【正文】 讀數(shù)，有的在記錄信號時總是偏快等。原則上講，系統(tǒng)誤差的分析處理可以根據(jù)具體情況在實驗前、實驗中或?qū)嶒灪筮M行。關(guān)于系統(tǒng)誤差知識的較詳細的介紹，請參閱本教材下篇“物理實驗的基礎(chǔ)知識（下）”。在相同的條件下，多次測量同一物理量時誤差時大時小，時正時負，以一種不可預(yù)定的方式隨機變化著，這類誤差稱為隨機誤差。例如：① 人的感官判斷力的隨機性，在測量與讀數(shù)時總難免存在時大時小的偏差。③ 儀器內(nèi)部存在的一些偶然因素，如零部件配合的不穩(wěn)定等。習(xí)慣上，隨機誤差又被稱為“偶然誤差”，但在理解這一概念時要注意，所謂隨機誤差（偶然誤差）僅僅是指在某一次具體的測量中，其誤差的大小與正負帶有偶然性（隨機性），而不能理解為在測量過程中，這類誤差只是偶然出現(xiàn)的，也不能理解為“隨機誤差是完全偶然的，隨機性的，沒有什么規(guī)律可循”。這一問題，我們將在下一節(jié)中討論。過失誤差又稱為粗大誤差。只要實驗者有嚴肅認真的科學(xué)態(tài)度，一絲不茍的工作作風(fēng)，過失誤差是可以避免的，即使不小心出現(xiàn)了，也應(yīng)能在分析后立即予以剔除。（1）精密度——表示重復(fù)測量所得的各測量值相互接近的程度，它描述了測量結(jié)果的重復(fù)性的優(yōu)劣，反映了測量中隨機誤差的大小，所謂測量精密度高，就是指測量數(shù)據(jù)的離散性小，即隨機誤差?。ǖ到y(tǒng)誤差的大小不明確）。（3）精確度——是對測量結(jié)果的精密性與正確性的綜合評定，因而反映了總的誤差情況，所謂測量的精確度高，就是指測量值集中于真值附近，即測量的隨機誤差與系統(tǒng)誤差都較小。圖1－1圖（a）表明數(shù)據(jù)的精密度高，但正確度低，相當于隨機誤差小而系統(tǒng)誤差大；圖（b）則表示數(shù)據(jù)的正確度高而精密度低，即系統(tǒng)誤差小而隨機誤差大；圖（c）則代表精密度和正確度都較高，即精確度高，總誤差小。在本節(jié)中，我們將首先討論隨機誤差的分析方法，然后引入不確定度的概念并說明如何表示直接測量的結(jié)果。但理論和實踐都證明，如果對某一物理量在同一條件下進行多次測量，則當測量次數(shù)足夠多時，這一組等精度測量數(shù)據(jù)（稱為一個測量列）其隨機誤差一般服從如圖1—2所示的統(tǒng)計規(guī)律，圖中橫坐標表示誤差，縱坐標表示一個與該誤差出現(xiàn)的幾率相關(guān)的幾率密度函數(shù)。絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率比絕對值大的出現(xiàn)的概率大。絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的概率相同。在一定的測量條件下，誤差的絕對值不超過一定限度。隨機誤差的算術(shù)平均值隨測量次數(shù)的增加而趨向于零。設(shè)對某一物理量進行了次等精度測量，得到的測量列為。所以，在相同條件下進行多次測量后，我們總是取測量列的算術(shù)平均值作為測量列的最佳近似值（最佳值），因為，從統(tǒng)計上講，測量列的算術(shù)平均值比任何一個測量值更接近于真值。3）多次測量的隨機誤差估計當我們在相同條件下對同一物理量進行了次測量后，我們已經(jīng)得到了真值的最佳近似值——算術(shù)平均值?，F(xiàn)在讓我們來分析式（2）中的特征量的物理意義。由圖可見，值小，則曲線較陡，說明這組測量數(shù)據(jù)的分散性小，重復(fù)性好；而值大，則曲線較平坦．分布較寬，說明測量數(shù)據(jù)的重復(fù)性差。其值為 （4）應(yīng)該指出，標準誤差和各測量值的誤差有著完全不同的意義，并不是一個具體的測量的誤差值，而是一個統(tǒng)計性的特征量。還應(yīng)該指出的是，在實際測量中，真值是無法確知的，我們只能用多次測量的算術(shù)平均值來近似地代表真值。可以證明，在這種情況下，測量列的標準誤差公式應(yīng)修改為 （5）上式表示的是一測量列中各測量值所對應(yīng)的標準誤差，那么各測量值的算術(shù)平均值的隨機誤差如何估算呢?如前所述，從統(tǒng)計上講應(yīng)比每一個測量值都更接近于真值，應(yīng)用誤差理論可以證明，算術(shù)平均值的隨機誤差為 （6）注意，也是一個統(tǒng)計性的特征量，%。