【正文】 8．將上題用最小二乘法處理，求和。26′″7．某同學(xué)在彈簧勁度系數(shù)的測(cè)量中得如下表中的數(shù)據(jù)，其中為彈簧所受的作用力，為彈簧的長(zhǎng)度。3．改正下列錯(cuò)誤：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）4．利用有效數(shù)字的近似運(yùn)算規(guī)則，計(jì)算出下列各式的結(jié)果：（1）（2）（3）（4）（5）（6）5．試用方和根合成法導(dǎo)出下列各間接測(cè)量量的不確定度公式：（1）（2）（忽略的誤差）（3）（4）6．計(jì)算下列結(jié)果：（1）,已知（2），已知（3），已知（4），已知（5），已知176。2．有下列幾個(gè)數(shù)：（1） cm，（2） 8 m，（3） l s，（4） 0 kg，（5）℃，（6） mm。（5）電壓擾動(dòng)引起電壓表讀數(shù)不準(zhǔn)。（3）電表引入誤差。習(xí) 題1．判斷下列情況屬于哪一類誤差：（1）千分尺零點(diǎn)不準(zhǔn)。值趨近于l，說(shuō)明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)密集地分布在所擬合的直線的兩旁，用線性函數(shù)進(jìn)行回歸是合適的，相反，如果值遠(yuǎn)小于l而接近于0，說(shuō)明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)所擬合的數(shù)據(jù)很分散，即用線性回歸不妥，應(yīng)該考慮用其他函數(shù)重新試探。為了判斷所得的結(jié)果是否合理，在待定常數(shù)確定后，還需 要計(jì)算一下相關(guān)系數(shù)。用回歸法處理數(shù)據(jù)的關(guān)鍵之處在于函數(shù)形式的選取，函數(shù)形式的確定一般是根據(jù)理論 的推斷或者從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)變化的趨勢(shì)來(lái)推測(cè)。這里討論的最小二乘法因涉 及的變量只有一個(gè)，擬合的方程是線性方程，故稱為一元線性回歸。這里，可認(rèn)為誤差主要在的測(cè)量上。假定的測(cè)量誤差與的測(cè)量誤差相比可忽略，試用最小二乘法求凹面鏡的曲率半徑。即即 令 則 由此就可確定最佳直線方程中的系數(shù)為下面舉一個(gè)綜合應(yīng)用列表法、曲線改直法和最小二乘法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理的例子。很明顯，對(duì)每一個(gè)值，觀測(cè)值和在最佳 直線上的對(duì)應(yīng)值之間存在一偏差：如果確實(shí)是最佳直線的話，就應(yīng)使各的偏差的平方和最小，即上式中的各個(gè)作為測(cè)量值都是已知量，和是待定的，因此，實(shí)際上是和的函數(shù)。顯然，從（）中任取兩組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，就可以得出一條直線，只不過(guò)這條直線并不是我們尋求的最佳直線，誤差可能較大。下面，我們簡(jiǎn)單討論一下用最小二乘法確定一元線性擬合問(wèn)題，由于不少非線性函數(shù)可通過(guò)數(shù)學(xué)變換變成線性函數(shù)，所以，這一方法具有較大的適用范圍。因此，在根據(jù)圖線確定有關(guān)參數(shù)時(shí)往往會(huì)引入附加誤差。 最小二乘法和直線擬合作圖法雖然在數(shù)據(jù)處理中是一種很直觀、方便的方法，但在圖線的繪制上帶有一定的主觀隨意性。例如， 在用單擺測(cè)重力加速度的實(shí)驗(yàn)中已知，只要令，則作出直線，求其斜率即可求得重力加速度。這樣，在實(shí)驗(yàn)中測(cè)出一系列不同溫度下的電阻值后，可作出一條直線，從直線上求出截距即得，求出斜率后即得。特別是當(dāng)所作圖線為直線時(shí)，采用此法尤為方便。在坐標(biāo)紙上，實(shí)驗(yàn)點(diǎn)要以一定的符號(hào)，比如用*、○、等表示出來(lái)，然后，在兼顧各數(shù)據(jù)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，擬合成一條光滑的曲線或直線。