xù)變化”， 在直觀上來看，它的圖象是連續(xù)不斷的，或者說“可以筆尖不離紙面地一筆畫成”；從數(shù)量上分析，當(dāng)自變量的變化微小時，函數(shù)值的變化也是很微小的．例如，函數(shù)（１）g(x)=x+1，（２）f1(x)= ，（３）f2(x)=，作出它們的圖像．2xyO y=11232xyOy=x+111Ox0等價于Dx=xx0174。 y=f(x)在x0處既左連續(xù)又右連續(xù)． 例2 討論函數(shù)f(x)= 在x=處的連續(xù)性．解　（１）f()=1；（２）由于f(x)= (1+cosx)=1+cos=1， 　　　　　f(x)= sinx=sin=1，所以　　　　　　　f(x)＝f(x)則 f(x) =1； （３）且f(x) =f()．因此　　　　　　　f(x)在x=處連續(xù)．二、 連續(xù)函數(shù)及其運算１．連續(xù)函數(shù)定義3 如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點都是連續(xù)的，則稱函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，或者說y=f(x)是(a,b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)．如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上定義，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，且在區(qū)間的兩個端點x=a與x=b處分別是右連續(xù)和左連續(xù)，即f(x)=f(a)，f(x)=f(b)，則稱函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，或者說f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)． 函數(shù)f(x)在它定義域內(nèi)的每一點都連續(xù)，則稱f(x)為連續(xù)函數(shù)． ２．連續(xù)函數(shù)的運算 定理1 如果函數(shù)f(x),g(x)在某一點x=x0處連續(xù)，則f(x)177。0)在點x=x0處都連續(xù)． 證明　因為f(x),g(x)在點x0處連續(xù)，所以 f(x)=f(x0), g(x)=g(x0)，由極限的運算法則，得到 [f(x)177。g(x)=f(x0) 177。 g(x)在點x0處連續(xù)． 同樣可證明后兩個結(jié)論． 注意　和、差、積的情況可以推廣到有限個函數(shù)的情形． 定理2(復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性)　設(shè)函數(shù)u=j(x)在點x0處連續(xù)，y=f(u)在u0處連續(xù)，u0=j(x0)，則復(fù)合函數(shù)y=f[j(x)]在點x0處連續(xù)，即f[j(x)]=f[j(x)]=f[j(x0)]． 推論 設(shè)j(x)存在為u0，函數(shù)y=f(u)在u0處連續(xù)，則 f[j(x)]=f[j(x)]． 即極限符號“”與連續(xù)的函數(shù)符號“f”可交換次序，即可以在函數(shù)內(nèi)求極限． ３．初等函數(shù)的連續(xù)性 基本初等函數(shù)以及常數(shù)函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的．初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的． 例3 求． 解　=sin(p1)=sin=1． 例4 求． 解　=． 例5 證明=1． 證明　==1． 例6 證明=1． 證明　令ex1=t，則x=ln(1+t)，且x174。0，于是由例5即可得 ．三、 函數(shù)的間斷點１．間斷點的概念 如果函數(shù)y=f(x)在點x0處不連續(xù)，則稱f(x)在x0處間斷，并稱x0為f(x)的間斷點． f(x)在x0處間斷有以下三種可能： (1)函數(shù)f(x)在x0處沒有定義； (2)f(x)在x0處有定義，但極限f(x)不存在； (3) f(x)在x0處有定義，極限f(x)存在，但f(x)185。, =165。xyPab12例如，（１）函數(shù)y=x在開區(qū)間(a,b)內(nèi)是連續(xù)的，這函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)就既無最大值，又無最小值．Oxyaby=x （２）函數(shù)f(x)=在閉區(qū)間[0,2]上有間斷點x=1，它在閉區(qū)間[0,2]上也是既無最大值，又無最小值． 定理4(介值定理)　若f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，m與M分別是f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最小值和最大值，u是介于m與M之間的任一實數(shù)：m163。M，則在[a,b]上至少存在一點x，使得f(x)=u． 介值定理的幾何意義：介于兩條水平直線y=m與y=M之間的任一條直線y=u，與y=f(x)的圖象曲線至少有一個交點．OxybaxmM 推論(方程實根的存在定理)　若f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號，則在(a,b)內(nèi)至少有一個根，即至少存在一點x，使f(x)=0． 推論的幾何意義：一條連續(xù)曲線，若其上的點的縱坐標(biāo)由負(fù)值變到正值或由正值變到負(fù)值時，則曲線至少要穿過x軸一次． 使f(x)=0的點稱為函數(shù)y=f(x)的零點．如果x=x是函數(shù)f(x)的零點，即f(x)=0，那么x=x就是方程f(x)=0的一個實根；反之方程f(x)=0的一個實根x=x就是函數(shù)f(x)的一個零點．因此，求方程f(x)=0的實根與求函數(shù)f(x)的零點是一回事．