第九講空間幾何體的表面積和體積-在線瀏覽
2024-08-10 23:35本頁面
【正文】 =h(S+S+)=ShV2=ShV1=Sh，∴V1∶V2=7∶5。最后用統(tǒng)一的量建立比值得到結(jié)論即可。在Rt△AOB中BO=ABsin30176。=，而底面菱形的面積為2。點評：本小題重點考查線面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱錐的體積。圖例6．（2002京皖春文，19）在三棱錐S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90176。（如圖所示）（Ⅰ）證明：SC⊥BC；（Ⅱ）求側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的大小；（Ⅲ）求三棱錐的體積VS－ABC。∴SA⊥AB，SA⊥AC。由于∠ACB=90176。（Ⅱ）解：∵BC⊥AC，SC⊥BC。在Rt△SCB中，BC=5，SB=5，得SC==10。即側(cè)面SBC與底面ABC所成的二面角的大小為60176。ACS△ACB點評：本題比較全面地考查了空間點、線、面的位置關(guān)系。題型4：錐體體積、表面積綜合問題例7．ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求點B到平面EFC的距離？解：如圖，取EF的中點O，連接GB、GO、CD、FB構(gòu)造三棱錐B－EFG。 。由，得構(gòu)造以點B為頂點，△EFG為底面的三棱錐是解此題的關(guān)鍵，利用同一個三棱錐的體積的唯一性列方程是解這類題的方法，從而簡化了運算。題型5：棱臺的體積、面積及其綜合問題例9．（2002北京理，18）如圖9—24，在多面體ABCD—A1B1C1D1中，上、下底面平行且均為矩形，相對的側(cè)面與同一底面所成的二面角大小相等，側(cè)棱延長后相交于E，F(xiàn)兩點，上、下底面矩形的長、寬分別為c，d與a，b，且a＞c，b＞d，兩底面間的距離為h。=（S上底面+4S中截面+S下底面），試判斷V估與V的大小關(guān)系，并加以證明。如圖所示：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∠A1B1C1=90176。∴PG=（b－d），又B1G=h，∴tanB1PG=（b＞d），∴∠B1PG=arctan，即所求二面角的大小為arctan.（Ⅱ）證明：∵AB，CD是矩形ABCD的一組對邊，有AB∥CD，又CD是面ABCD與面CDEF的交線，∴AB∥面CDEF?！逜B是平面ABCD內(nèi)的一條直線，EF在平面ABCD外，∴EF∥面ABCD。證明：∵a＞c，b＞d，∴V－V估==［2cd+2ab+2（a+c）（b+d）－3（a+c）（b+d）］=（a－c）（b－d）＞0。點評：該題背景較新穎，把求二面角的大小與證明線、面平行這一常規(guī)運算置于非規(guī)則幾何體（擬柱體）中，能考查考生的應(yīng)變能力和適應(yīng)能力，而第三步研究擬柱體的近似計算公式與可精確計算體積的辛普生公式之間計算誤差的問題，是極具實際意義的問題。例10．（1）（1998全國，9）如果棱臺的兩底面積分別是S、S′，中截面的面積是S0，那么（ ）A． B． C．2S0＝S＋S′ D．S02＝2S′S（2）（1994全國，7）已知正六棱臺的上、下底面邊長分別為2和4，高為2，則其體積為（ ）A．32 B．28 C．24 D．20解析：（1）解析：設(shè)該棱臺為正棱臺來解即可，答案為A；（2）正六棱臺上下底面面積分別為：S上＝622＝6，S下＝642＝24，V臺＝，答案B。根據(jù)選擇題的特點本題選用“特例法”來解，此種解法在解選擇題時很普遍，如選用特殊值、特殊點、特殊曲線、特殊圖形等等。答案為A。例12．（2003京春理13，文14）如圖9—9，水面高度恰好升高r，則= 。r。故。點評：本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)知識以及計算能力和分析、解決問題的能力。（如圖所示），若將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是（ ）A．π B
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