要適當(dāng)確定坐標(biāo)軸的比例和起點(diǎn)，坐標(biāo)軸的起點(diǎn)不一定取為零，以避免圖紙上出現(xiàn)大片的空白區(qū)（圖1－7（a））；同時(shí)注意選擇橫、縱軸的比例以使所作圖線比較對(duì)稱地充滿大部分坐標(biāo)紙空間（圖1－7（b））。要根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效數(shù)字的位數(shù)來(lái)確定，、原則上數(shù)據(jù)中可靠的數(shù)字在圖中亦是可靠的。一般選用直角坐標(biāo)紙，有時(shí)，根據(jù)需要也可選用對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙、極坐標(biāo)紙等。畫(huà)這類圖線時(shí)圖線必須過(guò)觀測(cè)點(diǎn)，由于觀測(cè)值不可能無(wú)限多且相鄰觀測(cè)點(diǎn)間兩個(gè)量的關(guān)系并不清楚，因此，只能用直線將相鄰觀測(cè)點(diǎn)連接起來(lái)，使所作實(shí)驗(yàn)圖線成為一條折線（圖1—6（b））。由于測(cè)量值存在誤差，所以不能強(qiáng)求觀測(cè)點(diǎn)都在曲線上，但應(yīng)使不在曲線上的點(diǎn)大致均勻分布在曲線兩側(cè)（圖1—6（a））。例如，電阻的阻值隨溫度變化滿足線性關(guān)系；二極管具有特定的伏安特性。1）圖示法一組測(cè)量數(shù)據(jù)以及物理量之間的關(guān)系，可以用圖線的形式表現(xiàn)出來(lái)，稱為圖示法。 作圖法作圖在實(shí)驗(yàn)中也是常用的數(shù)據(jù)處理方法，通過(guò)作圖可以把測(cè)量數(shù)據(jù)間的關(guān)系及其變化情況直觀地表示出來(lái)，特別是對(duì)很難找到解析函數(shù)式的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可從圖線上反映實(shí)驗(yàn)結(jié)果并尋求相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)公式。（4）表中的數(shù)據(jù)要正確反映測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字。（2）列入表中的數(shù)據(jù)主要是原始數(shù)據(jù)，處理過(guò)程中一些重要的中間結(jié)果也可列入表中。 列表法列表法是數(shù)據(jù)處理的基本方法，它能使測(cè)量數(shù)據(jù)表達(dá)清晰醒目，富于條理，有助于反映出物理量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，同時(shí)，它還有利于提高處理數(shù)據(jù)的效率，減小和避免錯(cuò)誤。解 ，代入數(shù)據(jù)有又 而 所以 所以 所以 已知一圓柱體的質(zhì)量，高，用千分尺測(cè)得直徑的數(shù)據(jù)，如下表：求其密度的測(cè)量結(jié)果。解 先將的測(cè)量值代人計(jì)算出的測(cè)量值。如前所述，由不確定度決定有效數(shù)字是處理一切有效數(shù)字問(wèn)題的基本原則，如果已知各直接測(cè)量量的完整表達(dá)式（測(cè)量值與不確定度），則應(yīng)在計(jì)算出間接測(cè)量的不確定度以后再確定間接測(cè)量值的有效數(shù)字位數(shù)，并最終寫(xiě)出間接測(cè)量的結(jié)果表達(dá)式。 V都不正確。所以，確定測(cè)量值X的有效數(shù)字位數(shù)的原則是“使的最后一位與的所在位對(duì)齊”。為統(tǒng)一和簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們規(guī)定不確定度只取一位有效數(shù)字。那么，怎樣正確地寫(xiě)出測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字表達(dá)式呢?或者說(shuō)，怎樣正確地確定測(cè)量值及不確定度的有效數(shù)字位數(shù)呢?首先，由于不確定度是對(duì)誤差的估計(jì)值。