正因為如此，定理4的推論通常稱為方程根的存在定理． 例9 證明方程x=cosx在(0,)內(nèi)至少有一個實根．證明　xcosx=0．令　　f(x)=xcosx, 0163。則　　　f(x)在[0,]上連續(xù)，且f(0)=1, f()=0．由根的存在定理，在(0,)內(nèi)至少有一點x，使f(x)=xcosx=0，即方程x=cosx在(0,)內(nèi)至少有一個實根． (1)若f(x)在x0處連續(xù)，則f(x)存在． (2)若f(x)=A，則f(x)在x0處連續(xù)． (3)初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)． (4)設(shè)y=f(x)在[a,b]上連續(xù)，則y=f(x)在[a,b]上可取到最大值和最小值．167。0時的無窮小，而=0，=165。0時三個無窮小趨于0的速度是有差別的．具體計算他們的值如下表：x1174。 0x21174。0時，（１）x2比3x更快地趨向零；（２）3x比x2較慢地趨向零；這種快慢存在檔次上的差別．（３）而3x與x趨向零的快慢雖有差別，但是是相仿的，不存在檔次上的差別．反映在極限上，當(dāng)x174。；（３）趨向零快慢相仿的無窮小之商的極限為不為零常數(shù)． 定義 設(shè)a,b是當(dāng)自變量x174。165。)時的兩個無窮小，且b185。a時 a是b的高階無窮小，或稱b是a的低階無窮小，記作a=o(b), (x174。0)，則稱當(dāng)x174。a時a與b是等價無窮小，記作a~b,(x174。a)”并不意味著a, b的數(shù)量之間有什么相等關(guān)系，它僅表示a, b是x174。0時，x2是比x高階的無窮小，所以x2=o(x), (x174。0時的等價無窮小，所以sinx~x, (x174。0)．而1cosx與x2是x174。, b162。a時的無窮小，且a~a162。則當(dāng)極限存在時，極限也存在，且=． 證明　==．常用等價無窮?。? sinx~x, tanx~ x, arcsinx~ x, arctanx~ x, 1cosx~x2, ln(1+x) ~x, ex1~x, 1~x, (x174。0)， 所以 ==1． 例3 求下列極限： (1),x206。,+165。0)，而|sinx|163。(165。)，所以 ==cosx, x206。,+165。0, x0)， =, x0． 例4 用等價無窮小的代換，求． 解　因為tanxsinx=tanx(1cosx)，而tanx~ x, 1cosx~x2, (x174。拓展一、知識小結(jié) 掌握基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，理解復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)的概念，會把一個初等函數(shù)作分解． 極限是描述數(shù)列和函數(shù)的變化趨勢的重要概念，是從近似認(rèn)識精確、從有限認(rèn)識無限、從量變認(rèn)識質(zhì)變的一種數(shù)學(xué)方法．連續(xù)概念是函數(shù)的一種特性．函數(shù)在點x0存在極限與在x0連續(xù)是有區(qū)別的，前者是描述函數(shù)在點x0鄰近的變化趨勢，不考慮在x0處有無定義或取值；而后者則不僅要求函數(shù)在x0點有極限，而且極限存在且等于函數(shù)值．一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的．1. 幾個重要概念 (1)=A 219。 ==A．x174。的含義為x174。x0的含義為x174。165。) 219。0 (當(dāng)x174。a (a可以是有限數(shù)x0或177。,165。a時的無窮小(無窮大)； ３）無窮小與有界函數(shù)之積仍為無窮?。? (3)極限與連續(xù)的關(guān)系 １）f(x)在x0連續(xù) 219。220。a (a可以是有限數(shù)x0或177。,165。a是b的低階無窮??； c, (c185?！毙臀炊ㄐ偷臉O限： =1,(可推廣為=1)； =e, (可推廣為=e及=e)． (2)求極限的基本思路 極限分為兩大類：確定型和未定型． 確定型極限指可直接利用極限的運算法則或函數(shù)的連續(xù)性得到極限； 未定型包括“”，“”， “1165。165?！保?“165。． (4)若分子、分母的極限都為0，首先考慮是否可作恒等變化，消去分子分母中公共的零因子，化為(2)或(3)． (5)對有理函數(shù)有如下結(jié)論： 0, 當(dāng)mn； = , 當(dāng)m=n； 165。型未定式，考慮用兩個主要極限． (7)利用 “無窮小與有界函數(shù)的乘積仍為無窮小”、“無窮大的倒數(shù)為無窮小”等性質(zhì)，以及等價無窮小替換．注意只能對分子或分母的因式整體作等價無窮小替換，對分子或分母的某些項未必能作等價無窮小替換． 例1 求下列極限： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 解　(1)=； (2)=； (3)==3； (4)= ==； (5)=； (6)==； (7)==e5； (8)==1．2. 分段函數(shù)的極限與連續(xù)性 計算分段函數(shù)在段點處的極限，要對分段點兩側(cè)的解析式分別求左、右極限；然后依據(jù)相等與否來判定極限存在性，并求出極限值；最后與段點處的函數(shù)值比較得出連續(xù)與否的結(jié)論． x 22, x0； 例2 函數(shù)f(x)= , x0； a1, x=0． (1)當(dāng)a，b為何值時，f(x)在x＝0處存在極限？ (2)當(dāng)a，b為何值時，f(x)在x＝0處連續(xù)？解　(1)　　　(x2－2)＝－2；=b．f(x)在x=0處存在極限 219。 =f(0)，即－2=a－1，得a=－1．所以當(dāng)a=－1, b=－2時，f(x)在x=0處連續(xù)．3. 函數(shù)連續(xù)性討論及求間斷點 , x0； 例3 討論函數(shù)f(x)= 1, x=0； 的連續(xù)性． , x0解　在x206。,0)200。)，f(x)是初