但在后，變化很慢，所以，測量次數(shù)過多也沒有多少實際意義，綜合各種因素考慮，在我們的實驗中一般取。單次測量沒有測量列，沒有算術(shù)平均值，我們只能將這一測量值本身作為真值的近似值。事實上，單次測量的誤差與所用儀器的精度，測量者的實驗技能等均有關(guān)系，當作粗略估計時常取儀器的最大誤差們作為單次測量的誤差估計值。一般的計量儀器上都標明了儀器的“準確度級別”，它通常是由制造工廠和計量機構(gòu)使圖13用更精確的儀器、量具經(jīng)過檢定比較后得出的，在測量時可根據(jù)準確度的級別推算出儀器的最大誤差（具體內(nèi)容參見下一章）。例如，米尺的儀器誤差常取為0．5mm。例如，眼睛引起的瞄準誤差，機械 圖14秒表在其分度值內(nèi)不能分辨引起的誤差都具有圖示的均勻分布特征。我們知道，測量的目的是為了尋求真值。所以，80年代以來在工程技術(shù)測量、計量工作和實驗中等各領(lǐng)域已開始根據(jù)國際計量委員會（BIPM）所通過的關(guān)于“實驗不確定度表示的說明建議書”的精神，采用不確定度來評價測量的準確性。不確定度是測量結(jié)果表述中的一個重要參數(shù)，此參數(shù)合理地說明測量值的分散程度和真值所在范圍的可靠程度。不確定度和誤差是兩個不同的概念，它們之間既有聯(lián)系，又有本質(zhì)區(qū)別。而不確定度是指誤差可能存在的范圍，這一范圍的大小能夠用數(shù)值表達。為綜合考慮實驗中的各種誤差情況，通常將不確定度分為兩類分量：不確定度A類分量：指多次重復(fù)測量后用統(tǒng)計方法算出的分量，用表示。當兩類不確定度都存在時，總不確定度為它們的方和根合成。在物理實驗教學(xué)中，當對某一物理量進行多次直接測量后，我們約定取 （9） （10）即取多次重復(fù)測量的平均值的標準誤差為不確定度A類分量，取儀器的標準誤差為不確定度B類分量，則 （11） ② 單次測量的不確定度計算。實際上，兩者的“置信概率”不等，即在所計算出的不確定度內(nèi)包含真值的概率不等。這并不能說明測量得非常準確，以至于不存在不確定度的A類分量，而只說明儀器的精度太低，多次測量已沒有意義，在這種情況下取是合理的選擇。但是，為了更全面地評定測量結(jié)果的優(yōu)劣，還需考慮這一絕對誤差對測量值本身的大小產(chǎn)生的相對影響，為此，引入相對誤差的概念。即 （14） 間接測量的結(jié)果與不確定度的合成1）間接測量的結(jié)果與誤差的傳遞物理實驗中的大部分物理量都需由間接計算得到，即在直接測量的基礎(chǔ)上，通過一定的函數(shù)運算得到。用表示各獨立的直接測量量，表示間接測量量，則可表示為 （15）由于各直接測量量都帶有一定的誤差，所以在此基礎(chǔ)上得到的間接測量量也必然帶有誤差，這就是“誤差的傳遞”問題。由于一般情況下，誤差遠小于測量值，故可將視為各直接測量量的誤差，而將視為間接測量的誤差，則有 （17）上式可視為誤差傳遞的基本公式。2）間接測量量的不確定度的合成當我們用不確定度來反映測量的誤差情況時，上面的誤差傳遞問題實際上也就是不確定度的傳遞問題，或者也可以說，是不確定度的合成問題，因為從上面討論的公式來看，間接測量量的不確定度總是由各個獨立的直接測量量的不確定度合成的，但具體的合成方法不止一種。間接測量的不確定度就是對間接測量誤差的一種測度，當我們不知道各直接測量量的誤差的符號時，為避免對間接測量的誤差估算不足，最保險的辦法是將式（17）或式（18）中各項取絕對值，分別用不確定度替換誤差由此得到的不確定度的合成公式為 （19） （20）這種合成過程計算較簡便，但計算結(jié)果往往偏大。（2）不確定度的方和根合成法——不確定度合成公式之二。對以隨機誤差為主的不確定度的傳遞問題，更合理的合成方法是方和根合成法。計算過程分為三步：① 先分析確定各直接測量量的不確定度。③ 用式（21）或式（22）計算N的不確定度或相對不確定度。表1－1 常用函數(shù)的不確定度傳遞公式從上面的討論中可以看出：① 對加減運算，總是先算不確定度，而對乘除運算，總是先算相對不確定度較方便。③ 積商的相對不確定度的平方總是等于參與運算的各量的相對不確定度的平方和。例1．2 設(shè)，試用方和根合成法推導(dǎo)不確定度傳遞公式。記錄時取幾位數(shù)字，運算后保留幾位數(shù)字，這是實驗中面臨的一個十分重要的問題，為了正確地反映測量結(jié)果的準確度，需引入有效數(shù)字的概念。例如，我們用最小分度為1 mm的米尺去測量一物體的長度，始端和米尺零線對齊， 圖1－5之間（圖1－5）。最后一位是在最小分度