在可忽略不確定度的類分量的前提下，對(duì)應(yīng)于正態(tài)分布，可以證明若用標(biāo)準(zhǔn)誤差代表不確定度，%；當(dāng)用代表不確定度時(shí)，%；而用代表不確定度時(shí)，%，已很接近100%。這里所說(shuō)的一定的概率即為“置信概率”，而區(qū)間稱為“置信區(qū)間”。即結(jié)合前面討論過(guò)的關(guān)于不確定度的計(jì)算方法，我們可以將各種情況下測(cè)量結(jié)果的完整文字表述總結(jié)如下：（1）對(duì)單次直接測(cè)量（2）對(duì)多次直接測(cè)量（3）對(duì)問(wèn)接測(cè)量這里是由具體的函數(shù)運(yùn)算得到的間接測(cè)量值，由不確定度的合成公式計(jì)算得到。具體地說(shuō)，我們應(yīng)將測(cè)量結(jié)果用文字表述成如下形式：其中代表待測(cè)量，為該待測(cè)量的測(cè)量值，它既可以是單次的直接測(cè)量值，也可以是相同條件下多次直接測(cè)量的算術(shù)平均值（最佳近似值），還可以是在直接測(cè)量后經(jīng)過(guò)函數(shù)運(yùn)算得到的間接測(cè)量值，則為測(cè)量的不確定度，它是一恒為正的量。（4）不要因?yàn)橛?jì)算過(guò)程處理不當(dāng)而損失有效數(shù)字位數(shù)，所以，在中間運(yùn)算過(guò)程中，為避免由于舍人過(guò)多而造成的不確定度進(jìn)位，一般可先多保留一位，而在最后結(jié)果中仍只保留一位欠準(zhǔn)數(shù)。一般規(guī)定小數(shù)點(diǎn)在第一位后面，而整個(gè)數(shù)的量級(jí)由l0的冪次體現(xiàn)。電子的電荷e=1．6022109 C。由此可見(jiàn)，當(dāng)數(shù)字很大或很小時(shí)，用l0的冪指數(shù)來(lái)表示較方便又科學(xué)，且不易出錯(cuò)，這種方法稱為“科學(xué)計(jì)數(shù)法”。如果要以km為單位表示應(yīng)為L(zhǎng)=0．000 012 8 km，但這樣書(shū)寫(xiě)很不方便，通常改寫(xiě)成L=1．28105km。（2）用以表示小數(shù)點(diǎn)位置的“0”不是有效數(shù)字，因?yàn)橛行?shù)字的位數(shù)與小數(shù)點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，也與十進(jìn)制單位的變換無(wú)關(guān)。例如， cm,， “0”都是有效數(shù)字，因?yàn)樗鼈兊臏y(cè)量精度不同，前者可能是用米尺測(cè)定的，后者可能是用游標(biāo)卡尺測(cè)定的。例如：對(duì)其他函數(shù)運(yùn)算（例如三角函數(shù)運(yùn)算）原則上都遵循由不確定度決定有效數(shù)字的原則，即通過(guò)不確定度的傳遞運(yùn)算，由的不確定度確定的不確定度，最后確定的有效數(shù)字位數(shù)。例如：② 對(duì)數(shù)運(yùn)算。① 乘方、開(kāi)方運(yùn)算。對(duì)既有加減，又有乘除運(yùn)算的混合運(yùn)算，則可逐步按上述有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)則處理，以確定最后的有效數(shù)字。由乘除運(yùn)算的不確定度計(jì)算法則可知，幾個(gè)量相乘除后，積或商的相對(duì)不確定度總是大于參與運(yùn)算的任一量的相對(duì)不確定度，而相對(duì)不確定度直接決定了有效數(shù)字的位數(shù)，由此我們不難理解乘除運(yùn)算的有效數(shù)字近似運(yùn)算法則是：幾個(gè)數(shù)相乘除后，最后結(jié)果的有效數(shù)字的位數(shù)以各數(shù)中位數(shù)最少的一個(gè)為準(zhǔn)。例如：① +．8 ② 在運(yùn)算過(guò)程中，多余的數(shù)字按尾數(shù)舍法處理，通常的做法是：小于5則舍，大于5則人，剛好等于5則把尾數(shù)湊成偶數(shù)（4舍6入逢5湊偶）這樣可使舍和入的機(jī)會(huì)均等?？偨Y(jié)上面關(guān)于加減運(yùn)算的不確定度汁算法則可知：幾個(gè)量相加減后，所得結(jié)