第1講等差數(shù)列、等比數(shù)列-在線瀏覽
2024-08-09 16:37本頁(yè)面
【正文】 數(shù)列的基本量運(yùn)算例1 (2015北京卷)已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a2=10，a4a3=2.(1) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b2=a3，b3=a7，問(wèn)：b6與數(shù)列{an}的第幾項(xiàng)相等?【分析】(1) 利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，將a1，a2，a3，a4關(guān)系式轉(zhuǎn)化成a1和d的方程組，解方程得到a1和d的值，求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2) 先利用第一問(wèn)的結(jié)論得到b2和b3的值，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，將b2和b3轉(zhuǎn)化為b1和q，解出b1和q的值，得到b6的值，再代入到上一問(wèn)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式中，解出n的值，即項(xiàng)數(shù).【解答】(1) 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.因?yàn)閍4a3=2，所以d=2.又因?yàn)閍1+a2=10，所以2a1+d=10，故a1=4，所以an=4+2(n1)=2n+2.(2) 設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q.因?yàn)閎2=a3=8，b3=a7=16，所以q=2，b1=4，所以b6=4261=128.由128=2n+2，得n=63.所以b6與數(shù)列{an}的第63項(xiàng)相等.【點(diǎn)評(píng)】(1) 本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、利用通項(xiàng)公式求解.(2) 本題需要掌握的知識(shí)點(diǎn)是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1+(n1)d，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1qn1.變式 (20144n1=22n1，從而{bn}的前n項(xiàng)和Tn==(4n1).等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明例2 (2014江西卷)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=，n∈N*.(1) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2) 求證：對(duì)任意的n1，都有m∈N*，使得a1，an，am成等比數(shù)列.【解答】(1) 當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1.當(dāng)n≥2時(shí)，an=SnSn1==3n2.當(dāng)n=1時(shí)，a1=312=1，所以an=3n2.(2) 若a1，an，am成等比數(shù)列，則=a1am，所以(3n2)2=3m2，即3m=(3n2)2+2=9n212n+6，所以m=3n24n+2.則對(duì)任意n1，都有3n24n+2∈N*，所以對(duì)任意的n1，都有m∈N*，使得a1，an，am成等比數(shù)列.等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合例3 (2015北京卷)在等差數(shù)列{an}中，已知a1=3，a4=12，在數(shù)列{bn}中，b1=4，b4=20，且{bnan}為等比數(shù)列.(1) 求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；(2) 求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.【解答】(1) 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得d===3，故an=a1+(n1)d=3n.設(shè)等比數(shù)列{bnan}的公比為q，由題意得q3===8，解得q=2，所以bnan=(b1a1)qn1=2n1，從而bn=3n+2n1.(2) 由(1)知bn=3n+2n1，因?yàn)閿?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為n(n+1)，數(shù)列{2n1}的前n項(xiàng)和為1=2n1，所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為n(n+1)+2n1.1. (2015安徽卷)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，a1+a4=9，a2a3=8，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和等于 .【答案】2n1【解析】設(shè)
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